Scheda insegnamento
Istituzioni di Algebra Superiore
| anno accademico: | 2013/2014 |
| docente: | Dina Ghinelli |
| corso di laurea: | Matematica per le Applicazioni (magistrale) |
| tipo di attività formativa: | affine e integrativa |
| crediti formativi: | 9 (72 ore di lezione) |
| raggruppamento disciplinare: | MAT/02 Algebra |
| lingua di insegnamento: | italiano |
| periodo: | I sem (30/09/2013 - 17/01/2014) |
Aula ed orario di lezione
Frequenza: consigliata
Obiettivi del corso:
- Introdurre le tecniche algebriche della teoria delle basi di Groebner necessarie alla comprensione della situazione attuale in Crittografia e Teoria dei Codici.
- Mostrare le principali applicazioni delle Basi di Groebner in Geometria, Crittografia e Teoria dei Codici.
Programma di massima del corso:
- Algebra, Geometria e Algoritmi: Polinomi e Spazi Affini; Varieta' affini e Parametrizzazioni; Esempi; Problemi di descrizione di un ideale e di appartenenza di un polinomio ad un ideale: caso di una variabile; Algoritmo di divisione tra polinomi e sue conseguenze; Algoritmo euclideo e applicazioni alla soluzione del problema di appartenenza; Nullstellensatz in una variabile.
- Basi di Groebner: Primi esempi del metodo delle Basi di Groebner; Algoritmo di Gauss-Jordan; Parametrizzazione e implicitizzazione di varieta' lineari; Ordini monomiali; Algoritmo di divisione per polinomi in piu' variabili: Esempi e osservazioni; Ideali monomiali; Teorema della base di Hilbert e basi di Groebner; S-polinomi, Criterio di Buchberger; Algoritmo di calcolo di basi di Groebner; Algoritmo di Buchberger; Applicazioni ed esempi.
- Cenni di teoria dell'eliminazione:Teorema di eliminazione; Soluzioni parziali, teorema di estensione; Interpretazione geometrica dei teoremi di eliminazione ed estensione; Esempi; Teorema di chiusura e sue conseguenze. Algoritmo di implicitizzazione per parametrizzazioni polinomiali e razionali. Uso delle basi di Groebner nello studio degli inviluppi di famiglie di curve algebriche.
- Il dizionario Algebra-Geometria: Teorema degli zeri di Hilbert; Ideali radicali e la corrispondenza Ideali-varieta'; Somme, Prodotti e Intersezioni tra ideali; chiusura di Zariski e quozienti di ideali; Varieta' irriducibili e ideali primi; Decomposizione di una varieta'inirriducibili.
- Introduzione alla Crittografia e alla Teoria dei codici correttori.
- Alcune applicazioni in Crittografia e Teoria dei codici.
Testo consigliato:
Verranno distribuite delle dispense (si veda il link alla pagina del corso). Per approfondimenti si consigliano:
- W. Baldoni, C. Ciliberto, G.M. Piacentini Cattaneo, Aritmetica, Crittografia e Codici, Springer-Verlag (2006).
- D. Cox, J. Little, D. O'Shea, Ideals, Varieties, and Algorithms, An introduction to Computational Algebraic Geometry and Commutative Algebra, Springer-Verlag (1992).
- D. A. Gewurz e F. Merola, Concetti essenziali ed esempi d'uso di CoCoA, DMURLS, Roma 2001.
- M. Kreuzer e L. Robbiano, Computational Commutative Algebra I, Springer, 2000.
Modalità di erogazione: convenzionale
Link utili:
- REGISTRAZIONE: Tutti gli studenti sono invitati a registrarsi entro il 21 ottobre 2013 sulla pagina di registrazione, precisando oltre al nome e cognome tutte le altre informazioni (particolarmente importante è inserire anche numero di matricola e Email, anche se nella pagina sono indicati come non obbligatori).
- Pagina del corso
Risultati di apprendimento - Conoscenze acquisite: Gli studenti che abbiano superato l'esame saranno in grado di studiare i luoghi di punti soluzioni di sistemi di equazioni polinomiali in piu' indeterminate in spazi affini n-dimensionali sia dal punto di vista locale che globale - Utilizzare l'algoritmo di divisione per polinomi in piu' variabili - Conoscere le nozioni di base alcuni problemi e risultati classici della Crittografia e della teoria dei codici correttori.
Risultati di apprendimento - Competenze acquisite: Gli studenti che abbiano superato l'esame saranno in grado di stabilire un dizionario Algebra-Geometria che permetta di tradurre problemi algebrici in problemi geometrici e viceversa e di utilizzare le basi di Groebner per risolvere equazioni polinomiali e problemi attuali di crittografia e teoria dei codici. Saranno inoltre in grado di esprimere con buona proprieta' di linguaggio e con l'uso di notazioni rigorose concetti e risultati di tali teorie. Questo sara' una buona base per eventuali successivi studi di natura algoritmica.
Studio personale: la percentuale prevista di studio personale sul totale dell'impegno richiesto è del 65%