Modelli analitici per le applicazioni
Orario delle lezioni Mer e Gio 11-13, aula E (sono previste delle ore di laboratorio che si svolgeranno durante l'orario di lezione nei laboratori del dipartimento).
Orario di ricevimento Gio 14.15-16.15. (nello studio locali ex-falegnameria).
Testo di riferimento : C. Mascia, E. Montefusco, Un invito alla Biomatematica. Equazioni differenziali ordinarie, La Dotta editrice, 2014
Mer 1-3: Discussione sui prossibili approcci ai modelli della biologia. Concetto generico di specie. Scelta di mettersi nell'ambito del continuo usando un approccio deterministico. Equazioni di evoluzione delle specie a partire dal principio di conservazione. Termini di reazione e interazione locali e termini dovuti al flusso delle specie. Possibili scelte per il termine di flusso. Legge di Flick e sistemi di reazione e diffusione. Cenno alle equazioni della chemiotassi.
Gio 3-3: Equazioni di evoluzione indipendenti dalla variabile spaziale trascurando l'effetto diffusivo. Scelte elementari per il termine di reazione nel caso della singola specie: crescita malthusiana, logistica, effetto Alee debole, effetto di Alee forte. Esempio di interazione tra piu' specie: modello preda-predatore. Problemi legati allo studio qualitativo di sistemi di ode nonlineari. Reti di reazioni chimiche, significato probabilistico della costante cinetica della transizione. Equazione per la transizione semplice.
Mer 8-3: Equazione per la reazione di 3 specie. Reazioni reversibili. Studio del modello generale di transizioni semplici. Struttura della matrice associata all'equazione differenziale. Conservazione della somma delle specie. Criterio di Gersgorin per la ricerca di autovalori (senza dimostrazione). Teorema di Perron per le matrici positive (senza dimostrazione) e applicazione al comportamento asintotico per modello di reazioni semplici in cui ogni specie reagisce in modo reversibile con tutte le altre. Matrici riducibili e irriducibili. Teorema di Perron-Frobenius per le matrici irriducibili e non negative (senza dimostrazione) e applicazione per lo studio del comportamento asintotico di reti di reazioni semplici con matrice irriducibile.
Gio 9-3: Componenti connesse del grafo di reazioni chimiche semplici. Reti debolmente reversibili. Condizione necessaria e sufficiente affinche' la rete di reazioni semplici converga asintoticamente ad un equilibrio con tutte concentrazioni positive.
Mer 15-3: Reti di reazioni chimiche generali. Principio dell'azione di massa, motivazione euristica. Composti, coefficienti stechiometrici, spazio stechiometrico. Scrittura di un sistema di reazioni chimiche generale usando i coefficienti stechiometrici. Condizioni nello spazio delle fasi per le soluzioni del sistema di reazioni chimiche. Composti connessi. Reti debolmente reversibili. Indice di difetto
Gio 16-3: Teorema sull'indice di difetto nullo nel caso di rete debolmente reversibile. Esempi di reti in cui si applica il teorema.
Mer 22-3: Cinetica degli enzimi. Modello semplice substrato-enzima-composto-prodotto (Michaelis-Menten). Scrittura del sistema, semplificazione. Ipotesi dello stato quasi stazionario. Prima motivazione euristica legata al rapporto dei dati iniziali enzima/substrato. Riscalamento adimensionale dell'equazione della cinetica degli enzimi.
Soluzione del problema approssimato nell'ipotesi di composto all'equilibrio con il substrato.
Analisi qualitativa nel piano delle fasi per il sistema riscalato in relazione al parametro epsilon =e_0/s_0.
Asintotica stabilita' dell'origine studiando il linearizzato. Calcolo del limite quando epsilon tende a zero dell'autovalore piu' piccolo e confronto con il limite asintotico della soluzione approssimata ottenuta nell'ipotesi dello stato quasi stazionario. Enunciato del risultato di approssimazione dovuto al Teorema di Tichonov
Gio 23-3: Cinetica degli enzimi con 2 siti attivi. Semplificazione del sistema tramite equazioni lineari che legano tra loro le specie.
