Abstract: Un'isometria del semipiano iperbolico può essere: ellittica (se fissa un punto nel semipiano), parabolica (se fissa un punto all'infinito) oppure iperbolica (se fissa due punti all'infinito). Il gruppo dei diffeomorfismi di una superficie compatta orientata S in sé è molto più complicato e può essere studiato in due tappe: la componente connessa dell'identità (ovvero le isotopie) e il gruppo Γ(S) delle componenti connesse. Per capire Γ(S), l'idea di Thurston è di studiarne l'azione sullo spazio di Teichmüller T(S) che parametrizza le strutture conformi su S (ovvero le "istruzioni" su come misurare gli angoli su S). Aggiungendo anche opportune degenerazioni di tali strutture conformi, T(S) si completa ad una palla chiusa. Quindi, il teorema di punto fisso di Brouwer ci consente di classificare i tipi di diffeomorfismo di S: di ordine finito, riducibile (ad una superficie più semplice) oppure (il misterioso) pseudo-Anosov.
Bibliografia di base
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[3] C. J. Earle, J. Eells. A fibre bundle description of Teichmüller theory, J. Differential Geometry 3 (1969) 19-43.
[4] S. Smale. Diffeomorphisms of the 2-sphere, Proc. Amer. Math. Soc. 10 (1959) 621-626

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