Metodici topologici e variazionali per operatori di Schroedinger periodici.


Programma: 

Solidi cristallini e operatori di Schrodinger periodici. Integrale
diretto di spazi di Hilbert. Trasformata di Bloch-Floquet,
localizzazione e regolarita'.
Teorema di Paley-Wiener e localizzazione esponenziale. Famiglie
analitiche di operatori non-limitati, teoria spettrale e bande di
Bloch.  Energia di Fermi, gap spettrale e fibrati di Bloch. Funzioni
di Bloch e funzioni di Wannier. Classi di Chern, simmetria di
inversione temporale e banalita' dei fibrati di Bloch. Effetto Hall
quantistico (cenni).

Funzionale di localizzazione di Marzari-Vanderbilt. Funzioni di
Wannier ottimamente localizzate. Spazi di Sobolev tra varieta', mappe
Sobolev nel gruppo unitario.
Metodo diretto del calcolo delle  variazioni ed esistenza dei minimi del
funzionale di localizzazione. Equazioni di Eulero-Lagrange.


Sistemi ellittici a crescita quadratica del gradiente. Regolarita' e
analiticita' delle soluzioni deboli continue (teoria di Calderon-Zygmund e 
di Schauder, teorema di Morrey e analiticita').
Maggiore integrabilita per soluzioni deboli. Spazi BMO e di Hardy,
dualita' di Fefferman. Continuita' in dimensione due via maggiore
integrabilita' "per compensazione". Continuita' in dimensione tre via
riscaldamento. Formula di monotonia e decadimento dell'eccesso
(eps-regolarita').
 Blow-up e mappe armoniche tangenti nel gruppo unitario.  Variazione
seconda e quantizzazione dell'energia. Teorema di Liouville.