Mostrerò alcuni risultati di log-concavità della prima autofunzione di operatori ellittici lineari e illustrerò la loro connessione con la stima del cosiddetto gap fondamentale. Discuterò inoltre la validità di una disuguaglianza di tipo Brunn-Minkowski per l'autovalore principale di operatori uniformemente ellittici, omogenei, completamente non lineari.