Riscalamento adimensionale del sistema. Cenno all' idea dell'approssimazione tramite l'ipotesi dello stato quasi stazionario. Cinetica degli enzimi con la presenza di inibitori. Scrittura del sistema e sua semplificazione tramite equazioni lineari che legano tra loro le specie. Discussione sui punti stazionari del sistema con inibitori. Ipotesi sul comportamento asintotico della soluzione.
Mer 29-3: Cinetica degli enzimi allosterici. Riscalamenti temporali per sistemi di ode. Sistemi dipendenti da parametro. Perturbazioni regolari. Perturbazioni singolari (caso scalare). Enunciato del Th di Tikhonov e dimostrazione di un lemma preliminare.
Gio 30-3: Dimostrazione del Teoerema di Tikhonov.
Mer 5-4: Mezzi eccitabili. Cenni al funzionamento della membrana cellulare. Potenziali di Nerst. Primi tentatativi di modellare il fenomeno del potenziale d'azione. Variabili di controllo. Prima introduzione al modello proposto da Huxley-Hodgkin per l'assone del calamaro gigante.
Gio 6-4: Interpretazione delle variabili di controllo tramite i modelli di transizioni semplici tra specie. Caso dei canali ionici con 2 cancelli. Lezione in laboratorio sul modello di Hodgkin-Huxley.
Mer 19-4: Semplificazioni del modello di Huxley-Hodgkin. Caso delle variabili veloci ponendo n e h costanti e uguali allo stato a riposo. Caso di una variabile veloce ed una lenta. Modello di FiztHugh-Nagumo. Stabilita' dell'equilibrio nel caso senza corrente esterna. Idea riguardo il comportamento della dinamica quando il parametro epsilon e' piccolo.Studio degli equilibri nel caso di corrente esterna fissata.
Gio 20-4: Modello di FiztHugh Nagumo: domini positivamente invarianti per il modello. Esistenza di un intervallo di correnti (per epsilon piccolo) tale che per correnti in tale range di valori la soluzione generica ammette come omega limite un ciclo periodico. Caso di una corrente forzante periodica. Esistenza di almeno una soluzione periodica.
Mer 26-4: Richiami sulle equazioni di reazione e diffusione. Principio del max debole per equazioni scalari (con dimostrazione) Principio del massimo forte e lemma di Hopf (senza dimostrazione). Unicita' per problemi di Dirichlet e Neumann sui limitati. Primi cenni al caso non lineare
Gio 27-4: Prova in itinere. Potete contattarmi via mail per sapere i risultati. Il terzo esercizio era molto delicato e di fatto non ne ho tenuto conto. Praticamente quasi nessuno si e' reso conto che non si poteva applicare il Th di Tikhonov nella forma completa.
Mer 3-5: Caso non lineare scalare risultati di confronto. Sopra e sottosoluzioni per problemi di Neumann, Dirichlet e Cauchy. Applicazioni all'equazione logistica e bistabile. Soluzione fondamentale nel caso scalare del problema di Cauchy, soluzioni nel caso omogeneo e non omogeneo. Cenno alle soluzioni fondamentali anche per i problemi di Neumann e Dirichlet omogenei. Forma implicita della soluzione del problema di Cauchy per sistemi di reazione e diffusione
Gio 4-5: Teorema di esistenza ed unicita' nel caso del termine di reazione globalmente lipschitziano per il problema di Cauchy (con dimostrazione). Esistenza locale del problema di Cauchy (solo cenno alla dimostrazione). Unicita' e dipendenza continua dai dati (con dimostrazione). Tempo di esistenza massimale. Discussioni sulla possibilita' che si trovino soluzioni globali.
Domini invarianti. Caso semplice in cui semispazi risultano invarianti. Teorema nel caso di condizioni di Neumann omogenee (solo enunciato)
Mer 10-5: Domini invarianti. Applicazioni al sistema di Hodgkin-Huxley e al sistema dell'Oregonatore (con diffusione)
Mer 17-5: Discussione generale sul comportamento asintotico per sistemi di reazione diffusione. Caso scalare. Soluzioni stazionarie non omogenee. Risultati d'instabilita' per tali soluzioni (solo enunciati). Onde viaggianti definizione e legame (caso scalare) tra la stabilita' dei punti di equilibrio dell'ode U'=F(U) e i possibili stati che si possono connettere nel piano delle fasi per il sistema che deve soddisfare l'onda viaggiante.
