L'obiettivo di questo seminario sarà introdurre gli studenti alle tecniche moderne del calcolo delle variazioni, cercando anche di spiegare, per quanto possibile, cosa si intenda per teoria geometrica della misura. Introdurremo quindi il metodo diretto del calcolo delle variazioni, una strategia generale per dimostrare l'esistenza di minimi in problemi variazionali. Seguendo un percorso ormai classico, sviluppato da De Giorgi, affronteremo il problema di Plateau nella classe degli insiemi di perimetro finito. Definiremo il perimetro secondo Caccioppoli, utilizzandolo come esempio di rilassamento, e successivamente vedremo l'equivalenza con la definizione più diffusa alla De Giorgi, verificando che il funzionale perimetro soddisfi tutte le ipotesi necessarie per l'applicazione del metodo diretto. Tempo permettendo, discuteremo il Teorema di struttura di De Giorgi e la connessione con la misura di Hausdorff.