Tilting, Mutazioni e gruppi algebrici

Abstract: La prima parte del corso consisterà in una introduzione alla
teoria delle rappresentazioni di algebre finito-dimensionali. In
particolare, ci occuperemo principalmente di algebre ereditarie e quindi di
rappresentazioni di grafi orientati senza cicli orientati (=quiver
aciclici). Studieremo la teoria dei moduli "tilting" per queste algebre,
dimostrando il fondamentale teorema di Brenner e Butler. Ci occuperemo
quindi di algebre quasi-ereditarie e loro filtrazioni. Seguendo Donkin,
considereremo la teoria tilting per algebre di Schur, e la fondamentale
tecnica detta "Frobenius splitting" per lo studio delle varietà associate a
gruppi algebrici. Ci sarà inoltre spazio per discutere delle congetture
aperte per algebre con identità polinomiali.

Programma di massima:

1) Cenni di algebra omologica elementare
2) Algebre finito dimensionali e loro rappresentazioni
3) Quiver e quiver con relazioni. Ogni algebra finito dimensionale è
l'algebra dei cammini di un quiver con relazioni.
4) Classificazione delle algebre ereditarie (ovvero associate ad un quiver
senza relazioni) con un numero finito di rappresentazioni indecomponibili.
Funtori di riflessione. Teorema di Gabriel. Connessione con i sistemi di
radici. Mutazione BGP e generalizzazioni (con la teoria di Derksen-Weyman e
Zelevinsky).
5) Teoria Tilting. Teorema fondamentale di Brenner-Buttler (seguendo un
lavoro di Ringel e Happel). Un teorema di Donkin. Mutazioni e connessione
con le algebre cluster.
6) Algebre quasi-ereditarie e filtrazioni.
7) Algebre di Schur e Tilting.
8) Gruppi algebrici. Un Teorema di Kempf. Tecniche di geometria algebrica:
Frobenius Splitting.
9) Algebre con Identità polinomiali