Ecco di seguito il testo della mia tesi in un file ASCII, cioe' di solo testo. Questo puo' creare qualche problema per simboli matematici e simili, che avranno un aspetto strano. Sicuramente ci sono asserzioni che per colpa di cio' risultano erronee. Quanto prima sistemero' il tutto. Universita' degli Studi di Roma "La Sapienza" Facolta' di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali Tesi di Laurea in Matematica GRUPPI DI COXETER E LORO GENERALIZZAZIONI Candidato Relatore Daniele A. Gewurz Prof. Marialuisa J. de Resmini matr. 11081535 Anno accademico 1992-93 INDICE Introduzione 1. Gruppi di Coxeter: generalita' 2. Generalizzazioni dei gruppi di Coxeter 3. Rappresentazioni simmetriche ottimali Appendice - L'algoritmo di Coxeter-Todd Bibliografia INTRODUZIONE Non domandarci la formula che mondi possa aprirti, si' qualche storta sillaba e secca come un ramo. Eugenio Montale Oggetto della presente dissertazione sono i gruppi di Coxeter ed alcune possibili generalizzazioni di tale concetto. In breve, un gruppo di Coxeter e' un gruppo che si possa considerare generato da elementi di periodo due, imponendo condizioni sul periodo dei prodotti dei generatori. Tra i gruppi piu' noti che rientrano in tale definizione, nel caso finito, troviamo i gruppi simmetrici, i gruppi diedrali ed i gruppi delle simmetrie dei poliedri platonici. Ammettendo generatori di ordine qualsiasi, come succede nei gruppi studiati da Tsaranov, di cui si prendono qui in esame i lavori, si allarga la classe dei gruppi che si possono descrivere in questa maniera, ottenendo, pero', sempre gruppi isomorfi a sottogruppi di gruppi di Coxeter. I principali contributi originali di chi scrive consistono nell'aver cercato di dare, per i gruppi di Coxeter finiti e, in prospettiva, per ogni gruppo finito, una rappresentazione in termini di permutazioni con ulteriori richieste tali da far si' che le rappresentazioni siffatte di due gruppi siano utilmente confrontabili. In questo spirito si sono definite le "rappresentazioni simmetriche ottimali" e le si e' trovate per quasi tutti i gruppi di Coxeter finiti. Inoltre, si sono dimostrati alcuni risultati riguardanti tale tipo di rappresentazioni, applicandoli ad alcuni casi particolari. Quando necessario, si sono richiamate le nozioni, per lo piu' di teoria dei gruppi, utilizzate nell'esposizione. Piu' dettagliatamente, nel primo capitolo si trattano la definizione ed i principali risultati riguardanti i gruppi di Coxeter, con particolare attenzione al caso finito, per cui si studia il problema della classificazione. Si passa poi a dare dei modelli, di natura algebrica o geometrica, per ciascuno dei gruppi di Coxeter finiti. Nel secondo capitolo si prendono in esame i principali tentativi fatti nella direzione di una generalizzazione di tali gruppi, ed in particolare i lavori di S.V. Tsaranov sui "gruppi di Coxeter generalizati". Nel terzo capitolo, chi scrive definisce le "rappresentazioni simmetriche ottimali", ne dimostra alcune proprieta' e le fornisce esplicitamente per alcune importanti classi di gruppi. Infine, nell'appendice, si descrive l'algoritmo di Coxeter-Todd di enumerazione dei laterali di un dato sottogruppo, algoritmo di grande utilita' nella ricerca delle presentazioni tramite generatori e relazioni, e di rappresentazioni in gruppi di permutazioni. 1. GRUPPI DI COXETER: GENERALITA' 1.1 Definizioni e notazioni I gruppi di Coxeter (gdC) si possono vedere geometricamente come gruppi di isometrie in uno spazio euclideo di dimensione n generati dalle riflessioni rispetto ad un certo numero di iperpiani, ed e' cosi' che H.S.M. Coxeter li ha introdotti (generalizzando i casi noti in dimensione minore o uguale a 3) nel 1933 (cfr. [Cox1]). Qui, pero', interessano principalmente le loro proprieta' puramente algebriche e, pertanto, ne considereremo la seguente DEFINIZIONE Un gruppo si dice di Coxeter se ammette la presentazione , con (m_ij) matrice simmetrica a coefficienti interi >1 ed m_ij = 1 se, e solo se, i=j. Segue immediatamente dalla definizione che ogni generatore e' un'involuzione, come ci si poteva attendere. Una notazione comoda per raffigurare i gruppi di Coxeter e' quella grafica, che consiste nell'associare ad ogni gruppo di Coxeter un grafo etichettato cosi' definito: l'insieme dei vertici e' in corrispondenza biunivoca con l'insieme {Ri} dei generatori del gruppo, e lo spigolo che congiunge due vertici Ri ed Rj e' etichettato con il valore m . Un'utile convenzione ci fa omettere gli spigoli contrassegnati con un 2, ed omettere il valore m dagli spigoli per i quali esso valga 3. Esempio. Il grafo o---o---o e' associato al gruppo . E' immediato comprendere l'utilita' di tale convenzione: per due generatori Ri ed Rj l'ordine del cui prodotto sia 2 vale: Ri Rj Ri Rj = 1, il che implica RiRj = RjRi (si ricordi che i generatori hanno tutti ordine 2) e quindi i due generatori commutano. Percio', se il grafo di un gdC non e' connesso, allora i generatori corrispondenti a ciascuna delle componenti connesse del grafo commutano con tutti gli altri generatori, e, di conseguenza, i sottogruppi cosi' generati commutano elemento per elemento. Quindi il gruppo si puo' esprimere come prodotto di tali sottogruppi. Si dimostra, per di piu', che questo prodotto e' diretto e che ogni gruppo di Coxeter prodotto diretto di gruppi di Coxeter ha grafo non connesso, con le componenti connesse corrispondenti ai fattori diretti. Pertanto, si puo' ridurre lo studio dei gdC allo studio dei gdC irriducibili, quelli, cioe', il cui grafo e' connesso. Qui bisogna prestare attenzione: quanto appena detto non implica che un gdC irriducibile non possa essere espresso come prodotto diretto tout court, ma solo che non possa essere prodotto diretto di gdC. Vedremo, infatti, in seguito, ad esempio, che il gdC di cui all'Esempio precedente e' isomorfo a Cycl(2)*Alt(5), ed i gruppi alterni (a parte casi banali come Alt(2)) non sono gruppi di Coxeter. 1.2 Esempi fondamentali Tutti i gruppi di Coxeter hanno un'interpretazione geometrica come gruppi di simmetrie di opportune strutture geometriche, ma per due importanti famiglie di essi un'interpretazione, in un caso algebrica e nell'altro geometrica, e' quasi ovvia e di grande importanza come punto di riferimento per esempi (ed in certi casi come aiuto per l'intuizione). 1.2.1 A_n Sia A_n il seguente grafo con n vertici: o---o---o- ... -o---o, e sia Cox(A_n) il corrispondente gdC. Esso avra' n generatori, ciascuno dei quali ha periodo 2; inoltre, il prodotto di coppie di generatori consecutivi ha periodo 3, mentre coppie di generatori non consecutivi commutano. Questa e' esattamente la situazione che si presenta in Sym(n+1), quando lo si consideri generato dalle trasposizioni (1 2), (2 3), ..., (n n+1). Si dimostra (ad es. in [Suz], p.297) che queste relazioni, che sono verificate in Sym(n+1) mediante l'identificazione suddetta e quindi fanno, a priori, di Sym(n+1) solamente un'immagine omomorfa di Cox(An), lo definiscono e cosi' Sym(n+1);Cox(An). 1.2.2 G2(m) Denotiamo con G2(m) il grafo o---o , e quindi con Cox(G2(m)) il relativo gdC. Ora, le relazioni che definiscono questo gdC, e cioe' R1^2 = R2^2 = (R1R2)^m = 1, si verificano nel gruppo diedrale di ordine 2m Dih(m), considerando R1 ed R2 come simmetrie rispetto ad assi formanti un angolo di p/m (e ottenendo quindi, per R1R2, una rotazione di 2p/m). Si dimostra (cfr. [Suz], p.173) che tali relazioni definiscono Dih(m). 1.3 Teorema di classificazione dei gdC finiti Per dare una classificazione di tutti e soli quelli tra i gruppi di Coxeter che sono finiti, per le ragioni suesposte, basta ridursi ai gdC irriducibili. Dopo di che, e' conveniente procedere in due passi principali: associata ad ogni gdC una forma quadratica, si dimostra, dapprima, che essa e' definita positiva se, e solo se, il gruppo corrispondente e' finito e poi si determinano tutti i casi in cui essa e' definita positiva. Enunciamo ora il fondamentale TEOREMA 1.1 I gruppi di Coxeter irriducibili finiti sono tutti e soli quelli corrispondenti ai seguenti grafi: A_n o---o---o- ... -o---o (n>1) B_n o---o---o- ... -o---o (n>2) D_n o---o---o- ... -o---o (n>4) o | E_6 o---o---o---o---o o | E_7 o---o---o---o---o---o o | E_8 o---o---o---o---o---o---o 4 F_4 o---o---o---o m G_2 (m) o---o H_3 o---o---o H_4 o---o---o---o. OSSERVAZIONE In questi grafi l'indice che appare nel loro "nome" ne indica il numero di vertici. OSSERVAZIONI GENERALI I grafi che compaiono nel precedente enunciato sono noti anche come "diagrammi di Coxeter-Dynkin" o semplicemente "di Dynkin" e, in particolare per quanto riguarda i diagrammi A , D ed E , fanno la loro comparsa in aree delle matematiche apparentemente disgiunte, senza che tuttora si sia potuta trovare una spiegazione a priori di questo fenomeno. Si tratta del cosiddetto "A-D-E problem", enunciato in questi termini per la prima volta da V.I. Arnold (cfr. [Arn]) nel contesto di un Symposium concernente i problemi di Hilbert ed analoghi problemi attualmente insoluti. Tra i contesti in cui si ritrovano i grafi A-D-E, ricordiamo, oltre al presente, la classificazione delle algebre di Lie semplici su C, delle geometrie e dei "buildings" di Tits, delle singolarita' di opportune varieta' algebriche, delle classi di equivalenza di germi semplici di funzioni olomorfe. Per un "survey" su questa apparente ubiquita' dei diagrammi di Coxeter-Dynkin in vari contesti, si veda [HHSV]; per gli aspetti geometrici, per lo piu' da un punto di vista storico, si rimanda a [Cox5]. Prima di passare allo schema della dimostrazione, ricordiamo alcune nozioni relative ai gruppi topologici. DEFINIZIONE Un gruppo G si dice topologico se sul suo insieme sostegno e' definita una topologia tale che l'operazione di gruppo (cioe' l'applicazione di GxG in G che applica ogni coppia sul prodotto del primo dei suoi elementi per il secondo) e il passaggio all'inverso siano applicazioni continue. Esempi classici di gruppi topologici sono i gruppi di applicazioni lineari di uno spazio vettoriale reale V in se', cioe' i sottogruppi di GL(V). Avendo fissato una base dello spazio vettoriale e considerata ogni applicazione come una matrice nxn (se n e' la dimensione dello spazio), ogni elemento del gruppo si puo' considerare come una (n^2)-pla, e quindi il gruppo eredita la metrica di R , la quale metrica induce una topologia sul gruppo. In questa topologia sono, ovviamente, continui il prodotto ed il passaggio all'inverso, in quanto si possono ottenere mediante operazioni che coinvolgono polinomi negli