I settimana giovedi' 27 settembre presentazione del corso; richiami su esistenza e unicita' di EDO; definizione di sistema dinamico; definizione di flusso di fase; legge oraria; curva di fase; esempi; gruppo a un parametro di diffeomorfismi; campo vettoriale delle velocita' di fase. (Butta', Negrini "Note del corso di sistemi dinamici" disponibili on-line http://www1.mat.uniroma1.it/~butta/didattica/sisdin.pdf) II settimana lunedi' 1 ottobre EDO autonoma associata a un flusso di fase, esempi; EDO autonoma come legge locale di evoluzione; esempi; l'oscillatore armonico; definizione di famiglia a due parametri di diffeomorfismi; campo vettoriale delle velocità di fase. martedi' 2 ottobre EDO associata a un flusso di fase, esempi; EDO come legge locale di evoluzione; variazione dei volumi soto l'azione del flusso; esempi; enunciato del teorema di Liouville; corollario del teorema di Liouville. giovedì 4 ottobre dimostrazione del teorema di Liouville; esercizi. III settimana lunedi' 8 ottobre Derivazione dell'equazione di Liouville; soluzione dell'equazione di Liouville; esempi. martedi' 9 ottobre Esercizi sull' equazione di Liouville; leggi di conservazione e equazione di continuità; equazione del trasporto lineare; integrale primo della EDO associata; soluzione del problema di Cauchy omogeneo; soluzione del problema di Cauchy non omogeneo col metodo delle caratteristiche. giovedi' 11 ottobre Equazione dell onde; onde viaggianti, onde armoniche, onde armoniche stazionarie; un modello microscopico per la corda vibrante: la catena di oscillatori; definizione del modello, lagrangiana e equazioni del moto; conservazione dell'energia lungo le soluzioni (esercizio); dalla catena di oscillatori alla corda vibrante: riscalamento dei parametri. IV settimana lunedi' 15 ottobre derivazione microscopica dell'equazione della corda vibrante: limite di scala (formale) della Lagrangiana di una catena di oscillatori con potenziale ad un sito; limite di scala (formale) delle equazioni del moto. martedi' 16 ottobre funzionale d'azione e derivazione dell'equazione delle onde dal principio di Hamilton; derivazione dell'equazione della corda vibrante con estremi liberi; teorema di conservazione dell'energia; problemi di Cauchy-Dirichlet e Cauchy-Neumann per l'equazione delle onde; teorema di unicita' della soluzione con il metodo dell'energia. giovedi' 18 ottobre esercizi sull' equazione del trasporto lineare e equazione di Liouville. V settimana lunedi' 22 ottobre la soluzione di D'Alembert per il problema di Cauchy globale; dominio di dipendenza, cono di influenza; propagazione di una perturbazione nel caso di impulso iniziale nullo; propagazione di una perturbazione nel caso di spostamento iniziale nullo; principio di Huygens. martedì 23 ottobre esempio di propagazione di una perturbazione; simmetrie e dell'equazione delle onde; soluzione del problema di Cauchy-Dirichlet omogeneo con condizioni omogenee. giovedì 25 ottobre esercizi con il metodo delle riflessioni; interpretazione del metodo delle riflessioni. VI settimana lunedì 29 ottobre sospensione della didattica (allerta meteo) martedì 30 ottobre sospensione della didattica (allerta meteo) VII settimana lunedì 5 novembre soluzione fondamentale dell'equazione delle onde in una dimensione martedì 6 novembre cenni sulle distribuzioni; la delta di Dirac (referenze per approfondimenti: W. Rudin, Analisi Funzionale) giovedì 8 novembre I ESONERO VII settimana lunedì 12 novembre formula di Duhamel martedì 13 novembre richiami sullo sviluppo in serie di Fourier; serie di Fourier in forma complessa; metodo di Fourier per il problema di Cauchy-Dirichlet omogeneo. giovedì 15 novembre vibrazioni proprie del sistema: onde stazionarie armoniche; energia dei moti armonici; metodo di Fourier per il problema di Cauchy-Neumann omogeneo. venerdì 16 novembre (recupero lezione) esercizi VIII