La sera di domenica 19 luglio 2026, mentre Spagna e Argentina si sfidavano nella finale dei Mondiali di calcio, la comunità matematica assisteva alla svolta su un problema aperto da ben 87 anni: la celebre Congettura Jacobiana, formulata da Ott-Heinrich Keller nel 1939, è stata confutata.
La questione è stata risolta attraverso la scoperta di un controesempio esplicito.
La Cronistoria della Scoperta
La sequenza di eventi che ha portato alla caduta della congettura evidenzia un aneddoto singolare e una sinergia inedita tra intuizione algebrica e modelli di intelligenza artificiale:
19 Luglio 2026 (Post su X e il Controesempio): Proprio durante lo svolgimento della finale mondiale, il matematico Levent Alpöge (ricercatore presso Anthropic) ha pubblicato un breve messaggio di appena 216 caratteri su X annunciando che la congettura si era rivelata falsa. Nel post, Alpöge ha ringraziato un amico per avergli ricordato il problema e un altro "amico", Fable, per aver lavorato all'algoritmo durante la partita. Il secondo "amico" era in realtà Claude Fable 5, l'ultimo modello AI di Anthropic: insieme avevano appena elaborato un controesempio esplicito in tre dimensioni. Come osservato da Abhishek Saha (Queen Mary University of London), la verifica del controesempio è analiticamente immediata, mentre il processo euristico con cui vi si sia giunti resta al momento oggetto di studio.
20 Luglio 2026 (La Riformulazione Geometrica): Andy Jiang, dottorando presso l'Università del Michigan, ha pubblicato una riformulazione geometrica del problema, attribuendo a GPT il supporto nella derivazione.
21 Luglio 2026 (La "Digestione" Geometrica di Tao): La Medaglia Fields Terence Tao (UCLA) ha pubblicato una dettagliata analisi sul proprio blog, fornendo una chiave di lettura geometrica del controesempio basata sulla moltiplicazione di forme binarie e sulle proprietà delle cubiche, mettendola in relazione con storici lavori di Anatoli Vitushkin.
Versione Algebrica Semplificata: Parallelamente, Vitor Freitas ha individuato una versione algebricamente semplificata del controesempio avvalendosi del modello Claude Opus 4.8.
I Dettagli del Controesempio
Il controesempio fondamentale è costituito da una applicazione polinomiale $F\colon \mathbb{C}^3 \to \mathbb{C}^3$ così definita:
$$
F(x,y,z) = \left( (1+xy)^3z+y^2(1+xy)(4+3xy), \ y+3x(1+xy)^2z+3xy^2(4+3xy), \ 2x-3x^2y-x^3z \right).
$$
Il determinante della matrice Jacobiana di questa applicazione è costante e pari a -2 (dunque mai nullo). Tuttavia, l'applicazione non è globalmente iniettiva e di conseguenza non ammette inversa.
A titolo di esempio, valutando l'applicazione nei tre punti distinti:
$\left(0, 0, -\frac{1}{4}\right)$
$\left(1, -\frac{3}{2}, \frac{13}{2}\right)$
$\left(-1, \frac{3}{2}, \frac{13}{2}\right)$
si ottiene in tutti e tre i casi la medesima immagine: $\left(-\frac{1}{4}, 0, 0\right)$.
Partendo da questa costruzione in dimensione 3, è immediato estendere il controesempio a qualunque dimensione $n \ge 4$ considerando la mappa $(x_1, x_2, x_3, x_4, \dots, x_n) \mapsto (F(x_1, x_2, x_3), x_4, \dots, x_n)$.
Per Approfondire
Per un'analisi dettagliata della costruzione geometrica e delle implicazioni di questo risultato sulla ricerca in geometria algebrica, vi invitiamo a leggere l'articolo di Terence Tao:
A digestion of the Jacobian conjecture counterexample - Terence Tao
E adesso?
Ricordiamoci che la Congettura Jacobiana è banalmente vera in dimensione n=1 e, soprattutto... è ancora del tutto aperta in dimensione n=2!
Dunque niente scuse: gessetti e lavagna, il caso bidimensionale ci aspetta. Buon lavoro a tutti!