Seminario di Toeria delle deformazioni
Programma.
Partendo da semplici problemi di deformazione di strutture algebriche e
geometriche si introduce la teoria (valida in caratteristica 0) delle deformazioni
governate da algebre di Lie differenziali graduate e strumenti derivati,
e.g. algebre L-infinito.
Sara' mantenuto un livello di generalizzazione contenuto, ossia non si
parlera' di operads e/o limiti omotopici sebbene siano gli ambienti piu'
adatti per alcune costruzioni.
Sebbene il formalismo e le tecniche sviluppate si adattano ad una grande
varieta' di problemi, sara' trattato principalmente il caso delle
varieta' non singolari come esempio base di applicazione.
In linea di massima, i contenuti del corso saranno (non necessariamente
nell'odine indicato):
Algebre di Lie, formula di Baker-Campbell-Hausdorff, algebre di Lie
differenziali graduate (DGLA), equazione di Maurer-Cartan ed azione di
gauge. Gruppoide di Deligne e gruppoide di Deligne ridotto.
Deformazioni di varieta' algebriche e/o complesse.
Funtori su anelli di Artin, spazio tangente, ostruzioni, criteri di liscezza.
Funtori di anelli di Artin associati ad una DGLA e loro invarianza
omotopica. Funtori estesi e nozione di quasi-liscezza.
Oggetti simpliciali e cosimpliciali, la costruzione Tot per le DGLA ed
applicazione alle deformazioni di fibrati e varieta'. Algebra di
Kodaira-Spencer.
Teoremi di annullamento delle ostruzioni, teorema di
Bogomolov-Tian-Todorov, azione delle ostruzioni sulla coomologia di De
Rham.
Algebre L-infinito, costruzione di Quillen, omotopia di Cartan e
applicazioni geometriche.
Teoria del trasferimento omotopico, struttura L-infinito sul complesso di
Cech di un fascio di algebre di Lie L ed interpretazione degli 1-cocicli
noncommutativi di exp(L) come soluzioni dell'equazione di Maurer-Cartan.