elementi delle matrici. DEFINIZIONE Un gruppo topologico si dice compatto se il sottostante spazio topologico e' di Hausdorff e compatto. Nel seguito useremo il concetto di gruppo discreto nel senso di gruppo che agisce su uno spazio topologico T in modo discreto: cio' significa che ApeT EU intorno di p t.c. AgeG g(p)eU 6 g=1. Si badi che talvolta, ma non qui, si intende per "gruppo discreto" un gruppo topologico munito della topologia discreta. SCHEMA DELLA DIMOSTRAZIONE DEL TEOREMA DI CLASSIFICAZIONE Per ogni gruppo di Coxeter G si definisce, dapprima, in uno spazio vettoriale reale V di dimensione n, dove n e' il numero dei generatori del gruppo (che corrisponde all'indice nel nome del grafo corrispondente), la forma bilineare B, definita da B(u_i,u_j) = -cos(p/m_ij) (i,j = 1,2, ..., n), dove {u_i} e' una base di V ed (m_ij) e' la matrice che compare nella definizione di gdC. La forma B e' simmetrica (in quanto lo e' la (m_ij)) e quindi si puo' definire la forma quadratica Q(v) = B(v,v). Mediante la forma B si puo' costruire una rappresentazione lineare s del gruppo G in GL(V), che possiamo definire informalmente come quella che manda l'i-mo generatore del gruppo nella riflessione rispetto all'iperpiano H = {v : B(u_i,v) = 0}. Facendo vedere che s e' fedele, che lascia invariante la forma Q e che l'immagine mediante s del gruppo G e' un gruppo discreto privo di punti limite, e' immediato concludere che, se Q e' definita positiva, allora s(G), e quindi G, e' finito. Infatti, considerando Q come un prodotto interno in V, s(G) e' un sottogruppo del (o di un gruppo coniugato al) gruppo ortogonale su V, che e' compatto. D'altra parte, un sottogruppo discreto senza punti limite di un gruppo compatto dev'essere finito, e cosi' abbiamo la nostra prima conclusione. Per mostrare che, viceversa, se G e' finito, allora la corrispondente forma quadratica Q e' definita positiva, si procede come segue. Si considera una qualsiasi forma quadratica definita positiva Q su V, e la corrispondente forma bilineare B . Allora la nuova forma bilineare B (u,v) := S B (s(g)u, s(g)v) (1) e', per come e' definita, s(G)-invariante, cioe': p.ogni g in G, p.o. u,v in V B (s(g)u, s(g)v) = B (u,v). (E' qui che utilizziamo la finitezza di G!) Si puo' dimostrare che una forma bilineare B' e' s(G)-invariante se, e solo se, B' = lB con l opportuno reale. Pertanto, esiste un reale l tale che B = lB. Se Q e' la forma quadratica associata a B , per la (1) e poiche' la Q e' definita positiva, lo e' anche Q . Dato che Q = lQ e l dev'essere positivo (poiche', ad esempio, il coefficiente di x in Q e' positivo in quanto Q e' definita positiva, e sappiamo che il coefficiente di x in Q e' uguale ad 1 (= -cosp) ), ne deriva che anche la nostra Q e' definita positiva, c.v.d. Il nostro compito si e' cosi' ridotto alla classificazione delle forme quadratiche definite positive associate ad un gdC. Per far cio', sara' necessario prendere in considerazione anche le analoghe forme semidefinite positive, le quali, come vedremo, sono tutte e sole quelle associate ai seguenti grafi: A = o---o o---o- ... -o B = o---o---o B = o---o---o- ... -o---o (n>3) C = o---o---o- ... -o---o---o (n>3) D = o---o---o- ... -o---o---o (n>4) E = o---o---o---o---o E = o---o---o---o---o---o---o E = o---o---o---o---o---o----o---o F = o---o---o---o---o G = o---o---o. (Qui, a differenza dell'altro elenco, l'indice n indica il numero di vertici diminuito di uno.) Il ragionamento consiste ora nel mostrare, innanzi tutto, che tutte le forme corrispondenti ai grafi di questo elenco e del precedente sono, in effetti, rispettivamente, definite o semidefinite positive. Tale verifica e' banale nei casi in cui n=1 o n=2. Indi si procede per induzione sul numero dei vertici, sfruttando la proprieta' che questi grafi hanno, di ridursi, in ogni caso, a grafi del primo elenco se viene loro tolto un vertice e gli spigoli ad esso incidenti. Si dimostra, poi, l'ulteriore fatto che, se al grafo relativo ad una forma quadratica Q definita, o semidefinita, positiva si tolgono alcuni spigoli e/o alcuni vertici (e gli spigoli ad essi incidenti), la forma Q' relativa al nuovo grafo e' definita positiva salvo, eventualmente, il caso in cui coincida con Q. (Queste operazioni sul grafo non fanno, in realta', altro che aumentare alcuni coefficienti di Q e/o ridurne il numero di variabili.) A questo punto si puo' assumere, per assurdo, che esista un grafo G, relativo ad una forma quadratica definita o semidefinita positiva, non compreso nei due elenchi. Sapendo che, modificandolo nel modo sopra descritto, il grafo risultante G' deve corrispondere ad una forma definita positiva, G' non puo' appartenere al secondo elenco, cioe' G non contiene subgrafi appartenenti al secondo elenco (e, per ipotesi, non appartiene esso stesso al primo). Questo permette di procedere per eliminazione. Ad esempio, G $ G (m) e G $ A implicano che G ha almeno tre vertici e il fatto che G non contenga A per alcun n implica che G sia un albero, e cosi' via, fino ad escludere l'esistenza di un G non incluso negli elenchi. E cio' conclude lo schema della dimostrazione. (Per i dettagli rinviamo, per esempio, a [Suz].) 1.4 Modelli dei gruppi di Coxeter finiti Diamo di seguito, quando possibile, dei modelli concreti o delle possibili definizioni alternative per ciascuno dei gruppi di Coxeter finiti. Oltre che per il loro interesse intrinseco, questi modelli ci saranno utili quando, nel capitolo 3, ci occuperemo di cercare rappresentazioni dei gdC finiti come gruppi di permutazioni. Ricordiamo che i gruppi Cox(A ) e Cox(G (m)) sono gia' stati esaminati, nel paragrafo 1.2. 1.4.1 Cox(B ) Questo gruppo si puo' identificare con il gruppo delle simmetrie dell'n-cubo o, equivalentemente, del politopo (poliedro generalizzato) "a croce" n-dimensionale, cioe' il politopo che ha come vertici punti equidistanti dall'origine lungo gli assi di un riferimento cartesiano n-dimensionale formato da n rette due a due perpendicolari passanti per uno stesso punto, o, ancora, semplicemente come il gruppo delle simmetrie di un riferimento cartesiano n-dimensionale siffatto. In tal caso i generatori si possono interpretare come le trasposizioni dell'asse 1 con l'asse 2, dell'asse 2 con l'asse 3, ..., dell'asse n-1 con l'asse n, e l'inversione dell'ultimo asse. In altre parole, Cox(B ) e' il gruppo delle simmetrie di un grafo con 2n vertici congiunti a due a due. Infatti, il subgrafo di B costituito dai primi n-1 vertici e dagli spigoli ad essi incidenti e' un grafo A , e quindi il sottogruppo corrispondente, generato dai primi n-1 generatori di Cox(B ), e' isomorfo a Sym(n) e corrisponde, nel nostro modello, ad un sottogruppo che permuta gli assi in tutti i possibili modi. Quanto al subgrafo relativo agli ultimi due vertici di B , esso e' un G (4), corrispondente al gruppo diedrale del quadrato, il che coincide con quanto detto sopra, relativamente agli ultimi due assi, pensati, ad esempio, come assi di lati perpendicolari di un quadrato. Infatti, il penultimo generatore li scambia (JL riflessione in una diagonale), e l'ultimo ne inverte uno (JL riflessione rispetto all'altro asse). Quanto sopra si puo' anche esprimere dicendo che Cox(B ) e' isomorfo a Cycl(2) wr Sym(n), cioe' il prodotto corona (o intrecciato) tra Cycl(2) e Sym(n), ovvero, in questo caso, il prodotto semidiretto Cycl(2) x Cycl(2) x ... x Cycl(2) x Sym(n), dove l'azione y di Sym(n) sulle n copie del gruppo ciclico e' quella, naturale, consistente nel permutarli o, meglio, nel permutare le componenti dell'n-pla di elementi di Cycl(2). In particolare, si ottiene che la cardinalita' di Cox(B ) e' (2^n)Wn!. 1.4.2 Cox(D ) Tra le maniere classiche per dare di questo gruppo un modello concreto vi e' il vederlo come gruppo delle simmetrie del "half-measure polytope" (per usare la terminologia di Coxeter), cioe' del politopo i cui vertici sono i vertici alternati dell'n-cubo; per esempio un segmento (la diagonale) rispetto al quadrato o il tetraedro rispetto al cubo. Pertanto questo gruppo e' (isomorfo ad) un sottogruppo di indice due di Cox(B ). Se l'n-cubo, in un dato riferimento cartesiano, ha coordinate (+1,+1,...,+1), con tutte le possibili scelte di + e -, il politopo "half-measure" ha come vertici solo i punti siffatti con un numero pari di coordinate positive. Un modo lievemente diverso di "vedere" questo gruppo consiste nel considerarlo come il gruppo delle trasformazioni dell'insieme delle coppie (i,-i) con 1 ; x , e quindi e' un sottogruppo normale di indice 2 in Cox(H ). Nell'isomorfismo tra ed Alt(5) definito da X9L(12345), Y9L(153), il coniugio rispetto all'elemento (15)(24) costituisce un automorfismo interno che inverte i generatori. Allora, se Z e' l'elemento di che corrisponde a (15)(24), l'elemento R2(Z^-1) centralizza e cosi' Cox(H ) ; x ; Alt(5) x Cycl(2). Q.E.D. Tra l'altro, quest'ultimo risultato ci permette di fissare a 120 l'ordine di Cox(H ). Cox(H ), con meno immediatezza, si puo' vedere come il gruppo delle simmetrie del politopo quadridimensionale {3,3,5} o del suo duale {5,3,3}. Per questi si rinvia a [Cox2]. Il suo ordine si puo' trovare o in analogia a quanto fatto per Cox(F ) mediante il calcolo 120 (numero di celle dodecaedrali di {5,3,3}) x 120 (ordine del gruppo del dodecaedro), oppure con l'algoritmo di Coxeter-Todd applicato a Cox(H ) come sottogruppo di Cox(H ). In ogni caso otteniamo 14400 = 120 . 