L'approccio classico al problema di determinare il numero di superfici appartenenti ad una data classe che soddisfino ulteriori proprietà è quello di costruire uno spazio di parametri che classifichi le superfici nella classe in esame e di interpretare le proprietà richieste come equazioni su tale spazio. Il tal modo la questione si traduce in un problema di intersezione di cicli o, equivalentemente, di calcolo di volumi: la messa in sicurezza di tali calcoli passa attraverso la costruzione di adeguate compattificazioni di tali spazi di parametri. In questo seminario illustrerò le soluzioni ideate in alcuni casi specifici e discuterò alcuni problemi aperti.