Diario
delle lezioni
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Settimana 1 |
Martedì |
29/9/09 |
Logica elementare, insiemi e operazioni insiemistiche, numeri naturali, interi, razionali, gruppi (commutativi), applicazioni iniettive, suriettive, biiettive |
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Giovedì |
01/10/09 |
Immagine e immagine inversa di applicazioni, inversa di
un'applicazione, gruppo delle permutazioni di un insieme,
relazioni di equivalenza, insiemi quoziente,
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Venerdì |
02/10/09 |
Relazioni di equivalenza, classi di equivalenza, insiemi quoziente, campi Z/p, insiemi limitati, massimo ed estremo superiore, numeri reali, numeri complessi, significato geometrico della somma, coniugio, norma e argomento, esponenziale reale (intuitivamente), esponenziale complessa (prime proprieta`), significato geometrico della moltiplicazione, Teorema fondamentale dell'algebra (enunciato) |
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Settimana 2 |
Martedì |
06/10/09 |
Proprietà dell'esponenziale complessa, logaritmo, radice n-esima di un numero complesso, gruppo delle radici n-esime dell'unità, invertibili e primi in A=Z,K[t], fattorizzazione unica in A (enunciato), massimo comun divisore in A, dimostrazioni per induzione, teorema di Bézout (algoritmo di Euclide) |
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Giovedì |
07/10/09 |
Polinomi reali irriducibili, piano affine reale A2 (insieme dei punti del piano reale), vettori applicati nel piano, insieme dei vettori liberi nel piano e R2, somma di vettori (liberi) e regola del parallelogramma, somma di un punto e un vettore libero, prodotto di un vettore per uno scalare, struttura di spazio vettoriale su R2 |
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Venerdì |
08/10/09 |
Spazi vettoriali Rn e Kn (K campo), spazi affini An, sistemi di riferimento vettoriali (basi) in Rn e sistemi di riferimento affini in An, coordinate rispetto a sistemi di riferimento, rette e piani (parametrizzazioni), sottospazi vettoriali di e sottospazi affini di Rn |
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Settimana 3 |
Martedì |
13/10/09 |
Applicazioni lineari da Rn a Rm e rappresentazione matriciale, prodotto di una matrice e un vettore |
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Giovedì |
15/10/09 |
Applicazioni lineari da Rn a Rm: somma e prodotto per scalare, composizione; somma di matrici, prodotto di una matrice per uno scalare, prodotto fra matrici; corrispondenza applicazione lineare<-->matrice, esempi |
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Venerdì |
16/10/09 |
Applicazioni affini da Rn a Rm e composizione, nucleo e immagine di applicazioni lineari da Rn a Rm (analogo affine per esercizio), immagine di una matrice e operazioni elementari sulle colonne, sistemi di equazioni lineari (omogenei e non omogenei) Mv=b e calcolo dell'immagine inversa di b |
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Settimana 4 |
Martedì |
20/10/09 |
Matrice completata associata ad un sistema lineare, sistemi lineari a scala: risolubilità, pivot e spazio delle soluzioni (parametrizzato), operazioni elementari sulle righe, riduzione a scala di Gauss, sistemi lineari quadrati singolari e non singolari, iniettività e suriettività di applicazioni lineari, inversa di un'applicazione lineare, criterio di invertibilità di un'applicazione lineare |
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Giovedì |
22/10/09 |
Algoritmo di Gauss-Jordan, matrici elementari, operazioni elementari sulle righe come prodotto (a sinistra) per matrici elementari, calcolo dell'inversa di una matrice con Gauss-Jordan, trasposta di una matrice, matrici quadrate, simmetriche e antisimmetriche, traccia di una matrice quadrata |
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Venerdì |
23/10/09 |
Spazi vettoriali, sottospazi vettoriali, applicazioni lineari (omomorfismi di spazi vettoriali e isomorfismi), struttura di spazio vettoriale sulle matrici e su Hom(V,W), esempi |
