In questo seminario sono presentati alcuni funzionali del secondo ordine dipendenti da discontinuità libere nella funzione e nel gradiente, i cui minimizzanti forniscono una soluzione variazionale al problema di "edge-detection" nella segmentazione di immagini. I recenti risultati relativi alla minimizzazione di tali energie con dato al bordo di tipo Dirichlet sono utilizzati per affrontare anche il problema di "inpainting". Sono analizzate alcune proprietà dei minimi e le relative equazioni di Eulero. Le condizioni necessarie forniscono molte informazioni di natura geometrica, identità integrali e vincoli sui coefficienti dell'espansione asintotica attorno al crack-tip di una segmentazione ottimale: in particolare hanno suggerito la formulazione di alcune congetture circa i minimi locali non banali. La prova di stime di densità dell'energia uniformi fino al bordo e di buone proprietà per il contenuto di Minkowski della segmentazione ottimale hanno consentito progressi nelle approssimazioni numeriche effettuate recentemente da vari autori.