2. GENERALIZZAZIONI DEI GRUPPI DI COXETER 2.1 I lavori di S.V. Tsaranov Nel 1989 Tsaranov ([Tsa1] e [Tsa2]) ha introdotto una generalizzazione dei gruppi di Coxeter, in cui i generatori hanno periodo finito qualsiasi e le relazioni prescrivono, in generale, i periodi del prodotto di potenze dei generatori, anziche' del prodotto di coppie di generatori come nei gdC "classici". Il risultato piu' importante dello studio di Tsaranov consiste nel fatto che, avendo classificato i "gruppi di Coxeter generalizzati" (GCG) finiti, si osserva che essi sono in ogni caso isomorfi (se non, come caso particolare, ad opportuni gdC), a sottogruppi di indice 2 di gruppi di Coxeter, e, piu' precisamente, ai sottogruppi degli elementi "pari", cioe' prodotto di un numero pari di generatori. L'esempio piu' evidente di un tale sottogruppo e' Alt(n) rispetto a Sym(n). Passiamo ora a formalizzare quanto anticipato. DEFINIZIONE Si dice gruppo di Coxeter generalizzato un gruppo che ammetta presentazione , dove si richiede che a e q siano coprimi, e cosi' b e q . R immediato osservare che se, Ak, q =2 otteniamo un gdC. Saranno utili le seguenti notazioni: per ogni gdC Cox(G) associato al grafo G, sia Cox (G) il gruppo degli elementi "pari" di Cox(G), cioe' degli elementi prodotto di un numero pari di generatori; inoltre, per un GCG G definiamo D(G) = {q , q }. Il primo risultato che ci sara' utile per lo studio dei GCG e' espresso nel seguente TEOREMA 2.1 Sia G un GCG tale che, Ai,j, a b = -1. Allora G ; Cox (G), dove G e' il grafo etichettato sui vertici {0,1, ..., n} cosi' definito: Ak il vertice 0 ed il vertice k sono congiunti da uno spigolo etichettato con q ; Ai,j$0, i vertici i e j sono congiunti da uno spigolo etichettato con q . DIMOSTRAZIONE Detti R0, R1, ..., Rn i generatori di Cox(G) corrispondenti ai vertici di G, sara' sufficiente considerare l'omomorfismo v : G L Cox(G) che manda S 9L R R . Infatti, ne segue (R R )^q = v(S )^q = v(S ^q ) = v(1) = 1, e (R R )^q = ((R R )^-1 (R R ))^q = ((v(S ))^-1 v(S )) ^q = = v((S ^-1 S )^q ) = v(1) = 1, le quali relazioni non valgono per potenze inferiori, rispettivamente, a q e a q . Dato che quest'omomorfismo e' iniettivo e la sua immagine e' proprio Cox (G), si ha l'isomorfismo annunciato. Q.E.D. Si noti che quanto si e' fatto nella precedente dimostrazione si puo' anche vedere mediante il prodotto semidiretto di G per un Cycl(2) generato da un elemento S che, per coniugio, inverta i generatori. Da questo punto di vista, il risultato si puo' riformulare come G x ; Cox(G), con G definito come sopra. Questo risultato ci permette, ad esempio, di studiare i GCG su due generatori (ponendo eventualmente S =S ^-1) e quindi di constatare che tutti e soli i GCG finiti siffatti sono quelli con D(G) = {q ,q ,q } = {2,2,n} per n>2 oppure = {2,3,n} con ne{3,4,5}. Infatti, un tale GCG e' isomorfo a Cox (G) con il grafo G come segue: o-----o Cosi' il caso {2,2,n} corrisponde a G = o u o---o, il caso {2,3,3} a G = A , il caso {2,3,4} a G = B ed il caso {2,3,5} a G = H . Tutte le altre terne conducono a grafi corrispondenti a gruppi di Coxeter infiniti. Si puo', a somiglianza di quanto si fa per classificare i gdC, dare di ogni GCG G una rappresentazione s in GL(V) (dove, questa volta, V ha dimensione n+1 su R se G ha n generatori, cosi' come nella precedente proposizione si associa, ad ogni GCG che ne soddisfi le ipotesi, un gdC su n+1 generatori) ed associargli una forma quadratica invariante rispetto all'azione di s(G). In questa rappresentazione s, il prodotto semidiretto di G per un elemento S che, per coniugio, inverta tutti i generatori corrisponde all'estensione di s(G) mediante una matrice (se vediamo GL(V), fissata una base di V, come un gruppo di matrici n+1 x n+1) della forma & -1 0 * dove I e' la matrice identita' nxn. Si ottiene allora il TEOREMA 2.2 Il gruppo s(G x ) e' un gruppo di riflessioni reali dello spazio (n+1)-dimensionale. In particolare, se G e' finito, allora s(G x ) e' isomorfo ad un gdC finito. ed il suo COROLLARIO 2.3 Se G e' finito, allora tutti i GCG relativi ai grafi o-----o sono finiti. R importante un altro risultato nello spirito del teorema 2.1, al quale premettiamo una DEFINIZIONE Ai fini di quanto segue, definiamo l'amalgama di due gruppi G1, G2 mediante il comune sottogruppo A, come il gruppo G1 * G2 che puo' essere cosi' presentato: come insieme dei generatori consideriamo l'unione disgiunta degli elementi dei tre gruppi (G1, G2 ed A) e come relazioni: 1) un insieme di relazioni che caratterizzino separatamente i tre gruppi, eventualmente tutte quelle del tipo xy(z^-1) = 1, se z e' il prodotto di x e y in uno dei gruppi; 2) le relazioni del tipo a(x^-1) = 1, se x e' l'immagine in G di aeA mediante l'iniezione canonica. Si dimostra che, assegnati G1, G2 ed A, l'amalgama e' unico. La definizione si generalizza in maniera ovvia ad un numero finito di gruppi. Nel caso particolare in cui A = {1}, si ottiene il prodotto libero G1 * G2. TEOREMA 2.4 Sia G il grafo relativo ad un gdC e siano i suoi vertici {0,1,2,...,n}. Sia D il suo subgrafo indotto sui vertici {0,1,2,...,s}, con ss; q = 2 se 1s o j>s, e a b =-1. DIMOSTRAZIONE I) Sappiamo che un grafo, o subgrafo, su n vertici, della forma o---o-...-o corrisponde ad un gruppo di Coxeter Cox(A ) isomorfo a Sym(n+1). Siano i suoi generatori {R }={(i i+1)}, 1k, altrimenti (se cioe' uno tra i e j e' compreso tra 1 e k e l'altro e' maggiore) (S ^-1 S )^2 = 1. Cio' si vede con un calcolo diretto. Puo' essere utile un esempio: (12) (23) (34) (45) (56) o-----o-----o-----o-----o k=3 2 1 4 5=n in cui S1 = (234), S2 = (234) = (134), S3 = (354), S4 = (354) = (364), dove per esempio S1S2 = (13)(24) ha periodo 2, S1S4 = (264) no, ma S1^-1 S4 = (23)(46) si'. II) Se abbiamo un grafo con le proprieta' caratteristiche di D (non essere un albero, avere solo spigoli semplici), ogni percorso su di esso che vada da un'estremita' di un ramo ad un'altra, se ha lunghezza k, si puo' considerare come un grafo A , e tutto il grafo corrisponde ad un gruppo di Coxeter dato precisamente dall'amalgama dei Sym(k) corrispondenti a tali percorsi, mediante i Sym(k') corrispondenti ai rami in comune a due percorsi. Un esempio chiarira' quanto detto. Si abbia il seguente grafo: o---o---o-...-o---o---o-...-o---o Il tratto superiore in figura, comprendente k+n+1 vertici, corrisponde ad un Sym(k+n+2) che si amalgama con il Sym(k+m+2) corrispondente al percorso di k+m+1 vertici, mediante un Sym(k+2), che corrisponde al tratto comune di k+1 vertici. Infatti, la definizione di amalgama fa si' che vengano identificati i generatori comuni. Complessivamente, abbiamo in questo caso la situazione: Sym(k+n+2) / \ Sym(k+2) Sym(n+2) / \ Sym(k+m+2) -- Sym(m+2) -- Sym(m+n+2). III) A questo punto, in analogia con quanto si e' fatto nel teorema 2.1, possiamo definire, avendo chiamato R i generatori del gdC associato a G, degli elementi S = R R se j>s. Per k2. Allora, Ai,j, q = 2 e vale esattamente una delle seguenti eventualita': i) Ai q = 3; ii) 13, innanzi tutto ci si puo' ridurre al caso n=4, poiche', prendendo in esame la rappresentazione del GCG in un opportuno GL(V), si vede che, per ogni n, essa induce sottorappresentazioni per ogni n'2 sono a due a due adiacenti, ed i vertici i e j sono adiacenti se, e solo se, q >2, ed in tal caso lo spigolo e' etichettato con q , se esso e' maggiore di 3. Si usa l'ulteriore accortezza grafica consistente nel designare con "o" un vertice con q =2 e con "O" uno con q >2, etichettandolo solo se q >3. Si dimostra (cfr. [Tsa 2], pag.425 per i dettagli) che un gruppo G e' prodotto semidiretto dei gruppi corrispondenti alle componenti connesse del grafo. Ci accingiamo allora a classificare i GCG indecomponibili, nel senso della seguente DEFINIZIONE Un GCG si dice indecomponibile se il grafo ad esso associato e' connesso, e gli insiemi {i:q =2} e {i:q >2} sono entrambi non vuoti. Il risultato complessivo che riunira' tutta l'informazione su tali gruppi e' il seguente TEOREMA 2.6 Sia G un GCG indecomponibile. Allora D(G) contiene al piu' un coefficente maggiore di 3 ed esattamente n coefficienti maggiori di 2. Si presenta, inoltre, uno dei seguenti casi: i) q = 5, e allora G ; Cox (H ) ed il grafo associato e' subgrafo di uno dei seguenti grafi: o---o---O, o---O O (I vertici di tipo "O" sono sempre tutti connessi tra loro, ma cio' viene omesso per esigenze di chiarezza grafica.). ii) q = 4, e allora G ; Cox (C ) oppure G ; Cox (F ) ed il grafo associato e' subgrafo di uno dei seguenti grafi: o---o---o- ... -o---O o---o---o- ... -o---O ... o---o---o- ... -o---O, o---o---O. iii) Ai,j q < 3, e allora vale uno dei seguenti: iii.1) q = 5, ed allora G ; Cox (H ) ed il grafo associato e' subgrafo di uno dei seguenti grafi: o---o---O, o---O O, o---O O; iii.2) q = 4, ed allora G ; Cox (C ) oppure G ; Cox (F ) ed il grafo associato e' subgrafo di uno dei seguenti grafi: o---o---o- ... -o---O, o---O---O, O o---o---o- ... -o---O ... o---o---o- ... -o---O; iii.3) Ai, q <3. 2.2 Altri tentativi di generalizzazione Non e' privo di interesse menzionare rapidamente altri due tentativi di generalizzazione del concetto di gruppo di Coxeter, piu' o meno imparentati con quello piu' approfonditamente studiato finora. 2.2.1 Coxeter e i politopi regolari complessi Nel suo studio sui politopi regolari complessi ([Cox4]), Coxeter esamina, come gruppi di simmetrie di questi oggetti geometrici, gruppi i cui generatori hanno ordine arbitrario. Piu' in particolare, si occupa dei gruppi p1[q1]p2[q2]...pn-1[qn-1]pn, in cui le riflessioni R1, R2, ..., Rn soddisfano le relazioni (i) R ^p = 1, (ii) [R ,R ] = 1 (i, dove A = (1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23), B = (3 17 10 7 9)(5 4 13 14 9)(11 12 23 8 18)(21 16 15 20 22), C = (1 24)(2 23)(3 12)(4 16)(5 18)(6 10)(7 20)(8 14)(9 21)(11 17) (13 22)(19 15). Si confronti in proposito [Gor]. Anche per uno dei gruppi di Janko e' nota una RSO: si sa infatti (cfr. [Liv]) che J , gruppo semplice sporadico di ordine 175560 = 2^3W3W5W7W11W19, agisce su 266 "cifre" e quindi e' isomorfo ad un sottogruppo di Sym(266), e l'intero 266 e' minimo con tale proprieta'. Inoltre si conoscono delle RSO, talvolta banali (nel senso che il gruppo e' isomorfo ad un intero gruppo simmetrico), per alcuni gruppi classici su campi finiti: ad esempio Hirschfeld dimostra che sussistono i seguenti isomorfismi (si confronti [Hir2]): PGL(2,2) ; PSL(2,2) ; Sym(3), PSL(2,3) ; Alt(4), PGL(2,3) ; Sym(4), PGL(2,4) ; PSL(2,4) ; PSL(2,5) ; Alt(5), PGL(2,4) ; PGL(2,5) ; Sym(5), PSL(2,9) ; PS'O (4,3) ; Alt(6), dove "'" indica il derivato PGSL(2,9) ; PO (4,3) ; PGSp(4,2) ; PGO(5,2) ; Sym(6), PGL(4,2) ; PS'O (6,2) ; Alt(8), PGO (6,2) ; Sym(8). Puo' essere interessante, nello spirito che anima la ricerca di questo tipo di rappresentazioni, definire un "indice di simmetricita'" i di ogni gruppo G come l'indice |Sym(n):G|, dove n e', come sempre, minimo. Questo indice da' un'idea di quanto il dato gruppo sia lontano dall'essere simmetrico. Ad esempio, per i gruppi simmetrici esso vale banalmente 1, e vale 2 per i gruppi alterni. Vedremo che, al contrario, per i gruppi cosiddetti diciclici tale indice e' il massimo possibile: per essi e', infatti, impossibile un'immersione in Sym(n) con n<|G|. In tali casi l'indice di simmetricita' vale evidentemente |G|!