Scheda insegnamento

Istituzioni di Analisi Superiore

anno accademico:	2013/2014
docente:	Alberto Tesei
corsi di laurea:	Matematica per le Applicazioni (magistrale), I anno Matematica (magistrale)
tipo di attività formativa:	caratterizzante
crediti formativi:	9 (72 ore di lezione)
raggruppamento disciplinare:	MAT/05 Analisi Matematica
lingua di insegnamento:	italiano
periodo:	I sem (30/09/2013 - 17/01/2014)

Aula ed orario di lezione

Frequenza: consigliata

Programma di massima del corso: PROGRAMMA PRELIMINARE

Integrazione Famiglie di insiemi, sigma-algebre; insiemi di Borel. Spazi misurabili. Misure positive. Spazi di misura. Misure finite e sigma-finite. Misure esterne. Famiglie di ricoprimenti numerabili. Costruzione e restrizione di misure esterne. Insiemi misurabili. Estensione di Caratheodory. Misura di Lebesgue in Rn. Confronto con la misura di Peano-Jordan. Invarianza per traslazioni. Misurabilita secondo Lebesgue degli insiemi di Borel. Misura di Lebesgue-Stieltjes. Misure di Radon. Funzioni misurabili. Funzioni semplici. Approssimazione di funzioni misurabili con funzioni semplici. Integrale di Lebesgue di funzioni misurabili positive. Disuguaglianza di Tchebichev. Teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale: teorema di Beppo Levi, lemma di Fatou. Integrazione per serie. Assoluta continuita dell'integrale. Misure di densita. Misure assolutamente continue, misure singolari. Funzioni integrabili. Integrale di Lebesgue di funzioni integrabili. Teorema di convergenza dominata. Integrazione per serie. Integrali dipendenti da parametri, risultati di continuità e derivabilità. Integrale di funzioni complesse. Insiemi di misura nulla. Spazi di misura completi. Funzioni definite quasi ovunque. Funzioni essenzialmente limitate. Spazi L1 e L-infinito. Misure con segno; variazione positiva, negativa e totale. Integrazione rispetto a misure con segno.
Spazi di Lebesgue, dualità e compattezza Definizione degli spazi Lp. Disuguaglianze di Jensen e di Young, di Holder e di Minkowski. Spazi vettoriali normati, spazi di Banach. Completezza degli spazi Lp. Densita in Lp(Rn) di spazi di funzioni continue. Separabilita degli spazi Lp(Rn), nonseparabilità di L-infinito(Rn). Convergenza quasi ovunque e in misura. Lemma di Borel-Cantelli. Convergenza forte e convergenza debole; convergenza debole-star. Relazione fra diversi tipi di convergenza. Operatori e funzionali limitati. Spazio duale; spazi riflessivi. Dualità degli spazi Lp. Uniforme convessità. Lo spazio L-infinito come duale di L1. Funzioni continue a supporto compatto. Funzionali positivi; decomposizione di Jordan di funzionali localmente limitati. Le misure di Radon come spazio duale. Spazi euclidei: disuguaglianza di Schwartz, identita del parallelogramma. Spazi di Hilbert. Uniforme convessità degli spazi di Hilbert. Teorema di isomorsmo di Riesz-Fischer. Teorema di Ascoli-Arzelà. Immersione compatta di spazi Ck e di spazi di Holder. Compattezza debole in spazi riflessivi. Teorema di Banach-Alaoglu. Criteri di compattezza debole in L1. Uniforme integrabilità; teorema di Vitali. Esempi di applicazione allo studio di problemi per equazioni alle derivate parziali.
Integrazione in spazi prodotto Definizione di spazi di misura prodotto. Teorema di Tonelli. Teorema di Fubini. Convoluzione. Regolarizzazione di funzioni Lp. Trasformata di Fourier di funzioni L1. Trasformata di Fourier della convoluzione. Inversione della trasformata di Fourier. Trasformata di Fourier di funzioni L2; teorema di Plancherel. Applicazione allo studio del problema di Cauchy per l'equazione del calore.
Distribuzioni e spazi di Sobolev Funzioni test, convergenza in C1. Distribuzioni; esempi e prime proprietà. Convoluzione; moltiplicazione per funzioni C1. Funzioni localmente sommabili. Derivate deboli. Spazi W1,p Regole di derivazione, derivata del valore assoluto e del massimo tra funzioni W1,p. Le misure come distribuzioni positive. Duale di W1,p. Definizione e completezza dello spazio H1. Integrazione per parti in H1. Caratterizzazione di H1 per trasformata di Fourier. Disuguaglianza di Kato. Disuguaglianze di Sobolev. Immersione di spazi Wm,p. Teorema di Rellich-Kondrachev.

Programma completo del corso: download file

Testo consigliato:
E.DiBenedetto: Real Analysis (Birkhåuser,2002).
L. C. Evans: Partial Dierential Equations (AMS, 1998).
E. H. Lieb - M. Loss: Analysis (AMS, 2000).
A. Tesei: Istituzioni di Analisi Superiore (Bollati Boringhieri, 1997).

Modalità di erogazione: convenzionale

Risultati di apprendimento - Conoscenze acquisite:
Gli studenti che abbiano seguito il corso con profitto avranno una conoscenza di buon livello della teoria della misura ed integrazione secondo Lebesgue.

Risultati di apprendimento - Competenze acquisite:
Gli studenti che abbiano seguito il corso con profitto saranno in grado di:
a) Risolvere esercizi di difficoltà medio-alta;
b) Affrontare lo studio di lavori matematici in cui si fa uso della teoria di Lebesgue.

Studio personale: la percentuale prevista di studio personale sul totale dell'impegno richiesto è del 65%

Dati statistici relativi ai risultati degli esami