settimana lunedì 19 novembre Derivazione euristica della formula di Fourier; definizione della trasformata di Fourier; spazio di Schwarz; proprietà della trasformata e dell'antitrasformata. martedì 20 novembre dimostrazione della formula di Fourier (per funzioni a supporto compatto); teorema di Plancherel-Parseval; trasformata di Fourier di una distribuzione; esempi. Referenze sulla trasformata di Fourier: Kolmogorov, Fomin "Elementi di teoria delle funzioni e di analisi funzionale" IX settimana lunedì 26 novembre pacchetto d'onda; velocità di fase, velocità di gruppo e relazione di dispersione; pacchetto d'onda gaussiano; derivazione dell'equazione delle onde dalle equazioni di Maxwell nel vuoto. martedì 27 novembre richiami sul laplaciano; laplaciano in coordinate sferiche; proprietà di invarianza sotto rotazioni e traslazioni; soluzioni speciali dell'equazione delle onde:onde piane, onde sferiche. giovedì 29 novembre problemi ben posti: condizioni di Cauchy-Dirichlet e Cauchy-Neumann; teorema di conservazione dell'energia; unicità della soluzione del problema di Cauchy-Dirichlet di Cauchy-Neumann omogenei; problema di cauchy globale; cono caratteristico retrogrado, energia; teorema di unicita' per il problema di Cauchy globale, velocità massima di propagazione. venerdì 30 novembre (recupero lezione) esercizi X settimana lunedì 3 dicembre soluzione fondamentale dell'equazione delle onde in 3 d; formula di Kirchhoff (Salsa, Equazioni a derivate parziali). martedì 4 dicembre Principio di Huygens; sorgente puntiforme e principio di Huygens forte; formula di Poisson; vibrazioni libere di una membrana rettangolare: soluzione con il metodo di Fourier del problema di Cauchy-Dirichlet omogeneo. giovedì 6 dicembre equazione per il potenziale elettrostatico; funzione di Green e soluzione fondamentale dell'operatore di Laplace. XI settimana lunedì 10 dicembre identità di Green; funzioni armoniche e loro rappresentazione mediante la formula di Green. martedì 11 dicembre primo e secondo teorema della media; principio del massimo; corollari del principio del massimo; proprieta' di regolarita' delle funzioni armoniche. giovedì 12 dicembre teorema di unicita' e stabilita' del problema di Laplace-Dirichlet; esempi: problemi con simmetria radiale; principio del confronto; metodo di Fourier per il problema di Laplace-Dirichlet sul disco. XII settimana lunedì 17 dicembre dimostrazione della formula integrale di Poisson per il problema di Laplace-Dirichlet sul disco. martedì 18 dicembre proprietà di media e proprietà di armonicità; disuguaglianza di Harnack; teorema di Liouville; esercizi: equazione di Laplace-Dirichlet su un dominio rettangolare; correzione di esercizi. giovedì 20 dicembre funzioni di Green in domini limitati; soluzione del problema di Laplace-Dirichlet attraverso la funzione di Green; metodo delle cariche immagine; esempi: semipiano, sfera in 3dim. XIII settimana lunedì 7 gennaio soluzione dll'equazione di Poisson in R^3. martedì 8 gennaio decadimento all'infinito e unicità per la soluzione dell'equazione di Poisson in R^3; derivazione dell'equazione del calore; problemi ben posti; frontiera parabolica; unicità con il metodo dell'energia. giovedì 9 gennaio principio del massimo parabolico; teorema di stabilità e unicità; soluzione fondamentale: proprietà di invarianza per traslazioni. venerdì 10 gennaio, ore 16-18, aula I (recupero lezione del 30 ottobre) correzione esercizi XIV settimana lunedì 14 gennaio soluzione fondamentale: invarianza sotto riscalamento parabolico, proprietà di autosimilarità; derivazione della soluzione fondamentale attraverdo la trasformata di Fourier; soluzione del problema di Cauchy globale. martedì 15 gennaio dalla passeggiata aleatoria simmetrica all'equazione del calore; soluzione della equazione del calore per la sbarra limitata ad un estremo. giovedì 17 gennaio II ESONERO