/|G|, o (|G|-1)!. Abbiamo cosi' la PROPOSIZIONE 3.1 Per ogni gruppo G vale 1 < i < (|G|-1)!, e tali limiti sono effettivamente raggiunti. Quanta attenzione debba porsi nella ricerca delle rappresentazioni simmetriche ottimali, lo mostra, ad esempio, il caso dei gruppi ciclici. Se, ad esempio, risulta ovvio che i ciclici di ordine 4 o 5 non possano essere immersi in nulla di piu' "piccolo", rispettivamente, di Sym(4) o Sym(5), puo' invece sfuggire a prima vista che Cycl(12) possa essere immerso in Sym(7) (mediante l'omomorfismo a 9L (1 2 3 4)(5 6 7), dove a e' un generatore del gruppo ciclico). In generale, si ha la seguente, semplice ma importante, PROPOSIZIONE 3.2 Se la decomposizione in primi di q e' pp ^n , si ha una rappresentazione simmetrica ottimale di Cycl(q) in Sym(m), dove m = Sp ^n . DIMOSTRAZIONE Dato che in Cycl(q) vi e' un elemento di ordine q, ed ogni suo siffatto elemento lo genera, bastera' dimostrare che il minimo m, tale che in Sym(m) vi sia un elemento di ordine q, e' quello dato nell'enunciato. Dato che l'ordine di un k-ciclo e' k, e l'ordine di un prodotto di cicli disgiunti e' uguale al minimo comune multiplo degli ordini dei cicli, il nostro problema si riduce a trovare un insieme di interi aventi m.c.m. uguale a q e somma minima. Ricordiamo il metodo di calcolo del m.c.m. di un insieme di interi {a1,a2,...,ar}, consistente nel moltiplicare tra loro tutti i fattori primi che compaiono nella decomposizione in primi degli a , prendendo ciascuno col massimo esponente con cui compare. Scrivendo q = pp ^n , avremo che i p sono esattamente i primi che devono comparire negli interi di cui q e' m.c.m., sapendo che p1 deve comparire almeno una volta con esponente n1 etc. Per minimizzare la somma di tali interi faremo comparire una sola volta ciascuno dei p , e ne faremo comparire solo uno (con l'opportuno esponente) in ciascuno degli interi (infatti, per a e b interi maggiori di 1, ab > a + b). Considereremo cioe' q come m.c.m. di {p ^n ,p ^n ,...,p ^n }. Abbiamo cosi' l'enunciato, ed incidentalmente anche gli ordini dei cicli disgiunti che comporranno, in Sym(m), l'elemento di ordine q. Q.E.D. Per futuro riferimento, elenchiamo i valori di m relativi ad alcuni q per i quali sia q$m, cioe' per cui q non sia una potenza di un primo: q 6 10 12 14 15 18 20 21 22 24 26 28 30 m 5 7 7 9 8 11 9 10 13 11 15 11 10 Abbiamo quindi gia' trovato rappresentazioni simmetriche ottimali per ogni gruppo ciclico. R stato semplice, perche' essendo un gruppo ciclico Cycl(q) caratterizzato dall'avere un elemento di ordine q (nel senso forte che una sua presentazione e' ), era sufficiente trovare il piu' piccolo gruppo simmetrico con un elemento di quell'ordine. Non e' altrettanto semplice il caso generale. Ad esempio, il gruppo Cox(H ) ammette come presentazione . Consideriamo i seguenti fatti: 1) Le prime tre relazioni si limitano a dirci che R, S e T si rappresentano come trasposizioni, o prodotti di trasposizioni disgiunte. 2) La quarta ci dice che R e T commutano, il che puo' significare che sono disgiunte, oppure che vi sono, tra le coppie di trasposizioni che le compongono, situazioni quale (12)(34) e (13)(24). 3) L'ultima relazione ci informa che esiste un elemento di ordine 5, quindi dobbiamo immergerci almeno in Sym(5). Il modo piu' "economico" per ottenere (12345) come prodotto di due involuzioni e' (12)(35) x (13)(45). Ora, prendendo queste come S e T provvisorie, una di esse (poniamo, (12)(35)) deve dare un elemento di ordine tre (= uno o piu' 3-cicli) quando moltiplicata per R. 4) La quinta relazione ci richiede un elemento di periodo tre. Il modo piu' "economico" per ottenere un tale elemento come prodotto di due involuzioni e' del tipo (ab) x (ac) = (abc). Eventualmente ciascuna delle due involuzioni puo' venire moltiplicata per una stessa involuzione disgiunta da esse (cosi' da scomparire nel prodotto). 5) Usando i "fatti" 2) e 4) per costruire una R che soddisfi le relazioni riguardanti i suoi prodotti con S e T, possiamo ottenere (14)(35). Abbiamo cosi' ottenuto, per Cox(H ), la rappresentazione R 9L (14)(35) S 9L (12)(35) T 9L (13)(45). Se tale rappresentazione risultasse fedele, cioe' iniettiva, essa sarebbe ottimale, in quanto la presenza di un elemento di ordine 5 ci garantisce che non possiamo immergere il nostro gruppo in Sym(m) per m<5. Purtroppo una rapida verifica smentisce le nostre aspettative. Infatti, sappiamo che Cox(H ) ha 120 elementi, e se fosse isomorfo ad un sottogruppo di Sym(5), avendo la sua stessa cardinalita', dovrebbe essere isomorfo a tutto Sym(5). Ma R, S e T, palesemente, non generano Sym(5) (ad esempio perche' sono tutte permutazioni pari), e quindi l'omomorfismo dato non e' iniettivo. Piu' in particolare, sappiamo da argomentazioni geometriche (cfr. [Cox1]) che in Cox(H ) esiste un elemento di ordine 10, ad esempio il prodotto dei tre generatori (in qualsiasi ordine), mentre il prodotto delle immagini dei generatori ha ordine 5. La presenza di tale elemento, se la avessimo presa in considerazione fin dall'inizio, ci avrebbe suggerito di cercare almeno in Sym(7) (dato che 10 = 2x5 e 2+5 = 7). Per rendere iniettivo il nostro omomorfismo sara' sufficiente fare qualcosa di apparentemente stupido: moltiplicare l'immagine di ogni generatore per una stessa trasposizione disgiunta da ciascuno dei tre, come (67). A questo punto si verifica (ad esempio con il metodo di enumerazione di Coxeter-Todd, per il quale si veda l'appendice) che l'immagine ha la cardinalita' giusta (e si vede subito che l'immagine di RST ha l'ordine giusto). In questo caso particolare si avrebbe potuto ragionare anche in un altro modo: tenendo presenti la proposizione 1.2 e le seguenti considerazioni riguardo le RSO di un prodotto diretto. Il problema e': se abbiamo una RSO di un gruppo G, ed una di un gruppo H, che cosa sappiamo sulle RSO di GxH? Sappiamo che, date una presentazione di G ed una di H, una presentazione di GxH ha come generatori l'unione disgiunta dei generatori dei due gruppi e come relazioni l'unione delle relazioni che li defiscono, piu' i commutatori di tutti i generatori di G con tutti quelli di H. Quindi, per costruire una RSO del prodotto diretto, consideriamo la RSO di G (sia in Sym(m )) e quella di H (sia in Sym(m )). Definiamo una rappresentazione in Sym(m +m ) come segue: lasciamo immutate (formalmente) le immagini dei generatori di G e sommiamo m ad ogni cifra che compare nelle immagini dei generatori di H. In tal modo, l'immagine di questo nuovo omomorfismo sara' sicuramente isomorfa a GxH, poiche' l'aver utilizzato insiemi di cifre diverse per le immagini di G e di H garantisce che i rispettivi elementi commutino. L'unico dubbio da sciogliere riguarda l'ottimalita', e quindi l'eventuale sovrabbondanza di cifre su cui stiamo agendo. Quando abbiamo definito le immagini dei generatori di H, non avremmo potuto, per cosi' dire, "riutilizzare" alcune delle cifre {1,...,m }? In effetti, cio' puo' accadere se le rappresentazioni di G e di H non sono ottimali. Ad esempio, consideriamo queste due rappresentazioni di Cycl(2) = = : a 9L (12)(34), e: b 9L (13)(24). Evidentemente l'immagine di a commuta (in Sym(4)) con l'immagine di b, e si ha <(12)(34),(13)(24)> ; Cycl(2) x Cycl(2), cioe' il gruppo di Klein, che in effetti si immerge (ottimalmente) in Sym(4). Se si potesse immergere GxH in Sym(m) con m. Si vede cosi' che se Cycl(n) ha una RSO in Sym(m) - secondo quanto detto nella proposizione 3.2 - cio' vale anche per Dih(n), anche quando un generatore di Cycl(n) non ha come immagine una permutazione pari. Infatti basta ricordare che, coniugando una permutazione s mediante una permutazione r, si ottiene la permutazione risultante dalla sostituzione formale, nella scrittura di s, di ogni cifra i con r(i). Ora, se s e' l'immagine in Sym(m) di un generatore di Cycl(n) (corrispondente ad a), e' immediato trovare un'involuzione (corrispondente a b) che, eseguita formalmente sulle cifre della scrittura di s, la inverte. Ad esempio, sia s = (123)(4567), che genera un gruppo isomorfo a Cycl(12). Basta coniugarla mediante r = (23)(57) per invertirla. Notiamo, in conclusione, che quanto detto circa le RSO fa si' che possiamo dire di conoscerle completamente per tutti i gruppi abeliani. Infatti, il teorema di struttura per tali gruppi ce li porge come prodotto diretto di gruppi ciclici e quindi cio', unito a quanto detto sui gruppi ciclici e sui prodotti diretti, completa immediatamente il discorso. 3.2 Rappresentazioni simmetriche ottimali di gruppi di Coxeter Diamo ora, per ciascuno dei gruppi di Coxeter finiti, una rappresentazione simmetrica ottimale. 3.2.1 Cox(A ) Qui la ricerca delle RSO e' banale. Essendo tale gruppo isomorfo a Sym(n+1), ogni tale isomorfismo e' proprio una RSO, e vale i = 1. 3.2.2 Cox(B ) Apriamo una parentesi. Per gruppi come questi, che hanno un'evidente interpretazione geometrica, e' molto facile trovare rappresentazioni simmetriche. Basta, infatti, considerare come gli elementi del gruppo agiscono sui vertici, spigoli etc. dell'oggetto geometrico in questione. Bisogna, pero', prestare attenzione per cercare una RSO tra queste possibili rappresentazioni, poiche' chiediamo al nostro omomorfismo di essere iniettivo (e quindi non deve agire su "troppo pochi" oggetti, tali cioe' che elementi distinti del gruppo li permutino nello stesso modo) ed ottimale (e quindi non deve neppure agire su "troppi" oggetti, per definizione di ottimalita'). Interpretando ora quanto detto al punto 1.4.1 circa la struttura del gruppo in esame, si vede che si puo' dare questo omomorfismo: R 9L (i i+1)(n+i n+i+1) R 9L (n 2n). Infatti, riprendendo il modello del grafo composto da n coppie di punti congiunti [1,n+1], [2,n+2], ..., [n,2n], si vede che i generatori R corrispondono a trasporre la coppia [i,n+i] con la coppia [i+1,n+i+1], mentre R corrisponde ad invertire le componenti della coppia (ordinata) [n,2n]. Tale rappresentazione e' fedele (iniettiva): un metodo per vederlo, che riutilizzeremo anche in seguito, consiste nell'applicare il noto risultato riguardante l'azione di un gruppo su un insieme: |G| = |G |W|a |, dove con G indichiamo lo stabilizzatore di a in G, e con a l'orbita di a sotto l'azione di G. Qui, ovviamente, l'azione e' transitiva, ovvero l'orbita di ciascun vertice e' l'insieme di tutti i vertici, e cosi' la sua cardinalita' e' 2n. Quanto allo stabilizzatore di un punto, possiamo determinarlo con questa considerazione: gli elementi che stabilizzano un prefissato vertice a sono quelli che non traspongono la coppia cui appartiene con un'altra, e che non invertono la coppia stessa, cioe' quelli che lasciano la coppia immutata. Allora lo stabilizzatore di a e' semplicemente il gruppo che agisce su n-1 coppie, cioe' Cox(B ), che ha cardinalita' (2^(n-1))(n-1)! Si ha pertanto: |G| = |G |W|a | = 2^(n-1) (n-1)! 