In questo seminario presenterò una serie di risultati ottenuti recentemente, in collaborazione con M. Bertsch, F. Smarrazzo e A. Tesei, riguardanti problemi del primo ordine con dati iniziali "singolari”. Si tratta, piu' precisamente, di problemi per leggi di conservazione con dato iniziale misura e problemi per Hamilton-Jacobi con dato iniziale discontinuo. Verranno illustrati, in particolare, risultati di esistenza e unicità per il problema di Cauchy di leggi di conservazione, quando il dato iniziale è una misura avente parte singolare puramente atomica, mettendo in luce le analogie con i risultati ottenuti per il problema di Hamilton Jacobi. Queste analogie possono essere formalizzate e permettono di fare uno studio qualitativo comune riguardo il tempo di scomparsa delle "singolarità" per le soluzioni dei due problemi.