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Settimana 5 |
Martedì |
27/10/09 |
Combinazioni lineari, sottospazio generato (span), dipendenza e indipendenza lineare, basi, calcolo della base dell'immagine dell'applicazione lineare associata ad una matrice a scala, calcolo della base dell'immagine di un'applicazione lineare usando la riduzione di Gauss |
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Giovedì |
29/10/09 |
Calcolo di una base del nucleo di una matrice, completamento di un insieme A (di vettori di Rn) linearmente indipendente ad una base di Rn usando vettori di un insieme B di generatori con l'algoritmo di Gauss, base come insieme massimale di vettori linearmente indipendenti oppure insieme minimale di generatori, coordinate di un vettore rispetto a una base, teorema del completamento |
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Venerdì |
30/10/09 |
Basi, dimensione, esempi, esistenza ed estrazione di basi in generale (solo enunciato), somme e intersezione di sottospazi vettoriali, formula di Grassmann, somme dirette, spazio vettoriale quoziente, dim(ker(f))+dim(im(f)) (solo enunciato per ora) |
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Settimana 6 |
Martedì |
03/11/09 |
Primo teorema di omomorfismo (dimostrazione), basi di V/W, dim(W)+dim(V/W)=dim(V), per f: V ---> W si ha dim(ker(f))+dim(Im(f))=dim(V) (dimostrazione), immagine di una base tramite un'applicazione lineare, passaggio alle coordinate FB rispetto ad una base B, matrice FB C di cambio di coordinate dalla base B alla base C |
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Giovedì |
05/11/09 |
Basi della somma e dell'intersezione di due sottospazi, teorema di Rouché-Capelli, matrice che rappresenta un'applicazione lineare f: V ---> W rispetto alle basi B di V e C di W, cambio di basi per applicazioni lineari, endomorfismi End(V) dello spazio vettoriale V e endomorfismi invertibili GL(V), similitudine fra matrici quadrate, traccia e rango sono invarianti per similitudine |
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Venerdì |
06/11/09 |
Esercizi su passaggi alle coordinate, su matrici simili/non-simili, su proiezioni; trovare equazioni che descrivano un sottospazio presentato usando una sua base; trovare una base di un sottospazio presentato usando equazioni; definizione di spazio vettoriale duale; base standard del duale di Rn |
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Settimana 7 |
Martedì |
10/11/09 |
Prodotto di spazi vettoriali, inclusioni e proiezioni canoniche, coordinate sul prodotto, coordinate sul quoziente, spazio vettoriale duale, iniezione nel duale (dipendente da una base), basi duali (in dimensione finita), duale di Kn, proprieta` di separazione dei funzionali lineari, spazio biduale, iniezione canonica nel biduale, applicazioni duali (o trasposte), basi duali come coordinate, base duale standard di Kn, matrice associata all'applicazione duale |
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Giovedì |
12/11/09 |
Annullatore, annullatori di nucleo e immagine di un'applicazione e relazione con nucleo e immagine dell'applicazione duale, comportamento dei sottospazi vettoriali per immagine e controimmagine, sottospazi di V/W, secondo teorema di omomorfismo, applicazioni nilpotenti |
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Venerdì |
13/11/09 |
Esercizi |
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Martedì |
17/11/09 |
Primo esonero - ore 8:30 |
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Settimana 8 |
Giovedì |
19/11/09 |
Area in R2 e area con segno, volume con segno in Rn (proprietà ma non esistenza), determinante di una matrice come rapporto di volumi con segno, proprietà del determinante su End(Kn), esempio del determinante 1x1 e 2x2, determinante di una matrice triangolare, determinante e invertibilità, comportamento del determinante per operazioni elementari sulle colonne e per riduzione di Gauss, unicità del determinante |