2n = (2^n) n!, cioe' il gruppo che agisce sui vertici e' tutto il gruppo Cox(B ), che ha esattamente (2^n) n! elementi, e non un suo quoziente. La rappresentazione e' ottimale: lo si puo' vedere nel piu' immediato dei modi, verificando che, per m<2n, l'ordine di Cox(B ) non divide l'ordine di Sym(m). Lo vedremo come corollario della seguente proposizione, che ci da' l'"indice di simmetricita'" di Cox(B ). PROPOSIZIONE 3.4 i = P (2k+1) = 3 x 5 x 7 x ... x 2n-1 = (2n-1)!!. DIMOSTRAZIONE Ricordiamo che si ha |Sym(2n)| = (2n)!, |Cox(B )| = 2^nWn!. Bisogna solo dimostrare che il rapporto r di questi due numeri e' dato, per ogni n, dall'espressione dell'enunciato. Possiamo, innanzi tutto, semplificare questo rapporto: (2n)! n! (n+1) (n+2) ... 2n (n+1) (n+2) ... 2n r = ------ = --------------------- = ------------------. 2^n n! 2^n n! 2^n Ora possiamo procedere per induzione. Sia n=2. Allora r = (3 x 4)/4 = 3, come richiesto. Valga la tesi per n-1, cioe' sia: n(n+1)(n+2) ... (2n-3)(2n-2) Sia questo numero r . Possiamo ora scrivere: r = --------------------------------- = r -------- = r (2n-1) = (2n-1) P (2k+1) = P (2k+1). Q.E.D. COROLLARIO 3.5 Per m<2n, non si puo' immergere Cox(B ) in Sym(m). DIMOSTRAZIONE In virtu' del risultato della proposizione precedente, se nel rapporto r poniamo al numeratore la cardinalita' di Sym(2n-1), ovvero (2n-1)!, cio' equivale a dividere r per 2n. Essendo, pero', r un prodotto di numeri dispari, r/2n non e' un intero, e si avrebbe cosi' un indice non intero di un sottogruppo, contro il teorema di Lagrange. Q.E.D. 3.2.3 Cox(D ) Affermiamo che una RSO per questa famiglia di gruppi, quando n e' pari, e' data dal seguente omomorfismo in Sym(2n): R 9L (i i+1)(n+i n+i+1) (come nel caso di Cox(B )), Rn 9L (n-1,2n)(n,2n-1). Quanto alla fedelta' di questa rappresentazione, si puo' ricalcare, quasi letteralmente, la corrispondente dimostrazione data per il caso precedente. Per mostrarne l'ottimalita', si consideri quanto segue: si ha |Sym(2n)|/|Cox(D )| = 2 W 3W5W7W...W(2n-1) = 2W(2n-1)!! (basta applicare le considerazioni del punto precedente ricordando il fatto che Cox(D ) ha ordine la meta' di quello di Cox(B ). Allora, poiche' ci stiamo limitando al caso n pari, |Sym(2n-1)|/|Cox(D )| = (|Sym(2n)|/|Cox(D )|) / 2n, che non e' intero. Nel caso n dispari, invece, si puo' avere una RSO in Sym(2n-2). Non siamo in grado, al momento attuale, di produrla esplicitamente, ma la sua esistenza e' garantita, teoricamente, dalla seguente considerazione: sappiamo da argomentazioni geometriche ([Cox1] e [CoxMo]) che, per n dispari, Cox(B ) ; Cox(D ) x Cycl(2). Quindi, il fatto che Cox(B ) ammetta RSO in Sym(2n) ci da' quanto detto, in virtu' della proposizione 3.3. 3.2.4 Cox(E ) (ne{6,7,8}) Non volendoci addentrare nello studio dei modelli geometrici relativi a questi gruppi, studio che esula dai limiti del presente studio, ci limiteremo a proporre una congettura circa l'ordine delle corrispondenti RSO. Considerando l'unico modello "concreto" che abbiamo di questo gruppo (gruppo delle simmetrie delle 27 rette giacenti su una cubica non singolare o, equivalentemente, del politopo esadimensionale 2 con 27 vertici), e' spontaneo cercarne una rappresentazione in Sym(27). Riassumiamo brevemente questo modello, come e' descritto ad esempio in [Cox5]. Se denotiamo 12 di queste rette con a , a , ..., a e b , ..., b , vale il cosiddetto "doppio sei" #a a a a a a $ 3b b b b b b 4 in cui due rette sono incidenti se, e solo se, i rispettivi simboli non si trovano su una stessa riga o una stessa colonna. Ora, il piano determinato da a e b interseca il piano determinato da a e b in una retta che, intersecando le quattro rette menzionate, ha quattro punti sulla superficie e quindi le appartiene. Sia questa retta c (= c ). In questo modo si ottengono le rimanenti = 15 rette. Se ora si definisce N come l'automorfismo di questo insieme di rette che le trasforma cosi': (a c )(a c )(a c )(b c )(b c )(b c ), dove, ovviamente, {l,m,n,a,b,g} = {1,2,3,4,5,6}, si possono trovare sei tali involuzioni che generano il gruppo, ad esempio: N ---N ---N ---N ---N , oppure: N ---N ---N ---N ---N , dove N = (a a )(b b )(c c )(c c )(c c )(c c ). Questo secondo caso mette meglio in evidenza come i cinque generatori corrispondenti al tratto inferiore del diagramma generino un sottogruppo isomorfo a Sym(6). Per ottenere ora una rappresentazione simmetrica, sara' sufficiente sostituire ai simboli per le rette, le cifre da 1 a 27. Eseguendo questa operazione sul secondo sistema di generatori dato, si ottiene: N 9L (1 2)(7 8)(14 18)(15 19)(16 20)(17 21) N 9L (2 3)(8 9)(13 14)(19 22)(20 23)(21 24) N 9L (3 4)(9 10)(14 15)(18 19)(23 25)(24 26) N 9L (4 5)(10 11)(15 16)(19 20)(22 23)(26 27) N 9L (5 6)(11 12)(16 17)(20 21)(23 24)(25 26) N 9L (1 18)(2 14)(3 13)(10 27)(11 26)(12 25). Formuliamo la congettura che questa sia una RSO per Cox(E ). Su basi in qualche modo analoghe, considerando che Cox(E ) (rispettivamente Cox(E )) e' il gruppo delle simmetrie del politopo uniforme 3 (risp. 4 ), che ha 56 (risp. 240) vertici, formuliamo la congettura che esso si immerga ottimalmente in Sym(56) (risp. in Sym(240)). Si osservi incidentalmente, come fa notare Coxeter in [Cox5], che |Cox(E )| = 240 x 56 x 27 x 16 x 10 x 6 x 2, dove i fattori, a parte 2, sono le cardinalita' degli insiemi dei vertici di p , con 4 > p > -1; inoltre i primi tre fattori sono rispettivamente gli indici di Cox(E ) in Cox(E ) per n uguale risp. a 8, 7 e 6 (intendendo per E la ovvia prosecuzione della sequenza, cioe' D ). 3.2.5 Cox(F ) Una rappresentazione in Sym(24) di questo gruppo e' data da: R1 9L (4 5)(6 7)(8 10)(16 18)(17 19)(20 21) R2 9L (3 4)(7 9)(10 11)(13 16)(15 17)(21 22) R3 9L (2 3)(4 6)(5 7)(9 12)(11 13)(14 15)(17 20)(19 21)(22 23) R4 9L (1 2)(6 8)(7 10)(9 11)(12 14)(13 15)(16 17)(18 19)(23 24). La fedelta' di questa rappresentazione discende direttamente dall'interpretazione geometrica di questo gruppo che, lo ricordiamo, e' isomorfo al gruppo delle simmetrie del politopo quadridimensionale {3,4,3}; quella scritta corrisponde alla sua azione sulle 24 3-celle (o, equivalentemente, sui 24 vertici) del politopo. Si congettura che tale rappresentazione sia ottimale. 3.2.6 Cox(G (m)) e Cox(H ) Il caso di questi gruppi e' stato trattato poc'anzi, nel precedente paragrafo. 3.2.7 Cox(H ) Sappiamo (da [CoxMo]) che questo gruppo possiede elementi (cioe' i prodotti dei generatori, presi in qualunque ordine) di periodo 30. Poiche' 30 = 2W3W5, e 2+3+5 = 10, ne deduciamo che Cox(H ) non si possa immergere in Sym(m) per m<10. Sym(10) e' anche il piu' piccolo gruppo simmetrico il cui ordine e' diviso dall'ordine di Cox(H ). TABELLA RIASSUNTIVA DI ALCUNE PROPRIETF DEI gdC FINITI Tipo Ordine n della RSO i A (n+1)! n+1 1 B 2^n n! 2n 3x5x...x(2n-1) D 2^(n-1) n! 2n o 2n-2 2(3x5x...x(2n-1)) o 4(3x5x...x(2n-1))(n-1)(2n-1) E 2^7 3^4 5 <27 E 2^10 3^4 5 7 <56 E 2^14 3^5 5^2 7 <240 F 1152 <24 G (m) 2m cfr.prop.3.2 varia H 120 7 42 H 14400 >10 3.3 Gruppi poliedrali binari e loro rappresentazioni simmetriche ottimali Questo paragrafo consiste, essenzialmente, in un ampio ed articolato esempio di RSO, relativa ad una particolare classe di gruppi, al fine di studiare meglio il funzionamento e l'utilita' di tale tipo di rappresentazioni. DEFINIZIONE Un gruppo si dice poliedrale binario, e lo si indica solitamente con , se ammette una presentazione del tipo , dove l, m e n sono naturali maggiori di 1. Nel caso particolare in cui l = m = 2, il gruppo e' chiamato anche diciclico. La struttura dei gruppi poliedrali binari e' intimamente collegata con quella dei gruppi poliedrali. Questi ultimi, come suggerisce il nome, sono i gruppi delle simmetrie dei poliedri regolari. In cio' che segue, per "simmetrie" intenderemo sempre e solo le simmetrie dirette, quelle cioe' che conservano l'orientazione. I gruppi "completi" di simmetrie, inclusivi anche delle riflessioni, sono stati studiati come gruppi di Coxeter. Senza entrare in dettagli, ricordiamo che si usa indicare i gruppi poliedrali con (l,m,n) e presentarli con R1^l = R2^m = R3^n = R1R2R3 = 1 o, equivalentemente, con R1^l = R2^m = (R1R2)^n = 1. In particolare, il gruppo (2,3,3) e' il gruppo delle simmetrie del tetraedro, isomorfo ad Alt(4) e a Cox (A ); (2,3,4) lo e' del cubo, o del suo duale, l'ottaedro, isomorfo a Sym(4); e (2,3,5) lo e' dell'icosaedro, o del dodecaedro, ed e' isomorfo ad Alt(5) e quindi a Cox (A ) e a Cox (H ). Inoltre, come si vede immediatamente dalla seconda forma della presentazione per questi gruppi, i gruppi della forma (2,2,n) non sono altro che i gruppi diedrali; in questo caso li si puo' vedere come gruppi delle riflessioni di prismi che abbiano come base un n-gono regolare. Questi sono gli unici casi finiti, per i gruppi poliedrali. L'idea di cio' che si fa per dimostrarlo, per via geometrica, consiste in quanto segue. Si considera una sfera, se vogliamo di centro il baricentro del nostro poliedro. Pertanto, gli elementi del gruppo corrispondono ad isometrie della sfera. Su di essa si puo' individuare una "regione fondamentale", una regione, cioe', che contiene esattamente un punto di ogni orbita dell'azione del gruppo sulla superficie sferica. Nel caso in cui avessimo considerato i gruppi completi di simmetrie, inclusivi cioe' anche delle riflessioni, caso che comprende tutti e soli i gruppi di Coxeter su tre generatori, la scelta piu' naturale per tale regione risulta essere un triangolo curvilineo di angoli p/l, p/m e p/n. Invece, nel caso dei gruppi poliedrali, tale regione consiste nella giustapposizione di due di tali triangoli, tale da avere un triangolo con due angoli p/m e uno 2p/n. Quindi il problema della classificazione dei gruppi poliedrali finiti si riduce al problema di tassellare la superficie sferica con triangoli siffatti, che si risolve con considerazioni sulla loro area e la loro struttura. Si dimostra ora che il gruppo poliedrale binario e' finito negli stessi casi, e cioe' se, e solo se, l=m=2 (e quindi ha 4n elementi) o se l=2, m=3, ne{3,4,5} (nel qual caso ha ordine rispettivamente 24, 48 e 120). Infatti, essendo (l,m,n) un quoziente di (in quanto e' definito dalle stesse relazioni con l'aggiunta di altre), quando quello e' infinito lo e' anche questo. Ora basta vedere che in l'elemento a cui sono uguali R1^l, R2^m, R3^n e R1R2R3 - che chiameremo Z - e' un'involuzione. Questo fatto, che da' a tali gruppi il nome di gruppi poliedrali binari, fa si' che essi abbiano ordine doppio rispetto ai corrispondenti gruppi poliedrali. Facciamo notare incidentalmente che il