Sulla congettura di Hodge per varietà hyperkähler

Abstract: La congettura di Hodge predice l'esistenza di una profonda connessione tra la struttura di Hodge associata a una varietà liscia e proiettiva e lo studio delle sue sottovarietà. La congettura rappresenta uno dei problemi centrali in geometria algebrica complessa, ma, nonostante la notorietà del problema, l'evidenza a supporto della sua validità rimane molto scarsa. Un caso particolarmente studiato è quello delle varietà abeliane; tuttavia, la congettura rimane aperta per alcune varietà abeliane già in dimensione 6. 

Dopo una breve esposizione della congettura di Hodge e di risultati noti, discuterò progressi recenti per varietà hyperkähler. In particolare, spiegherò come sia possibile dimostrare la congettura per ogni varietà hyperkähler di tipo Kummer generalizzato in dimensione 4 e 6, e presenterò una strategia per estendere questo risultato a ogni varietà di tipo Kummer generalizzato di dimensione divisibile per 4.