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Venerdì |
20/11/09 |
Gruppo delle permutazioni di n elementi, notazione e composizione/prodotto, permutazioni cicliche e decomposizione di una permutazione in prodotto di cicli, permutazioni come prodotto di trasposizioni, inversioni di una permutazione, numero di inversioni e parità di una permutazione, segno di una permutazione, formula classica del determinante, invarianza del determinante per trasposizione, formula di Laplace (solo enunciato) |
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Martedì |
24/11/09 |
Sviluppi di Laplace per righe e colonne (con dimostrazione), teorema di Binet, proprietà formali del determinante, invarianza del determinante per similitudine, determinante di un endomorfismo (di uno spazio vettoriale di dimensione finita) |
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Settimana 9 |
Giovedì |
26/11/09 |
Esercizi su duale, quoziente e determinante di una matrice triangolare a blocchi |
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Venerdì |
27/11/09 |
Teorema di Cramer, formula per l'inversa, minori invertibili e teorema degli orlati, determinante di Vandermonde, esercizi |
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Martedì |
01/12/09 |
Autovalori e autovettori, endomorfismi e matrici diagonalizzabili, polinomi valutati in endomorfismi (in matrici), esempi, endomorfismi e matrici triangolabili (solo definizione) |
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Settimana 10 |
Giovedì |
03/12/09 |
Polinomio caratteristico, triangolabilità, criterio di triangolabilità (enunciato e implicazione facile), autospazi, gli autospazi sono in somma diretta (solo enunciato) |
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Venerdì |
04/12/09 |
Criterio di triangolabilità, gli autospazi sono in somma diretta, i ker(pi(f)) sono in somma diretta se mcd(pi,pj)=1, molteplicità algebrica e geometrica, criterio generale di diagonalizzabilità, enunciato di Cayley-Hamilton |
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Giovedì |
10/12/09 |
Autovalori tutti in K e distinti implica diagonalizzabilità, esistenza e unicità del polinomio minimo, esercizi |
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Settimana 11 |
Venerdì |
11/12/09 |
Polinomio minimo, f-invarianza di ker(p(f)) e Im(p(f)), autospazi generalizzati, decomposizione in somma diretta di autospazi generalizzati (su C), teorema di Cayley-Hamilton (dimostrazione su C), criterio di diagonalizzabilità usando il polinomio minimo, esempi |
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Martedì |
15/12/09 |
Esercizi su autospazi generalizzati, triangolarizzazione, polinomio minimo, similitudine sui reali/complessi |
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Giovedì |
17/12/09 |
Esempio del piano: distanza fra due punti (proprietà della distanza), norma di un vettore (proprietà della norma), angolo fra due vettori, prodotto scalare standard, proiezioni e proiezione ortogonale su una retta; prodotto scalare standard su Kn e proprietà (bilineare, simmetrico, non degenere); prodotto scalare standard su Rn (definito positivo); forme bilineari in generale (condizioni di simmetria e non degenerazione); forme bilineari e prodotti scalari su Kn definiti come b(v,w)=vTMw, con M matrice nxn; altri esempi di prodotti scalari (prodotto lorentziano, prodotto L2 sulle funzioni continue C([0,1]), prodotto scalare sulle matrici b(A,B)=tr(AB) e b'(A,B)=tr(ATB) |
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Settimana 12 |
Venerdì |
18/12/09 |
Rappresentazione di un prodotto scalare b in coordinate e cambio di coordinate, matrici congruenti, restrizione di b ad un sottospazio, l'esempio di b'(A,B)=tr(ATB), l'applicazione Lb:V--->V* e sue proprietà, ortogonale di un sottospazio e proprietà, legame fra ortogonale e annullatore, basi ortogonali e ortonormali (definizione), vettori isotropi (esempi di R2 e R3 con prodotto lorentziano) |
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Giovedì |
07/01/10 |
