Algebre di Operatori

Programma del corso

1. Spazi prehilbertiani, norma e completamento; disuguaglianza di Schwarz. Spazi di Banach e di Hilbert.
2. Identita' del parallelogramma, di polarizzazione. Teorema della proiezione di Riesz. Chiusura di un sottospazio e complemento ortogonale.
3. B(X,Y) e' completa se Y e' completo. B(X) e' un'algebra di Banach se X e' Banach. Teorema della rappresentazione di Riesz, isomorfismo tra il duale ed il complesso coniugato di uno spazio di Hilbert. Forme sesquilineari limitate ed operatori limitati. Operatore aggiunto. Proprieta' C* della norma.
4. C*-algebre ed algebre di von Neumann. Topologia debole, teorema di Tychonov (senza dim.). Esempi di C*-algebre. Enunciato dei teoremi di Gelfand e Naimark.
5. Spazi localmente compatti, compattificazione di Alexandrov; funzioni continue nulle all'infinito. C* algebre comutative senza identita' e teorema di Gelfand Naimark.
6. Reticolo dei proiettori a.a. e dei sottospazi chiusi di uno spazio di Hilbert, commutativita' e proprieta' di Boole. Somma diretta di spazi di Hilbert.
7. La somma di famiglie ortogonali di proiettori a.a. converge fortemente; famiglie ortogonali di sottospazi chiusi e somma diretta. Successioni monotone di idempotenti a.a. sono fortemente convergenti.
8. Basi ortonormali; Parseval, Bessel, sviluppo; Graham-Schmidt; dimensione Hilbertiana. Spazi di Hilbert separabili. Topologie su B(H): forte, debole, ultraforte, ultradebole. SVLC (definizione).
9. Esempi. Serie di Fourier, polinomi di Hermite. Isometrie parziali.
10. SVLC e spazi in dualita' , forme sigma(X,Y) - continue. Forme lineari ud ( = uf ) risp. d ( = f ) continue su B(H). Le topologie ud, uf, d, f e della norma sono tutte distinte in dimensione infinita.
11. B(H) come spazio di Banach duale. Teorema di Hahn - Banach (senza dim.).
12. Le forme lineari ud continue sono la chiusura dello spazio delle forme lineari d continue.
13. Decomposizione polare di operatori lineari in dim finita. Topologia ud come top *-debole di B(H). Teorema di Alaoglu.
14. La palla unita' di B(H) e' compatta nella topologia debole degli operatori, metrizzabile se H e' separabile. C*-sottoalgebre separabili dense di algebre di von Neumann su H separabile.
15. Teorema di Stone-Weierstrass; caso degli spazi localmente compatti.
16. Cenni sul Teorema di Banach-Steinhaus. Funzioni analitiche a valori operatori, equivalenza dell'analiticita' forte e debole. Spettro e risolvente di elementi di un'algebra con I, invertibilita' ed ideali massimali propri.
17. L'insieme degli elementi invertibili in un'algebra di Banach con I e' aperto ed e' un gruppo topologico.
18. Analiticita' del risolvente; lo spettro di ogni elemento di un'algebra di B con I (diversa da 0) e' compatto non vuoto.
19. Formula del raggio spettrale; nilpotenti e topologicamente nilpotenti. Esempi degli shift pesati e degli operatori integrali di Volterra.
20. Quozienti di spazi di Banach e di algebre di Banach. Sottospazi vettoriali algebricamente e topologicamente complementari negli spazi di Banach, teorema dell'Open Mapping (senza dim.). Ogni sp di Banach e' immerso in un C(K), K compatto, e se separabile e' quoziente di l1(N).
21. Teorema di Mazur. Ideali massimali propri di alg di B commutative con I ed omomorfismi sui complessi, continuita'. Spettro dell'algebra, sua topologia di spazio compatto di Hausdorff. Trasformazione di Gelfand, esempi in cui non e' iniettiva o suriettiva. Esempio di *algebra di Banach commutativa radicale.
