Scheda insegnamento
Equazioni Differenziali
| anno accademico: | 2013/2014 |
| docente: | Annalisa Malusa |
| corso di laurea: | Matematica - DM 270/04 (triennale), III anno |
| tipo di attività formativa: | caratterizzante |
| crediti formativi: | 6 (48 ore di lezione) |
| raggruppamento disciplinare: | MAT/05 Analisi Matematica |
| lingua di insegnamento: | italiano |
| periodo: | II sem (03/03/2014 - 13/06/2014) |
Aula ed orario di lezione
Frequenza: consigliata
Programma di massima del corso:
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INTRODUZIONE AI CONCETTI PRINCIPALI TRAMITE MODELLI APPLICATIVI
Modelli ecologici, funi sospese, pendolo. -
PRIME DEFINIZIONI E RICHIAMI
Definizioni: soluzioni di equazioni differenziali ordinarie, equazioni in forma normale, problema di Cauchy, problemi ben posti. Teorema di esistenza ed unicità in piccolo sotto ipotesi di Lipschitzianità: iterate di Picard e loro convergenza. Prolungamenti, soluzioni massimali, soluzioni globali. -
QUALCHE METODO DI RISOLUZIONE
Equazioni a variabili separabili, equazioni lineari omogenee del primo ordine. Forme differenziali ed equazioni differenziali: equazioni differenziali esatte e metodo del fattore integrante. Integrali primi. Sistemi conservativi. Equazioni lineari non omogenee del primo ordine. Equazioni omogenee. Equazioni di Bernoulli. -
TEORIA GENERALE DI BASE
Lemma di Gronwall e prime conseguenze. Formulazione integrale del problema. Spezzate di Eulero e teorema di esistenza per in ipotesi di continuità. Pennello di Peano (cenni). Unicità in ipotesi di Lipschitzianità tramite il lemma di Gronwall. Teorema di regolarità. Prolungamenti, soluzione massimale e soluzione globale. Teorema di esistenza ed unicità del prolungamento massimale. Comportamento delle soluzioni massimali agli estremi del loro dominio. . Teorema di esistenza globale. Dipendenza continua e differenziabilità rispetto ai dati iniziali. -
SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI
Sistemi lineari omogenei: struttura dellintegrale generale. Sistema fondamentale di soluzioni, matrice fondamentale. Wronskiano ed identità di Abel. Sistemi lineari non omogenei: struttura dellintegrale generale. Metodo di variazione delle costanti e formula di Duhamel. Sistemi lineari omogenei autonomi: euristica sulla determinazione di una matrice fondamentale. Algebra degli operatori lineari e limitati su uno spazio di Banach e sue proprietà. Esponenziale di un operatore lineare e limitato. Funzioni a valori in spazi di Banach, continuità e derivabilità dellesponenziale. Matrice fondamentale esponenziale. Complessificazione. Esponenziale di una matrice con complessificata diagonalizzabile. Autovettori ed autospazi generalizzati, forma canonica di Jordan. Forma esplicita di un sistema fondamentale di soluzioni per un sistema lineare omogeneo autonomo. Analisi qualitativa di sistemi lineari omogenei autonomi: criterio di stabilità, criterio di limitatezza. Studio qualitativo di sistemi lineari omogenei autonomi bidimensionali. Sistemi n-dimensionali: contrazioni, dilatazioni, flussi lineari iperbolici. -
ANALISI LOCALE DI SISTEMI NONLINEARI AUTONOMI
Punti singolari. Equivalenza di flussi. Teorema di rettificazione locale. Stabilità alla Lyapunov. Criterio di stabilità lineare. Stabilità ed instabilità per sistemi lineari perturbati. Principio di linearità stabilizzata.
Testo consigliato:
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A. Malusa: Introduzione alle Equazioni Differenziali Ordinarie, La Dotta, 2013.
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C. Mascia: EDO - Equazioni Differenziali Ordinarie. Pitagora Ed., 2012.
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H. Amann: Ordinary Differential Equations. An Introduction to Nonlinear Analysis. De Gruyter Studies in Mathematics, vol. 13, 1990.
- S. Salsa, A. Squellati: Esercizi di Analisi Matematica 2, vol.3, Equazioni differenziali ordinarie. Zanichelli, 1994.
Modalità di erogazione: convenzionale
Risultati di apprendimento - Conoscenze acquisite: Proprietà generali delle soluzioni di sistemi di equazioni differenziali ordinarie.
Risultati di apprendimento - Competenze acquisite: Tecniche per la determinazione esplicita di soluzioni delle più comuni equazioni differenziali ordinarie e dei sistemi lineari di equazioni differenziali. Analisi qualitativa di semplici sistemi di equazioni differenziali ordinarie.
Studio personale: la percentuale prevista di studio personale sul totale dell'impegno richiesto è del 65%