piu' piccolo gruppo diciclico <2,2,2> e' (isomorfo a) il gruppo dei quaternioni. I generatori R1, R2 e R3 si identificano in questo caso con i, j e k. In generale, si usa chiamare i gruppi della forma <2,2,2^m> gruppi quaternionali generalizzati (si veda, tra l'altro, [Hup]). Ci interessa, ora, trovare rappresentazioni simmetriche ottimali per i gruppi poliedrali binari. Premettiamo il seguente lemma. LEMMA 3.6 Fissato n e N, una permutazione costituita da un l-ciclo ha la potenza n-ma uguale ad un prodotto di trasposizioni disgiunte se, e solo se, scritto n = 2 d, con d dispari, l = 2 d(1) dove d deve essere un divisore di d. Piu' in generale, una permutazione la cui potenza n-ma debba essere della forma suddetta deve essere composta da cicli ciascuno dei quali abbia lunghezza che soddisfa la (1). DIMOSTRAZIONE Ovviamente, l non puo' essere dispari. Sia allora l = 2k. Le potenze n-me della forma voluta sono la k-ma, la 3k-ma, ..., la (2h+1)k-ma etc. (che coincidono tra loro), tutte e sole cioe' quelle che, se il ciclo ha forma (A1 A2 ... Ak Ak+1 Ak+2 ... A2k), portano A1 9L Ak+1, A2 9L Ak+2 e cosi' via. Allora dev'essere n = (2h+1)k = (2h+1)l/2 = hl+l/2, in cui vogliamo che sia intero h = (n-l/2)/l = n/l - 1/2 5 2 n/l e' dispari, cioe' la massima potenza di 2 contenuta in l dev'essere uguale al doppio della massima potenza di 2 contenuta in n. Q.E.D. PROPOSIZIONE 3.7 Il minimo k tale che il gruppo <2,2,n> sia isomorfo ad un sottogruppo di Sym(k) e' k = |<2,2,n>| = 4n. DIMOSTRAZIONE 1) Sia Z = R1^2 = R2^2 = R3^n = R1R2R3. Allora ([CoxMo], p.7-8) ord(Z) = 2, e quindi Z e' rappresentato da un prodotto di trasposizioni disgiunte. Poniamo, allora, senza ledere la generalita', Z = (12)(34)...(h-1 h). L'ordine di R1 e' 4 ed il suo quadrato e' Z; quindi, per il Lemma 1, R1 e' un 4-ciclo o un prodotto di 4-cicli della forma (i j i+1 j+1)..., cioe' in R1 ci sono h/4 4-cicli in cui gli elementi delle trasposizioni che compongono Z sono separati da un posto. Analogamente per R2. Pertanto, R1, senza ledere la generalita', e' della forma (1324)(5768)...(h-3 h-1 h-2 h). In realta', in R1 (ed R2) potrebbero anche comparire dei 2-cicli che traspongono "cifre" superiori a h. R1 sarebbe allora un elemento di Sym(h') con h'>h. Dato che a noi interessa minimizzare il numero k tale che<2,2,n> sia isomorfo ad un sottogruppo di Sym(k), e poiche' una tale rappresentazione e' possibile (come e' mostrato dal resto della dimostrazione) senza aggiungere altri elementi agli h con cui stiamo lavorando, possiamo supporre che R1 (ed R2) siano prodotto solo di quei 4-cicli. 2) Conoscendo ora la struttura ciclica di R1 ed R2, e fissato il primo di essi, vediamo come debba essere R2 per rispettare quanto ci e' richiesto dalle relazioni che compaiono nella presentazione di <2,2,n>. Cominciamo con dei casi particolari. Se h=8, allora R1 = (1324)(5768). Per R2 vi sono le seguenti possibilita': caso A) R2' = (1728)(5364); caso B) R2'' = (1728)(5463); caso C) R2''' = (1324)(5867). Un attimo di riflessione fara' vedere che queste, a meno di rinumerazioni, sono le uniche possibilita', considerati i vincoli che abbiamo: la struttura composta di 4-cicli ed il fatto che le coppie (1,2), (3,4) etc. devono trovarsi nello stesso ciclo e separate da un posto. Ad esempio R2 = (1526)(3748) e' equivalente al caso A), perche' scrivendo R1 = (1324)(8576) e sottoponendolo alla trasformazione formale (abcd)(efgh) 9L (afch)(ebgd) [il che significa poi coniugare rispetto alla permutazione (bf)(hd)], che otteneva R2' dalla forma originaria di R1, si ottiene ora R2 . Ora, il caso C) e' qui da escludere semplicemente in quanto R1R2''' = (12)(34), cosi' che R3 dev'essere (56)(78), nessuna potenza del quale e' Z. Piu' in generale, e lo si vede meglio per n maggiori di 2, il problema posto dal caso C) sta nel fatto che esso "separa" le cifre {1,2,3,4} da {5,6,7,8}, separazione che si mantiene nel prodotto R1R2 e quindi in R3. Si ha cosi' una rappresentazione che potremmo definire "riducibile". Nel caso generale, quindi, il "caso C)" per n qualsiasi sara' quello o quelli in cui alcuni (ma non tutti) dei 4-cicli di R2 contengono tutte e sole le cifre di altrettanti cicli di R1. Diciamo che, degli h/4 cicli di R1, ce ne siano t (0 < t < h/4) le cui cifre compongono t cicli di R2, ed analogamente per gli altri h/4-t cicli (poniamo che la rappresentazione si "riduca" solo in due parti). Quello che si avra' allora e' il prodotto diretto di un sottogruppo di Sym(4t) e di uno di Sym(h-4t). In realta', qui si cela una sorta di ragionamento per induzione su h, la cui base era nel "caso particolare" h=8 (si vede immediatamente che per h<8, e cioe' solo per h=4, non si ottiene nulla di buono). Cioe', per ogni h, possiamo eliminare i casi "riducibili" in quanto, riconducendo ad indici minori di h, riportano a casi gia' noti (quando avremo concluso il seguente esame) o gia' scartati, come nel caso C) per h=8. Possiamo allora limitarci al caso in cui le cifre vengono "completamente rimescolate", ovvero, piu' correttamente, in cui non esistano t (0 < t < h/4) cicli di R2 che contengano tutte e sole le cifre di t cicli di R1. Affermiamo allora che, escludendo casi "riducibili", R1 ed R2 debbano essere legati cosi': caso A)R1 = (1324)(5768)...(h-7 h-5 h-6 h-4)(h-3 h-1 h-2 h) R2' = (1728)(5 11 6 12)...(h-7 h-1 h-6 h)(h-3_3_h-2_4), o cosi': caso B) R1 come sopra R2'' = (1728)(5 11 6 12)...(h-7 h-1 h-6 h)(h-3_4_h-2_3). Si notera' che nella scrittura adottata ogni ciclo di R2 e' costituito da due cifre del corrispondente ciclo di R1 e da due cifre del successivo ciclo di R1. A meno di un riordinamento dei cicli di R1, cio', ovviamente, non lede in alcun modo la generalita', che' ogni altra possibilita' condurrebbe ad un caso "riducibile". Per vedere cio', sostituiamo ad ogni ciclo di R2 una trasposizione i cui elementi, in numeri romani, indicano a quali due dei cicli di R1 siano attinti i suoi elementi. Nel caso da noi proposto si ha: (I II)(II III)(III IV)...([h/4] I). Componendo queste trasposizioni si ha, come dev'essere, un ciclo, e, viceversa, ogni ciclo (ogni caso, cioe', non "riducibile") si puo' esprimere come prodotto di trasposizioni nelle quali ogni elemento compaia esattamente due volte. Detto cio', rimane da accertare se, effettivamente, gli unici casi essenzialmente differenti siano quello "base" (R2') e quello in cui i primi h/4-1 cicli siano conservati e solo l'ultimo sia invertito (R2''). Dato quanto gia' sappiamo sui vincoli sulla struttura di R2, le uniche possibilita' per modificare R2' consistono nel sostituire ad uno o piu' dei suoi cicli (abcd) il loro inverso (adcb). Se si inverte un solo ciclo si ottiene, salvo rinumerazione, la situazione di R2''. Se se ne invertono due, si ottiene, a meno di rinumerazione, un R2 del tipo (1728)...(h-7 h h-6 h-1)(h-3 4 h-2 3), in cui si sono invertiti gli ultimi due cicli. Quanto scritto e', pero', uguale a (1728)...(h-7 h h-6 h-1)(h-2 3 h-3 4), cioe' una permutazione ottenibile da R2' trasponendovi h con h-1 e h-2 con h-3, e quindi in R1, dove compariva il ciclo (h-3 h-1 h-2 h), comparira' (h-2 h h-3 h-1), cioe' lo stesso! In altre parole, invertire due cicli di R2 e', ai fini delle relazioni tra i generatori e quindi della struttura del gruppo risultante, come non invertirne alcuno, e cosi' si vede immediatamente che invertirne un numero pari equivale a non invertirne alcuno (caso A)) ed invertirne un numero dispari ad invertirne uno (caso B)). 3) Esaminiamo ora la struttura del prodotto R1R2 negli unici due casi essenzialmente diversi. Caso A) Componendo formalmente R1 con R2', si ha (1 h-2 h-7 h-10 h-15...). Che cosa cio' significhi si vede meglio in un altro modo. Considerando le cifre 1, 2, ..., h nell'ordine in cui compaiono nella nostra scrittura ciclica di R1, si vede facilmente che l'immagine secondo R1R2' di 1, che e' il primo elemento del proprio ciclo, e' h-2, che e' il terzo elemento del proprio ciclo. Esso viene a sua volta mandato in h-7, che e' di nuovo il primo elemento del proprio ciclo, e cosi' via. Cio' si spiega in maniera del tutto ovvia considerando che le posizioni delle cifre 1,2, ...,h all'interno dei rispettivi cicli sono le stesse in R1 ed in R2', per come abbiamo costruito e scritto quest'ultimo. Quindi, applicando R1, un "primo elemento di un ciclo" va in un "secondo elemento di un ciclo", che rimane tale anche in R2', che lo manda in un "terzo elemento di un ciclo". E questo, a sua volta, portato da R1 in un "quarto elemento di un ciclo", e' mandato in un "primo elemento di un ciclo". La forma dei cicli di R2' rispetto a quelli di R1 fa si' che ogni volta si passi al ciclo precedente (considerati ciclicamente). Pertanto, se abbiamo un numero pari di cicli (cioe' h/4 pari), allora l'orbita di 1 in R1R2' sara' composta da esattamente una cifra di ogni ciclo di R1, e sara' costituita da un h/4-ciclo. Per simmetria, sara' lo stesso per ogni altro elemento, ed R1R2' sara' costituito da quattro h/4-cicli. In questo caso, le cifre che compongono i 2-cicli di Z (cioe' 1 e 2, 3 e 4 etc.) compaiono in cicli differenti. Se abbiamo un numero dispari di cicli (cioe' h/4 dispari), l'alternanza "1 -3 -1 -3 -..." fara' si' che nello stesso ciclo di R1R2' in cui compare 1 compaia anche il terzo elemento del ciclo di 1 in R1 (cioe' 2), e quindi l'orbita di 1 in R1R2' sara' costituita da un 2(h/4)-ciclo, cioe' un h/2-ciclo. E allora R1R2' consistera' in due h/2-cicli, ciascuno dei quali sara' della forma (a b ... z a+1 b+1 ...z+1), dove a, b, ..., z sono h/4 cifre appartenenti a cicli differenti. Caso B) Anche in questo caso, cominciamo col seguire l'orbita di 1. La sua immagine mediante R1 e' 3, che e' secondo nel suo ciclo di R1, ma e' quarto nel proprio ciclo di R2'' e quindi va in "primo elemento di un ciclo" (cioe' h-3). Questo e' un "primo elemento di un ciclo" anche in R1, e da qui in poi, se nell'orbita di 1 non ci sono altri elementi che compaiono nell'ultimo ciclo di R2'', si prosegue come nel caso A). Quindi l'alternanza che otteniamo e' "1 -1 -3 -1 -3 -..." fino al passo h/4-mo, dopo il quale si ha di nuovo "...-1 -1 -..." . Qui, pertanto, al contrario del caso A), se h/4 e' dispari, l'orbita di 1 contiene esattamente un elemento di ogni ciclo di R1 e percio' R1R2'' sara' composto da quattro h/4-cicli in nessuno dei quali compaiono due cifre dello stesso 2-ciclo di Z. Se invece h/4 e' pari, l'orbita di 1 contiene anche 2 e si hanno due h/2-cicli che non separano le coppie di Z. Ricapitolando, si ha: h/4 pari h/4 dispari Caso A) quattro h/4-cicli due h/2-cicli Caso B) due h/2-cicli quattro h/4-cicli con: (ogni ciclo di R1R2 e' della forma (a b ... z a+1 b+1 ...z+1) ) 5 5 (i due elementi di una trasposizione di Z sono nello stesso ciclo) 5 5 (R1R2 e' composto da due cicli). 