22. Spettro di un elemento relativo a diverse sottoalgebre di Banach con la stessa identita'. Esempi.
23. Teorema dello Spectral Mapping. Integrale di Dunford. Teorema di Gelfand Naimark. Aggiunzione C* dell'identita'.
24. Invarianza algebrica della norma di una C*-algebra e sua minimalita' tra le norme di algebra di Banach. Omomorfismi unitali tra C*-algebre commutative con I sono continui e sono *omomorfismi.
25. Funtore contravariante tra C*-algebre commutative con I e spazi compatti di Hausdorff. Caso delle C*-algebre commutative senza identita' e spazi localmente compatti non compatti.
26. *omomorfismi tra C*-algebre sono contrazioni, isometrie se 1-1, il range e' sempre chiuso. Calcolo funzionale continuo di un elemento normale di una C*-algebra.
27. Spectral mapping per elementi normali. Caratterizzazioni degli elementi positivi di B(H); decomposizione polare degli operatori lineari continui.
28. Famiglie commutative in una C*-algebra e spettro congiunto; caratterizzazione algebrica in termini di annichilatori approssimati.
29. Caratterizzazione dello spettro congiunto di famiglie commutative di B(H) in termini di autovettori approssimati.
30. Spettro essenziale e spettro essenziale congiunto, invarianza per perturbazioni compatte, cenni sugli operatori di Fredholm. Teorema di Riesz-Markov (cenni).
31. Calcolo funzionale continuo di famiglie commutative in B(H) e rappresentazioni di C(X); estensione canonica alle funzioni Boreliane; sue proprieta': conserva * e prodotti, trasforma successioni equilimitate puntualmente convergenti in successioni fortemente convergenti. Calcolo funzionale Boreliano con la funzione caratteristica di un punto.
32. L'intersezione di due proiettori a.a. E, F e' limite forte dei monomi in E,F; teorema ergodico medio per gruppi discreti di unitari.
33. Commenti sul nucleo del calcolo funzionale Boreliano. Gli unitari di una C*-algebra con I generano linearmente l'algebra. Famiglia spettrale per rappresentazioni di C*-algebre commutative separabili.
34. Teorema spettrale per operatori a.a. limitati. Ogni algebra di von Neumann e' generata come spazio di Banach dai suoi idempotenti a.a..
35. Operatori lineari compatti su uno spazio di Hilbert; l'ideale bilatero chiuso in norma dei compatti; formula spettrale per operatori compatti a.a. e struttura degli operatori compatti. Se H e' separabile a dimensione infinita, i compatti formano il solo ideale bilatero chiuso proprio.
36. Formula spettrale per operatori unitari.
37. Il funzionale traccia e l'ideale degli operatori tracciabili, sue caratterizzazioni.
38. Isomorfismo tra lo spazio di Banach degli operatori tracciabili e quello dei funzionali lineari ulltradebolmente continui. Varie rappresentazioni di tali funzionali.
39. Teorema del bipolare. Teorema di Krein - Milman.
40. Unicita' della toplogia di spazio normato in dim finita; duali di sottospazi e di quozienti di spazi di Banach.
41. Isomorfismo tra un'algebra di von Neumann ed il duale dello spazio di Banach dei funzionali lineari ud continui (preduale). Caratterizzazioni delle *sottoalgebre non degeneri di B(H).
42. Teorema di densita' di von Neumann.
43. Teorema di densita' di Kaplanski. Cenni sul Teorema di Krein - Smullian.
44. Identita' approssimate in una C*-algebra. Il quoziente modulo un ideale bilatero chiuso e' ancora una C*-algebra.
45. Funzionali lineari positivi normali sono ud continui: ogni *isomorfismo tra algebre di von Neumann e' normale ed e' un omeomorfismo per le topologie ud.
