Si consideri la soluzione $u_ε$ del seguente problema $(P_ε)$ ${−∆u = u^{p_ε}$ in $Ω ⊂ R^N$ u > 0 in $Ω$ u = 0 su $∂Ω$, dove $p_ε = \frac{N+2}{N−2} − ε$, e la soluzione $v_{i,ε}$ del problema linearizzato $(L_{i,ε})$ associato a $(P_ε)$, $(L_ε)$ ${−∆v = λ_i u^{p_ε−1}v$ in $Ω ⊂ R^N$ v = 0 su $∂Ω$, dove $i = 1, 2, ...$ La struttura delle autofunzioni $v_{i,ε}$ di $(L_λ,ε)$ gioca un ruolo molto importante nello studio delle proprieta qualitative della soluzione $u_ε$ di $(P_ε)$ (unicita della soluzione, forma degli insiemi di livello etc.). In questo seminario si presenteranno alcuni risultati sulle autofunzioni del problema linearizzato $(L_λ,ε)$ (lavoro in collaborazione con Filomena Pacella). Ad esempio proveremo che tutte le autofunzioni, a partire dalla seconda fino alla $(N + 2)$-sima, cambiano segno esattamente due volte e nel caso in cui il dominio sia convesso, l’insieme degli zeri di tutte le autofunzioni dalla seconda alla $(N + 1)$-sima tocca il bordo. Infine si discutera il legame tra questi risultati e analoghe proprieta della seconda autofunzione del laplaciano in $R^2$.