4) Ora possiamo esaminare come e' costituito R3. Di fatto, si ha: R1R2R3 = Z = (12)(34)...(h-1 h), il che equivale a scrivere: (12)(34)...(h-1 h)R1R2 = R3^-1. Visto che, delle proprieta' caratteristiche che ci interessano (ordine, struttura ciclica), R3^-1 ha le stesse di R3, studiamo quello anziche' questo, cioe' (12)(34)...(h-1 h)R1R2. Ora, l'effetto della moltiplicazione a sinistra per una trasposizione e': (12) (1 xxx 2 yyy) = (1 yyy) (2 xxx) (12) (1 xxx) (2 yyy) = (1 yyy 2 xxx) e questi sono, per 3), gli unici casi che ci interessano. Quindi si ha, per il caso h/4 pari: -se R1R2 e' composto da quattro h/4-cicli (caso A) : R3^-1 = (12)(34)...(h-1 h) (h-1 XXX) (h YYY) (. . .) (. . .) = = (12)(34)...(h-3 h-2) (h-1 YYY h XXX) (. . .) (. . .) = dopo h/4 (pari) passi di cui il primo ha unito due h/4-cicli, il secondo li riseparera', il terzo li riunira' etc. = (..)(..)...(..) (h/4-ciclo) (h/4-ciclo) (h/4-ciclo intatto) (idem) = dopo altri h/4 passi = (h/4-ciclo) (idem) (idem) (idem), e cosi' anche R3 e' composto da quattro h/4-cicli. -se R1R2 e' composto da due h/2-cicli (caso B) : (12)(34)...(h-1 h) (h-1 XXX h YYY) (. . .) = = (12)(34)...(h-3 h-2) (h-1 YYY) (h XXX) (. . .) = dopo h/4 (pari) passi di cui il primo ha spezzato un ciclo, il secondo lo riunira', il terzo lo spezzera' di nuovo e cosi' via = (..)(..)...(..) (ciclo di lungh.h/2) (altro ciclo intatto) = dopo altri h/4 passi = (ciclo di lungh. h/2) (altro ciclo di lungh. h/2), e quindi anche R3 e' composto da due h/2-cicli. Per il caso h/4 dispari, si verifica l'opposto: se R1R2 e' composto da due h/2-cicli (caso A), R3 lo e' da quattro h/4-cicli e viceversa. Quindi, in definitiva, per 3), nel caso A) R3 e' sempre composto da quattro h/4-cicli, e nel caso B) sempre da due h/2-cicli. 5) Allora, nel caso A), sempre per 3), R3 e' composto da cicli in cui se compare un elemento di una trasposizione di Z non vi compare l'altro, e quindi il suo quadrato non puo' essere Z. Quindi il caso A) e' da escludere. Il caso B), invece, va sempre bene, nel senso che, dati R1 ed R2'' come sopra, questi ed R3 generano un gruppo del tipo <2,2,h/4>. Per ogni h si e' costruito un sottogruppo di Sym(h) isomorfo ad un gruppo poliedrale binario essenzialmente nell'unica maniera possibile. Cioe', se Sym(h) ha un sottogruppo isomorfo ad un <2,2,n>, quel n deve essere (al piu') h/4. (L'"al piu'" e' nascosto nei casi "riducibili" scartati al punto 2).) Q.E.D. Abbiamo ottenuto cosi', nel corso della dimostrazione che precede, anche una rappresentazione simmetrica ottimale di <2,2,n> per ogni n. La esprimiamo nel seguente COROLLARIO 3.8 Per ogni n>2, una rappresentazione simmetrica ottimale di G = <2,2,n> e' data da s:G --> Sym(4n), dove s e' cosi' definita sui generatori di G: s(R1) = (1324)(5768) ... (4i-3 4i-1 4i-2 4i) ... (4n-3 4n-1 4n-2 4n), s(R2) =(1728)(5 9 6 10)...(4i-3 4i+3 4i-2 4i+4)...(4n-7 4n-1 4n-6 4n) (4n-3 4 4n-2 3), mentre s(R3) e' dato da ( (12)(34)...(4n-1 4n) s(R1) s(R2) )^-1, ossia da: s(R3) = s(R2)^-1 s(R1)^-1 (12)(34) ... (4n-1 4n). Notiamo, incidentalmente, anche il COROLLARIO 3.9 Per ogni n>2, il gruppo G = <2,2,n> e' isomorfo ad un sottogruppo di Alt(4n) se, e solo se, n e' pari. DIMOSTRAZIONE Infatti, le permutazioni s(R1) e s(R2), come definite nel corollario precedente, sono costituite dal prodotto di n 4-cicli. Dato che un 4-ciclo e' una permutazione di classe dispari, tali prodotti saranno di classe pari se, e solo se, n e' pari. Inoltre, s(R3) e' sempre di classe pari, in quanto e' definita come il prodotto di due permutazioni aventi la stessa parita' e di (12)(34)...(4n-1 4n), che e' composta da 2n trasposizioni. In definitiva, tutti gli elementi di s(G) sono di classe pari se, e solo se, tutti i generatori di s(G) sono di classe pari, e cio' equivale all'essere n pari. Q.E.D. Per concludere l'analisi delle rappresentazioni simmetriche ottimali dei gruppi poliedrali binari, consideriamo le seguenti rappresentazioni dei gruppi rimanenti ([CoxMo], p.68, a meno di notazioni): per <2,3,3>, R1 9L (1324)(5768) R2 9L (753864)(12) [oppure (531642)(78)] R3 9L (371482)(56) [oppure (375486)(12)]; per <2,3,4>, R1 9L (1324)(5768)(9 11 10 12)(13 15 14 16) R2 9L (5 3 11 6 4 12)(9 13 1 10 14 2)(7 8)(15 16) R3 9L (3 7 5 9 4 8 6 10)(1 15 13 11 2 16 14 12); per <2,3,5>, R1 9L (1324)(5768)(9 11 10 12)(13 15 14 16)(17 19 18 20)(21 23 22 24) R2 9L (13 5 1 14 6 2)(11 9 7 12 10 8)(17 3 15 18 4 16)(21 23 19 22 24 20) R3 9L (1 7 11 5 15 2 8 12 6 16)(3 19 23 17 13 4 20 24 18 14)(9 10)(21 22). Si tratta, ora, di verificare se queste rappresentazioni sono effettivamente ottimali. Nel primo caso e' del tutto ovvio. Mostrando, come nella dimostrazione della proposizione riguardante i gruppi <2,2,n>, che R1 dev'essere un prodotto di 4-cicli, si ha che 4|h (dove h e' definito come in quella dimostrazione). D'altra parte,h>5, dato che il gruppo contiene un elemento di ordine 6 (cioe', ad esempio, R2). Quindi si deve avere h>8 e la rappresentazione data ci dice che vale proprio h=8. Nel secondo caso, di nuovo, 4|h. Qui, inoltre, h>8. Iniziamo con l'escludere h=8. Se fosse h=8, allora R1 sarebbe composto da due 4-cicli, R2 da un 6-ciclo e da una trasposizione e R3 da un 8-ciclo. Si avrebbe allora che R3^-1, come R3, sarebbe una permutazione di classe dispari, ma R3^-1 = (12)(34)(56)(78) R1 R2, cioe' un prodotto di permutazioni dispari, il che sarebbe una contraddizione. Il caso h=12 si esclude subito, in quanto R3, dovendo avere Z come sua quarta potenza, non puo' che essere composto da 8-cicli (lo si vede ad esempio con il Lemma 1), e 8!12. E cosi' si deve avere proprio h=16. Nel terzo caso, infine, si deve avere he{12, 16, 20, 24}. I casi 12 e 20 si escludono facilmente con considerazioni sulla parita' dei generatori. Nella tabella sono riassunte tutte le possibilita' compatibili con il Lemma 1 per la struttura ciclica dei generatori (con la notazione "a x b" a significare "a cicli ciascuno di lunghezza b"), ciascuna seguita dalla sua parita' (p = pari, d = dispari): h R1 R2 R3 12 3x4 (d) 6 + 3x2 (p) 10 + 2 (p) 2x6 (p) 16 4x4 (p) 6 + 5x2 (p) 10 + 3x2 (p) 2x6 + 2x2 (p) 20 5x4 (d) 6 + 7x2 (p) 10 + 7x2 (p) 2x6 + 4x2 (p) 2x10 + 2x2 (p) 3x6 + 2 (p) Si vede quindi che i casi 12 e 20 condurrebbero a situazioni del tipo "dispari = pari". Per scartare, invece, il caso h=16, consideriamo separatamente le due possibilita' corrispondenti alle due possibili strutture cicliche di R2. Se R2 fosse composto da un solo 6-ciclo A e da cinque trasposizioni (il cui prodotto designamo con B), indicati con C il prodotto delle tre trasposizioni di R3 e con D il suo 10-ciclo, avremmo: R1 A B C D = Z, dove Z, come sempre, e' (12)(34)...(15 16). Ora, se BC non fosse composto da otto trasposizioni distinte, quelle comuni a B ed a C si cancellerebbero e le loro cifre, nel primo membro, comparirebbero solo nei 4-cicli di R1, e quindi non potrebbero formare i 2-cicli in cui devono comparire in Z. Allora questi otto 2-cicli sono tutti disgiunti, e cosi' il loro prodotto e' proprio uguale a Z. Si ha cioe': R1 A Z D = Z, ovvero: R1 A = D . Allora il prodotto R1A, essendo coniugato ad un 10-ciclo, dovrebbe essere a sua volta un 10-ciclo. Cio' non puo' essere, in quanto le sei cifre che compaiono in A appartengono al piu' a tre dei quattro 4-cicli di R1, e quindi il 4-ciclo rimanente dovrebbe comparire immutato nel prodotto. Siamo cosi' giunti ad una contraddizione. Rimane da escludere solo il caso in cui R2 sia composto da due 6-cicli e due 2-cicli. Introduciamo delle notazioni simili a quelle del caso precedente; siano A1 e A2 i 6-cicli di R2, B il prodotto dei suoi due 2-cicli, C il prodotto dei tre 2-cicli di R3 e D il suo 10-ciclo. Si ha cosi': R1 A1 A2 B C D = Z. Z, a sua volta, si puo' pensare composto da BC per un prodotto Z' di altre trasposizioni da esse disgiunte. (Le trasposizioni in BC sono disgiunte per un ragionamento analogo a quello del caso precedente.) Si puo' cioe' scrivere: R1 A1 A2 BC D = Z' BC 6 Z' R1 A1 A2 = (D^-1) , cioe' il primo membro deve essere (coniugato ad) un 10-ciclo, e quindi deve fissare esattamente sei cifre. Si presentano ora due casi: quattro di queste cifre appartengono ad uno stesso ciclo di R1, oppure ogni coppia di cifre appartiene ad un ciclo differente. Mostreremo che, in entrambi i casi, si perviene ad un assurdo. Sia, come al solito, R1 = (1324)(5768)(9 11 10 12)(13 15 14 16). Nel primo caso possiamo assumere, a meno di eventuali rinumerazioni, che le quattro cifre dette siano 1, 2, 3, 4. Consideriamo tutti i possibili sottocasi: (i) (12)eZ', (34)eZ' 6 Z' R1 A1 A2 = (2-ciclo senza 1,2,3,4)(1423)(5768)(9 11 10 12) (13 15 14 16) A1 A2. Allora, affinche' 1,2,3,4 siano fissati, occorre che A1A2(4)=1, A1A2(3)=2, A1A2(1)=3, A1A2(2)=4, cioe' che A1A2 contenga il ciclo (1324), assurdo in quanto A1A2 e' composta da due 6-cicli. (ii) (12)eZ', (34)mZ' (o viceversa, il che e' equivalente) 6 Z' R1 A1 A2 = (2-cicli senza 1,2,3,4)(14)(23)(5768)(9 11 10 12) (13 15 14 16) A1 A2 Qui occorrera' A1A2 r (13)(24), assurdo. (iii) (12)mZ', (34)mZ' allora si ricade in un caso simile a (i), in quanto Z' non altera la struttura ciclica di (1324). Nel secondo caso, siano 1, 2, 5, 6, 9, 10 le sei cifre fissate dal 10-ciclo. Allora, enumerando tutti i possibili casi in cui le trasposizioni (12), (56) e (9 10) compaiano o non compaiano in Z', si vede che in ogni caso cio' che si deve chiedere ad A1A2 affinche' il risultato complessivo sia di fissare quelle cifre, e' che vi compaia una sequenza di "spezzoni" come ad esempio: ... 4 1 ... 3 2 ... 8 5 ... 7 6 ... 12 9 ... 