Sia X una varietà di Fano liscia, complessa, di dimensione 4, e \(\rho(X)\) il suo numero di Picard. Inizieremo discutendo il seguente risultato: se \(\rho(X)>12\), allora X è un prodotto di superfici di del Pezzo; se \(\rho(X)=12\), allora X ha una contrazione razionale X-->Y dove Y ha dimensione 3. Una contrazione razionale è una mappa data da una successione di flips seguita da un morfismo suriettivo a fibre connesse, vedremo degli esempi espliciti. Poi discuteremo le proprietà geometriche delle Fano 4-folds che hanno una contrazione razionale su una 3-fold. Un obiettivo è di determinare il massimo numero di Picard di X, ed eventualmente di classicare i casi con numero di Picard grande. Un altro obiettivo è di usare questa descrizione geometrica per costruire nuovi esempi con rho grande; questo è un progetto in corso con Saverio Secci.