Gio 18-5: Onde viaggianti nel caso dell'eq di Fisher-KPP (logistica), esistenza di una semiretta di velocita' per le quali si ottengono onde viaggianti che connettono gli stati 1 e 0 (solo enunciato). Risultato di esistenza e unicita' della velocita' per onde viaggianti della bistabile (solo enunciato). Legame tra il segno della velocita' dell'onda e l'integrale del termine di reazione nell'intervallo (0,1). Soluzione esplicita che connette lo stato 0 e lo stato 1 nel caso particolare della bistabile con termine di reazione
u(u-alpha)(1-u). Risultato di stabilita' asintotica delle onde viaggianti per la bistabile di Fife e MacLoad 77 (solo enunciato). Problema con condizioni di Neumann omogenee. Problema agli autovalori per l'operarore laplaciano con condizioni di Neumann omogenee (solo enunciato). Base ortonormale in L2 associata al problema agli autovalori. Idea per la costruzione della soluzione fondamentale con il metodo di separazione delle variabili per il problema scalare con condizioni di Neumann. Comportamento asintotico (tempi grandi) nel caso senza termine di reazione. Lemma che stima dall'alto e dal basso la norma L2 del gradiente di una funzione che soddisfa le condizioni di Neumann omogenee.
Mer 24-5: Risultato sul comportamento asintotico della soluzione del sistema di reazione e diffusione con condizioni di Neumann omogenee in cui la soluzione tende ad omogenizzarsi spazialmente e si avvicina alla soluzione del problema di Ode associato (vedi note per la referenza). Dimostrazione di parte del teorema (punti i), ii), iv)). Conseguenze del Teorema. Primi cenni al problema dell'instabilita' di Turing.
Gio 25-5: Instabilita' di Turing. Cenni sui modelli della morfogenesi. Sistemi 2x2: specie attivatore e specie inibitore. Idea euristica per il fenomeno dell'instabilita' delle soluzioni omogenee dovuto alla presenza di differenti diffusioni.
Condizioni sufficienti affinche' il sistema di ode associato ammetta soluzioni omogenee asintoticamente stabile.
Linearizzazione del sistema di reazione e diffusione vicino all'equilibrio.
Mer 31-1:
Instabilita' di Turing. Ricerca di soluzioni particolari vicino all'equilibrio. Condizioni affinche' un punto di equilibrio stabile per l'ode diventi asintoticamente instabile per il sistema di reazione e diffusione con condizioni di Neumann omogenee. Condizioni sufficienti tramite lo studio degli autovalori del laplaciano con condizioni di Neumann affinche' il punto sia instabile per il linearizzato. Discussione sul possibile comportamento asintotico per tempi grandi.
Gio 1-6: Esempi di sistemi in cui si presenta il fenomeno dell'instabilita' di Turing: sistema attivatore-inibitore di Gierer-Meinhardt, sistema trimolecolare di Schnakenberg.
Prima della prova orale e' richiesto che gli studenti mi spediscano via mail 3 esercizi svolti scelti tra quelli proposti nelle simulazioni. I 3 esercizi dovranno essere presi da schede diverse. Inoltre, almeno uno degli esercizi scelti deve trattare i modelli di ode e almeno uno i modelli di pde. Gli esercizi possono essere presentati nei due seguenti modi. 1) Tramite un listato (matlab) in cui siano presenti i commenti sulla parte di teoria affrontata e sui risultati ottenuti nella simulazione, il listato dovra' ovviamente girare.
2) Un file contenente i commenti sugli esercizi e le immagini delle simulazioni, nel caso in cui sia richiesto il filmato, (ottenuti tramite qualsiasi programma che ritenete appropriato a svolgere la simulazione).
Si sottintende che anche le simulazioni non presentate siano state svolte. Per cui all'orale e' possibile che io chieda cosa si ottiene a grandi linee nelle varie simulazioni
Se avete intenzione di fare il preappello potete gia' iniziare ad inviarmi gli esercizi delle simulazioni. Cercate comunque di farmeli pervenire almeno 2 giorni prima della prova orale.
terracin@mat.uniroma1.it