Scheda insegnamento
Istituzioni di Geometria Superiore
| anno accademico: | 2013/2014 |
| docente: | Antonio Maschietti |
| corso di laurea: | Matematica per le Applicazioni (magistrale) |
| tipo di attività formativa: | affine e integrativa |
| crediti formativi: | 9 (72 ore di lezione) |
| raggruppamento disciplinare: | MAT/03 Geometria |
| lingua di insegnamento: | italiano |
| periodo: | I sem (01/10/2013 - 18/01/2014) |
Aula ed orario di lezione
Frequenza: consigliata
Programma di massima del corso:
1. Spazi euclidei. Richiami di calcolo differenziale: differenziabilità, derivate parziali, il teorema della funzione inversa.
2. Varietà topologiche. Proprietà topologiche delle varietà. Strutture differenziabili. Esempi. Gruppi di Lie. Sottovarietà euclidee.
3. Applicazioni differenziabili. Rango di un'applicazione differenziabile. Partizioni dell'unità.
4. Generalità sulle curve. Lo spazio tangente ad una sottovarietà euclidea. Due diverse definizioni di spazio tangente ad una varietà differenziabile. Il differenziale.
5. Sottovarietà differenziabili. Immersioni e summersioni. Superfici dello spazio ambiente (generalità). Il teorema di Sard. Il teorema dimmersione di Whitney.
6. Il fibrato tangente. Generalità sui fibrati vettoriali. Campi vettoriali. Gruppi ad un parametro. Linea di flusso e generatore infinitesimale. Problema di Cauchy. Flusso locale su una varietà. Ogni campo vettoriale è generatore infinitesimale di un flusso locale. Il caso delle varietà compatte. Lesponenziale di matrici.
7. Il fibrato cotangente. 1-forme su una varietà. Uso delle coordinate locali.
8. Elementi di algebra multilineare. Tensori e forme differenziali. Tensori simmetrici. Metriche riemanniane: generalità sulle varietà riemanniane. Orientazione.
9. Proprietà metriche delle curve: curvatura, torsione, formule di Frenet. Teorema fondamentale della teoria locale delle curve spaziali.
10. Proprietà metriche delle superfici: I forma fondamentale. Calcolo di lunghezze, angoli ed aree. Lapplicazione di Gauss. Loperatore forma. La II forma fondamentale. Curvatura normale. Teorema di Meusnier. Sezione normale. Curvature principali. Direzioni principali. Linee di curvatura e loro caratterizzazione. Formula di Eulero. Curvatura gaussiana e curvatura media. Classificazione dei punti di una superficie. Loperatore forma in coordinate locali. Equazioni di Weingarten, simboli di Christoffel, equazioni di compatibilità. Theoremaegregium di Gauss. Teorema di rigidità delle superfici. 10. Integrazione sulle varietà. Teorema di Stokes.
Proprietà globali: omologia e coomologia, numeri di Betti, lemma di Poincaré, dualità.
11. Strutture simplettiche e sistemi hamiltoniani.
Testo consigliato:
A.Maschietti, Introduzione alle varietà differenziabili. Dispense
E. Sernesi, Geometria II. Bollati Boringhieri, 1994
Modalità di erogazione: convenzionale
Prerequisiti: ALGEBRA LINEARE, CALCOLO 1 e 2, GEOMETRIA ANALITICA
Risultati di apprendimento - Conoscenze acquisite: Concetti di base della geometria differenziale: varietà differenziabile, applicazione differenziabile, fibrato tangente, campo vettoriale, flusso di un campo vettoriale, campo tensoriale, forma differenziale, gruppo di Lie. Teoria locale delle curve: formule di Frenet; teoria locale delle superfici: proprietà metriche, curvatura gaussiana, teorema di Gauss.
Risultati di apprendimento - Competenze acquisite: Saper studiare una curva assegnata mediante equazioni parametriche o cartesiane: calcolo dell'apparato di Frenet. Saper studiare una superficie assegnata mediante equazioni parametriche o cartesiane: calcolo della curvatura gaussiana, delle curvature principali, delle sezioni normali. Saper determinare carte locali e scrivere formule di cambiamento di coordinate. Saper studiare un'applicazione differenziabile: determinazione del rango. Saper determinare lo spazio tangente ad una varietà e studiare un campo vettoriale. Saper eseguire le principali operazioni di calcolo tensoriale, calcolare integrali di linea e riconoscere l'esattezza di una forma differenziale.
Studio personale: la percentuale prevista di studio personale sul totale dell'impegno richiesto è del 65%