46. Il bicommutante di una * sottoalgebra non degenere di B(H) e' isomorfo allo spazio duale dei funzionali lineari uf (ud) continui. Lemma di Schur. Quasiequivalenza di rappresentazioni. Transitivita' di Kadison.
47. Quasiequivalenza, isomorfismo interpolante tra le algebre di von Neumann, equivalenza unitaria modulo un'ampliazione: cenni sulla dimostrazione dell'equivalenza tra le condizioni.
48. Decomposizione centrale di una rappresentazione in somma diretta di rappresentazioni quasicontenuta e disgiunta da una seconda rapp.; algebra di von Neumann generata dalla somma diretta di due rapp quasiequivalenti, o disgiunte.
49. Rappresentazioni non degeneri sono somma diretta di rappresentazioni cicliche. Rappresentazioni separabili di C*-algebre commutative ammettono vettori separanti per l'algebra di von Neumann generata. Misura basica.
50. Rappresentazioni senza molteplicita' di C*-algebre commutative; la classe della misura basica e' un invariante unitario completo.
51. *isomorfismo *debolmente bicontinuo tra un'algebra di von Neumann R commutativa su H separabile e l'algebra delle funzioni ess limitate su un opportuno spazio di misura. R e' abeliana massimale sse possiede un vettore ciclico.
52. Insiemi completi di operatori a.a. permutabili e rapp di moltiplicazione associata. Struttura delle algebre di von Neumann commutative e cenni sui teoremi di Kuratowski, von Neumann.
53. Cenni sulla teoria della molteplicita' spettrale. Cenni sulla classificazione dei fattori, esempi di fattori di tipo II1; cenni sulle C*-algebre di tipo I, sul teorema di Glimm, e sulla teoria della molteplicita' spettrale per rapp di C*-algebre di tipo I nel caso separabile.
54. Cono positivo di una C*-algebra. Esistenza di identita' approssimate. Un funzionale lineare e' positivo sse il valore su I coincide con la norma. Spazio degli stati.
55. Costruzione di GNS. Estensione di stati.
56. Decomposizione di un funzionale lineare hermitiano come differenza di funzionali positivi. Rappresentazione universale, algebra di von Neumann inviluppante e biduale. Teorema di Gelfand Naimark.
57. Stati puri e rappresentazioni irriducibili, stati dominati da uno stato ed elementi positivi normalizzati del commutante della rappresentazione di GNS.
58. Estensione di stati e di stati puri; abbondanza di stati. Teorema di Glimm e Kadison.
59. Rappresentazione atomica ridotta; C*-algebre separabili ammettono rappresentazioni separabili fedeli. Supporto centrale di un proiettore a.a. in un'algebra di von Neumann. Supporto di una rappresentazione di una C*-algebra nell'algebra di von Neumann inviluppante e quasiequivalenza.
60. Lo spazio degli stati puri e' l'unione disgiunta delle collezioni degli stati vettoriali di rappresentazioni irriducibili; l'insieme di tali collezioni e' in corrispodenza 1-1 con le classi di equivalenza unitaria di rapp irr. Una singola collezione e'in corr 1-1 con il corrispondente spazio di Hilbert proiettivo. Supporto di uno stato normale di un'algebra di von Neumann e di uno stato di una C*-algebra.
61. Probabilita' di transizione tra stati e tra stati puri, relazione con la norma del duale. Formula per la probabilita' di transizione tra combinazioni convesse di stati puri.
62. Struttura delle rappresentazioni dell'algebra dei compatti; decomposizione delle rapprestazioni di B(H) in somma diretta di copie della rappresentazione fondamentale e rappresentazione dell'algebra di Calkin.
63. L'algebra di von Neumann inviluppante dell'algebra dei compatti e' B(H); implementazione di automorfismi e di antiautomorfismi di B(H).
64. Operatori lineari densamente definiti e chiusi; chiudibilita'; teorema del grafico chiuso; operatore aggiunto ed il suo grafico.