Restrizione di un prodotto scalare, prodotto scalare indotto da b su V/Rad(b), forma quadratica associata ad un prodotto scalare, esistenza di basi ortogonali, prodotti scalari reali (definiti e semi-definiti), proiezione ortogonale su un sottospazio (solo definizione) |
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Venerdì |
08/01/10 |
Proiezione ortogonale, ortogonalizzazione (e ortonormalizzazione) di Gram-Schmidt e matrice di cambio di base, prodotti scalari definiti positivi su spazi vettoriali reali e serie dei minori principali, indice di nullità e prodotti scalari su spazi vettoriali complessi, teorema di Sylvester (enunciato), indici di positività e negatività |
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Settimana 13 |
Martedì |
12/01/10 |
Teorema di Sylvester (dimostrazione), esercizi |
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Giovedì |
14/1/10 |
Isomorfismo canonico fra Cn e R2n, forme sesquilineari e prodotti hermitiani, prodotto hermitiano canonico su Cn, rappresentazione in coordinate di prodotti hermitiani (matrici hermitiane), prodotti hermitiani su Cn associati a matrici hermitiane, prodotti hermitiani definiti e semi-definiti (positivi o negativi), ortogonale hermitiano e radicale, risultati analoghi ai prodotti scalari (esistenza di basi ortogonali, indici di positività, negatività e nullità, teorema di Sylvester hermitiano, ortogonalizzazione di Gram-Schmidt hermitiano, proiezioni ortogonali), spazi vettoriali complessi e loro coniugati, l'applicazione Lh: V ---> V* associata ad un prodotto hermitiano h, spazi vettoriali metrici (reali o complessi), norma di un vettore e distanza fra punti, disuguaglianza triangolare e disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, angolo fra due vettori (in uno spazio vettoriale reale metrico) |
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Venerdì |
15/1/10 |
Criterio per il segno di una forma quadratica usando i minori principali, criterio per il segno di una forma quadratica usando le variazioni di segno dei coefficienti del polinomio caratteristico, applicazioni lineari che preservano i prodotti scalari (e quindi, su Rn con il prodotto scalare standard, che preservano la norma, la distanza e gli angoli), gruppo ortogonale O(n,K), studio di O(2,R), l'identificazione C ---> R2 e l'interpretazione reale di un'applicazione C-lineare da C a C |
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Settimana 14 |
Martedì |
19/1/10 |
Gruppo unitario U(n), gruppo unitario U(V,h) e gruppo ortogonale O(V,b), esempi di matrici ortogonali in O(3,R) e O(4,R), riflessioni rispetto ad un sottospazio, applicazioni aggiunte, autoaggiunte e anti-autoaggiunte, esempio del prodotto L2, prodotti scalari/hermitiani associati ad applicazioni autoaggiunte, esistenza, formula e unicità dell'aggiunta di f:(V,hV)--->(W,hW) con hV non degenere, legame fra aggiunta e duale |
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Giovedì |
21/1/10 |
Proprietà formali dell'aggiunta, relazione fra matrici ortogonali reali e unitarie, fra simmetriche reali e hermitiane, fra anti-simmetriche reali e anti-hermitiane, autovalori di matrici unitarie e hermitiane, applicazioni normali, teorema spettrale per operatori normali (enunciato), conseguenze del teorema spettrale: diagonalizzazione di matrici hermitiane, anti-hermitiane, unitarie, simmetriche reali, e struttura delle matrici anti-simmetriche reali e ortogonali reali |
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Venerdì |
22/1/10 |
Teorema spettrale per applicazioni lineari normali (dimostrazione), diagonalizzazione di applicazioni hermitiane, unitarie, simmetriche reali e struttura delle antisimmetriche reali e ortogonali reali (con dimostrazioni), triangolazione con basi ortonormali |
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Settimana 15 |
Martedì |
26/1/10 |
Esercizi |
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Giovedì |
28/1/10 |
Secondo esonero - ore 8:30 |
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Venerdì |
29/1/10 |
Esercizi |