Negli ultimi quaranta anni, sotto l’impulso delle congetture di Cheeger-Goresky-MacPherson e MacPherson, la coomologia L2 e la relativa teoria spettrale su variet`a proiettive singolari sono state oggetto di numerose ricerche. Nella prima parte del seminario esporrò alcuni recenti risultati in questo ambito riguardanti la teoria L2 del complesso di Dolbeault: esistenza di estensioni autoaggiunte con spettro discreto per i corrispettivi Laplaciani ed alcune questioni di convergenza spettrale. Nella seconda parte invece mostrerò alcune interessanti applicazioni alla K-omologia analitica di variet`a singolari che seguono dai risultati presentati nella prima parte.