Sia S una superficie e V il Q-spazio vettoriale dei divisori su S modulo equivalenza numerica. Il prodotto d’intersezione definisce una forma quadratica non degenere su V . Grazie ai lavori di Hodge e Segre sappiamo che questa forma quadratica è di segnatura (s_+, s_−) = (1, dimV − 1). Grothendieck ha formulato negli anni sessanta una congettura che propone una generalizzazione di questo enunciato a varietà di dimensione superiore. In caratteristica zero questa congettura è una conseguenza delle relazioni bilineari di Hodge-Riemann. In caratteristica p assai poco è noto. Attraverso formule del prodotto classiche sulle forme quadratiche tradurremo questo problema di segnatura in un problema p-adico. Quest’ultimo può essere attaccato con la teoria di Hodge p-adica. Ciò ci permetterà di dedurre la congettura di Grothendieck per le varietà abeliane di dimensione quattro.