Scheda insegnamento
Algebra I
| anno accademico: | 2013/2014 |
| docente: | Corrado De Concini |
| corso di laurea: | Matematica - DM 270/04 (triennale), I anno |
| tipo di attività formativa: | di base |
| crediti formativi: | 9 (72 ore di lezione) |
| raggruppamento disciplinare: | MAT/02 Algebra |
| lingua di insegnamento: | italiano |
| canale: | A-H |
| periodo: | II sem (03/03/2014 - 13/06/2014) |
Aula ed orario di lezione
Frequenza: consigliata
Programma di massima del corso: PROGRAMMA DI MASSIMA DEL CORSO
- Il linguaggio della teoria degli insiemi
Elementi di teoria degli insiemi. Applicazioni. Relazioni di equivalenza e di ordine su di un insieme. Insieme quoziente e proiezione al quoziente. Cardinalità di insiemi. - Aritmetica su Z ed aritmetica modulare
Divisione euclidea tra interi. Massimo comun divisore. Algoritmo euclideo per il calcolo del MCD. Numeri primi e Teorema fondamentale dell'aritmetica. Congruenze modulo un intero. Elementi invertibili di Z_m. La funzione di Eulero. Teorema di Eulero-Fermat. Piccolo Teorema di Fermat. Teorema di Wilson. Equazioni e sistemi di equazioni congruenziali. Teorema cinese dei resti. - Gruppi
Strutture algebriche: definizioni ed esempi. Sottogruppi e sottogruppi normali di un gruppo. Omomorfismo di gruppi. Gruppo quoziente. Teoremi di omomorfismo. Teorema di corrispondenza per sottogruppi di un gruppo quoziente. Teorema di Lagrange e Teorema di Cayley. C_n, S_n, D_n, gruppi lineari. Azioni di gruppo su di un insieme. Permutazioni e coniugio. - Anelli e fattorizzazione
Esempi: domini di integrità e campi. Ideali di un anello. Omomorfismi di anelli. Anelli quoziente. Teoremi di omomorfismo. Teorema di corrispondenza per ideali di un anello quoziente. Anelli di polinomi e loro proprietà universale. Polinomi a coefficienti in un dominio. Campo delle frazioni di un dominio di integrità. La proprietà euclidea dei polinomi monici. Domini euclidei: esempi. Gli interi di Gauss. Domini a ideali principali. Ideali primi ed ideali massimali. Polinomi irriducibili. Divisibilità nei domini. Elementi primi ed irriducibili. Domini a fattorizzazione unica. Lemma di Gauss. Criterio di Eisenstein ed altri criteri di irriducibilità. Gli elementi irriducibili di Z[x]. Fattorizzazione unica in Z[x]. I primi di Gauss.
- L'esame consta di una prova scritta e di una prova orale. Accede alla prova orale lo studente che ha riportato una votazione di almeno 15/30 alla prova scritta. Per sostenere la prova è necessario iscriversi all'appello via INFOSTUD.
- Sono previste anche due prove scritte intermedie (esoneri, in questo caso non vi è nessuna iscrizione via INFOSTUD). Lo studente che ottiene una votazione media di almeno 15/30 ed a nessuna delle due prove ottiene una votazione minore di 12/30 può accedere direttamente alla prova orale.
Modalità di erogazione: convenzionale
Risultati di apprendimento - Conoscenze acquisite: Comprendere il significato di struttura astratta e di identificazione di strutture a meno di isomorfismi. Comprendere l'uso delle relazioni di equivalenza per la definizione di enti astratti e delle relazioni di equivalenza compatibili per la definizione delle strutture quozienti. Distinguere fra le diverse cardinalità degli insiemi infiniti. Comprendere la differenza fra le definizioni di elemento irriducibile ed elemento primo in un dominio e l'importanza del teorema di fattorizzazione unica. Acquisire le prime nozioni sui gruppi e sull'ordine dei loro elementi.
Risultati di apprendimento - Competenze acquisite: Riconoscere l'iniettività e la suriettività di un'applicazione. Riconoscere relazioni di equivalenza e relazioni d'ordine. Calcolare il MCD in Z, Z[i] ed in K[x] tramite l'algoritmo euclideo delle divisioni successive. Risolvere le equazioni congruenziali lineari ed i sistemi di tali equazioni. Studiare l'irriducibilità di un polinomio in K[x] in casi semplici. Studiare la struttura di alcune famiglie di gruppi (ciclici, di permutazioni, diedrali). Applicare il teorema di omomorfismo in casi semplici.
Studio personale: la percentuale prevista di studio personale sul totale dell'impegno richiesto è del 65%