65. Chiudibilita' e dominio dell'aggiunto; se A e' chiuso e densamente definito A*A e' autoaggiunto.
66. Operatori hermitiani, chiusura, operatori hermitiani massimali; indici di difetto di un operatore hermitiano e molteplicita' degli autovalori immaginari dell'aggiunto, trasformata di Cayley.
67. Cenni sugli operatori di Fredholm, semifredholm, sull'indice e sugli operatori di Wiener-Hopf.
68. Continuita' del difetto di A - zI; ancora sulla trasformata di Cayley di un operatore hermitiano A: dominio di A*.
69. Caratterizzazione delle isometrie che sono trasformate di Cayley; la trasformazione di Cayley come isomorfismo d'ordine.
70. Struttura della piu' generale estensione hermitiana; caratterizzazione degli operatori hermitiani massimali, cenni sulla decomposizione di Wald.
71. Esempi, operatore derivazione sulle funzioni a quadrato sommabile secondo Lebesgue: casi della retta reale, di un intervallo limitato e di una semiretta. Estensioni a.a. di un operatore hermitiano sullo spazio di Hilbert raddoppiato. Criteri di von Neumann e di Nussbaum.
72. Teorema di Kato - Rellich. Operatore Laplaciano.
73. Perturbazioni del Laplaciano, caso degli operatori di moltiplicazione per la somma di una funzione a quadrato sommabile e di una funzione essenzialmente limitata: limitazione relativa in tre dimensioni, compattezza relativa se la funzione ess. lim. tende a zero all'infinito.
74. Teorema spettrale per operatori autoaggiunti non limitati.
75. Calcolo funzionale continuo con funzioni nulle all'infinito e calcolo funzionale Boreliano limitato per operatori a.a. non limitati, C*-algebra associata.
76. Corrispondenza tra operatori a.a., famiglie spettrali, e rappresentazioni non degeneri dell'algebra delle funzioni complesse continue nulle all'infinito.
77. Rappresentazione unitaria fortemente continua del gruppo dei reali generata da un operatore a.a. A; dominio di A e vettori con orbita differenziabile.
78. Rappresentazioni u.f.c. del gruppo dei reali, rappresentazioni della *algebra di Banach di convoluzione delle funzioni sommabili, e rappresentazioni dell'algebra dele funzioni continue nulle all'infinito; teorema di Stone.
79. Teorema ergodico di von Neumann; teorema di Nelson;
80. Codominio della funzione gaussiana di A e vettori analitici per A. Misura basica associata ad un vettore ciclico analitico per A in termini dei momenti. Gruppi localmente compatti, cenni sul teorema di Haar.
81. Algebra di Banaach e C* algebra di un gruppo localmente compatto; C*-algebra ridotta del gruppo.
82. Cenni sulla teoria spettrale e molteplicita' spettrale per rappresentazioni u.f.c. di gruppi localmente compatti di tipo I con base numerabile di intorni.
83. Gruppi localmente compatti commutativi, dualita' di Pontrjagin, teorema SNAG (cenni).
84. Esempio di operatore BT con solo 0 nel dominio dell'aggiunto, con B isometria parziale e T a.a. positivo. Cenni sui gruppi localmente compatti amenabili.
85. Cenni sui gruppi di Lie ed algebre di Lie, enunciato del teorema di Nelson sull'integrabilita' delle rappresentazioni di un'algebra di Lie.
Testi consigliati od in parte utilizzati: *****************************************
G.K. Pedersen, Analysis now! M. Reed, B. Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, vol. I, II. M.A. Naimark, Normed Algebras. J. Dixmier, C*-Algebras. J. Dixmier, von Neumann Algebras. G.K. Pedersen, C*-Algebras and their automorphism groups. S. Doplicher, Dispense del corso di Analisi Funzionale (a cura di R. Longo).