11 10 ... (questo e' il caso in cui tutte le dette trasposizioni facciano parte di Z'). In ogni caso tali "spezzoni" non possono essere "assemblati" a formare due 6-cicli della forma (a b c a+1 b+1 c+1). Pertanto, in definitiva, le rappresentazioni simmetriche dei gruppi <2,3,n> (ne{3,4,5}) piu' sopra definite sono ottimali. Possiamo riassumere il tutto nella PROPOSIZIONE 3.10 Per ogni gruppo poliedrale binario G la sua rappresentazione ottimale in Sym(h) e' data dalla seguente tabella: G h <2,2,n> 4n <2,3,3> 8 <2,3,4> 16 <2,3,5> 24. APPENDICE L'ALGORITMO DI COXETER-TODD DI ENUMERAZIONE DEI LATERALI Abbiamo menzionato piu' volte questo metodo, che permette, data una presentazione di un gruppo G, di trovare l'indice di un suo sottogruppo H, di cui sia dato un insieme T di generatori espressi in termini dei generatori del gruppo. Esso termina sempre se l'indice |G:H| e le cardinalita' |S|, |R| e |T| sono finiti; visto che qui ci si occupa quasi esclusivamente di gruppi finiti, ci e' di grande utilita'. Tale algoritmo, che da' una maniera sistematica di eseguire concretamente un calcolo la cui necessita' era nota in astratto fin dai primordi della teoria dei gruppi, e' stato descritto per la prima volta, appunto, da J.A. Todd e H.S.M. Coxeter nel 1936 ([ToCox], con una notazione leggermente differente da quella usata generalmente in seguito anche dagli autori, ed adottata qui). La sua quasi completa meccanicita' permette di implementarlo facilmente su un calcolatore; a questo proposito si veda ad esempio [Lee]. Lo descriveremo qui in maniera informale, omettendo le dimostrazioni. Sia una presentazione di un gruppo G, siano Tk delle parole nell'alfabeto {Si}. Ci interessa calcolare l'indice del sottogruppo H generato dagli elementi Tk. Per calcolarlo si appronta una tabella per ogni relazione Rj, con tante colonne quant'e' il numero di lettere che compongono la parola Rj aumentato di uno. Sia, per fare un esempio banale in cui il risultato sia gia' noto in anticipo, x l'unico generatore, x^5 l'unica relazione, e ci interessi il sottogruppo generato da xx. Scriveremo allora: .x.x.x.x.x. dove sotto ogni punto si sviluppera' una colonna. Saranno utili altre tabelle ausiliarie: una, di una sola riga, per ciascuno dei nuovi generatori Tk, con tanti spazi quante sono le lettere di Tk piu' uno, ed una le cui colonne siano denominate con i generatori di G ed i loro inversi, per i generatori che non sono involuzioni. Nel nostro esempio: .x.x. _|x|x^-1| | | | | | |\ A questo punto, dovendo tentare di contare i laterali di H in G, chiameremo 1 il sottogruppo H considerato come laterale di se stesso. Visto che, per definizione, ogni parola Rj equivale all'unita', e che la moltiplicazione di un laterale per l'unita' lo lascia immutato, potremo scrivere 1 all'inizio ed alla fine di una riga di ogni tabella "relazione", ad indicare che il laterale 1, moltiplicato per quella parola, va nel laterale 1. Analogamente per l'unica riga delle tabelle "generatori del sottogruppo", poiche', ovviamente, H moltiplicato per un proprio elemento rimane in se stesso. Non sappiamo ancora nulla su che cosa accade moltiplicando H per i generatori di G, e lasciamo per ora vuota la rispettiva riga della tabella corrispondente. Nel nostro esempio si avra' ora: .x.x.x.x.x. .x.x. _|x|x^-1| 1 . . . . 1 1 . 1 1|.| . | Definiamo ora arbitrariamente un nuovo laterale HSi, che chiameremo 2. Inizieremo quindi una nuova riga delle tabelle "relazioni", che inizi e termini con 2, per gli stessi motivi di sopra, e una nuova riga della tabella "generatori del gruppo" che sara' una sorta di tabella moltiplicativa. In essa, infatti, dovremo ora inserire, all'incrocio della riga contrassegnata 1 con la colonna contrassegnata con il generatore Si che abbiamo scelto, il loro prodotto, cioe' 2. Inoltre, inseriremo il nuovo dato in tutte le tabelle in cui cio' abbia senso. Nel nostro esempio poniamo Hx = 2, cioe' 1x = 2, che implica 2x^-1 = 1, ed avremo: .x.x.x.x.x. .x.x. _|x|x^-1| 1 2 . . . 1 1 2 1 1|2| . | 2 . . . 1 2 2|.| 1 | Si prosegue cosi', badando a quando il completarsi di una riga ci porta informazioni aggiuntive. Nel caso da noi esaminato, ad esempio, si ha, dalla prima riga della tabella "generatore di H", che 2x = 1. Quando cio' accade, registriamo la nuova informazione nella "tabella moltiplicativa" e la inseriamo in tutte le tabelle possibili, cercando nuove informazioni, o contraddizioni. Puo' infatti succedere, come vedremo nel nostro esempio, che il concludersi di una riga conduca ad un dato incoerente. Qui infatti: .x.x.x.x.x. .x.x. _|x|x^-1| 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1|2| 2 | 2 1 2 1 1 2 2|1| 1 | dalla tabella "xxx" si vede due volte che 1x = 1, quando noi invece sapevamo che 1x = 2. Se ne conclude che 1 = 2, cioe' che moltiplicando H per l'elemento x si rimane in H, ossia che xeH. In un caso simile, una "coincidenza", come si suol dire, sostituiamo tutte le occorrenze della cifra maggiore (qui 2) con quella minore (qui 1), e proviamo a definire un nuovo laterale. Si prosegue finche' (se l'algoritmo termina, cioe' se l'indice |G:H| e' finito) la tabella moltiplicativa (e quindi anche le altre tabelle) sono complete. Nel nostro esempio, dopo aver completato il calcolo, si ha: .x.x.x.x.x. .x.x. _|x|x^-1| 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1|1| 1 | Quindi, in questo caso ovvio, otteniamo che H ha solo un laterale: se stesso. In un esempio meno banale, avremmo potuto apprendere l'ordine di G; scegliendo, infatti, i generatori di H opportunamente, in modo cioe' che sia evidente la struttura, e quindi l'ordine, del sottogruppo da essi generato, e' sufficiente moltiplicare tale ordine per l'indice che si e' trovato. Inoltre, dalla tabella moltiplicativa, otteniamo una rappresentazione di G come gruppo di permutazioni, osservando come agisce sui laterali di H. Vediamo quando avviene che questa rappresentazione sia fedele. PROPOSIZIONE A.1 Sia r la rappresentazione simmetrica di un gruppo G ottenuta enumerando i laterali di un sottogruppo H. Si ha allora: Ker r = n (g^-1 H g). DIMOSTRAZIONE Mostriamo simultaneamente le due inclusioni. k e Ker r 5 Ag (Hg)k = Hg 5 Ag Ah Eh' hgk=h'g 5 5 Ag Ah Eh' k = g^-1 h^-1 h' g 5 Ag k e g^-1 H g 5 5 k e n (g^-1 H g). Q.E.D. Questo ci dice, ad esempio, che, se vogliamo che r sia fedele, H (se non e' banale) non puo' essere normale, in quanto altrimenti coinciderebbe con ognuno dei suoi coniugati, e quindi con la loro intersezione, e quindi con il nucleo di r. In realta' ci dice ancora qualcosa di piu'. COROLLARIO A.2 La rappresentazione r e' fedele se, e solo se, H non contiene alcun sottogruppo normale, diverso dalla sola unita', di G. DIMOSTRAZIONE Se N, sottogruppo $1 di H, e' normale in G, ogni coniugato di H lo contiene, e cosi' N c n (g^-1 H g). Se ne conclude che il nucleo di r non e' ridotto alla sola unita', e cosi' r non iniettiva. Se viceversa r non e' iniettiva, cio' significa che il nucleo e' non vuoto, e cosi' via. Q.E.D. Per inciso, osserviamo che l'intersezione dei coniugati di un sottogruppo H, utilizzata nell'enunciato della proposizione, coincide con il cosiddetto "core" di H in G (o, nella terminologia di [Zap], il "nocciolo"), cioe' con il massimo sottogruppo normale di G contenuto in H. L'ultimo corollario, quindi, equivaleva a richiedere che il "core" di H in G sia costituito dalla sola unita'. In definitiva, se vogliamo utilizzare l'algoritmo di enumerazione di Coxeter-Todd per trovare rappresentazioni simmetriche fedeli, dobbiamo sincerarci che H sia uguale a {1} (ma allora l'algoritmo degenera nell'enumerare gli elementi, e a dare del gruppo la rappresentazione regolare) o sia un sottogruppo che non contenga sottogruppi normali di G. Diamo di seguito un esempio completamente svolto, e che era stato in precedenza solo enunciato. Si tratta del calcolo dell'indice di Cox(B ) in Cox(F ), di cui viene considerato sottogruppo (cfr. par. 1.4.4). I generatori, per comodita', sono stati chiamati R, S, T ed U e, come spiegato sopra, le tabelle sono intestate con le relazioni che definiscono Cox(F ), scritte come parole nell'alfabeto {R,S,T,U}. La tabella moltiplicativa, indicandoci come il gruppo agisce sui 24 laterali del sottogruppo, ce ne da' una rappresentazione in Sym(24) (cfr. par. 3.2). BIBLIOGRAFIA [Arn] V.I. Arnold, "Problem VIII", in Problems of present day mathematics, in Mathematical Developments arising from Hilbert's Problems, F.E. Browder ed., Proc. Symp. Pure Math. 28, Amer. Math. Soc. 1976, 35-80. [Bur] W. Burnside, The determination of all groups of rational linear substitutions..., Proc. London Math. Soc. (2), 10 (1912), 284-308. [Cox1] H.S.M. Coxeter, Discrete groups generated by reflections, Ann. of Math., 35 (1934), 588-621. [Cox2] H.S.M. Coxeter, Regular Polytopes (2nd ed.), MacMillan 1963. [Cox3] H.S.M. 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R S R S R S S T S T S T S T T U T U T U R T R T 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 3 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 3 4 6 6 4 3 2 3 3 2 1 1 2 2 3 3 2 3 3 4 5 5 4 3 4 6 6 4 3 2 2 3 2 1 1 2 3 3 3 2 2 3 4 5 5 4 3 3 4 3 2 2 3 4 6 6 4 6 8 8 6 4 4 5 7 6 4 5 4 3 3 4 5 5 5 7 9 12 12 9 7 5 7 10 10 7 5 5 4 6 5 5 6 7 9 9 7 6 6 6 4 3 2 2 3 4 6 4 4 6 8 8 6 7 5 4 6 7 6 6 7 9 9 7 9 12 12 9 7 5 5 7 5 5 7 10 10 7 6 4 5 7 8 10 11 11 10 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 6 4 4 6 8 10 10 8 8 9 9 7 6 6 7 9 7 5 5 7 9 12 12 9 12 14 15 13 11 9 9 12 12 9 10 8 8 10 11 11 10 11 13 16 16 13 11 10 10 10 7 5 5 7 10 8 8 10 10 11 11 10 8 8 10 11 10 10 11 13 16 16 13 11 13 15 14 12 9 11 11 13 13 11 12 12 12 12 12 12 12 12 9 7 5 5 7 9 12 9 11 13 15 14 12 12 9 9 12 13 13 16 18 18 16 13 16 16 13 11 10 10 11 13 11 9 12 14 15 13 12 11 11 13 14 14 14 14 14 14 14 14 15 17 20 20 17 15 14 15 13 11 9 12 14 14 15 15 14 15 15 17 19 19 17 15 17 20 20 17 15 14 14 15 14 12 9 11 13 15 15 14 14 15 16 18 18 16 13 13 16 13 11 10 10 11 13 16 16 16 17 20 20 17 16 18 18 16 16 17 19 19 17 15 15 17 15 14 14 15 17 20 20 17 20 20 17 16 16 17 19 21 20 17 18 16 13 13 16 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 19 21 21 19 18 16 16 18 18 19 17 15 15 17 19 19 19 21 22 23 23 22 21 19 21 21 19 18 18 19 17 20 21 19 20 21 22 22 21 20 20 20 17 15 14 14 15 17 20 17 16 16 17 20 20 21 19 17 20 21 20 20 21 22 22 21 22 23 23 22 21 19 19 21 19 18 18 19 21 21 20 17 19 21 22 22 21 20 20 21 22 21 19 19 21 22 23 23 22 23 24 24 23 22 22 22 23 23 22 23 23 23 23 23 23 23 23 22 21 19 19 21 22 23 22 22 23 24 24 23 23 22 22 23 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 23 22 22 23 24 24 24 24 24 ----> R = (45)(67)(8 10)(16 18)(17 19)(20 21) S = (34)(79)(10 11)(13 16)(15 17)(21 22) T = (23)(46)(57)(9 12)(11 13)(14 15)(17 20)(19 21)(22 23) U = (12)(68)(7 10)(9 11)(12 14)(13 15)(16 17)(18 19)(23 24 R U R U S U S U 1 R S T U 1 1 2 2 1 1 2 2 1 11 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 21 2 2 3 1 3 3 3 3 3 4 4 3 3 31 3 4 2 3 4 5 5 4 4 3 3 4 4 41 5 3 6 4 5 4 4 5 5 5 5 5 5 51 4 5 7 5 6 7 10 8 6 6 8 8 6 61 7 6 4 8 7 6 8 10 7 9 11 10 7 71 6 9 5 10 8 10 7 6 8 8 6 6 8 81 10 8 8 6 9 9 11 11 9 7 10 11 9 91 9 7 12 11 10 8 6 7 10 11 9 7 10 101 8 11 10 7 11 11 9 9 11 10 7 9 11 11 11 10 13 9 12 12 14 14 12 12 14 14 12 121 12 12 9 14 13 13 15 15 13 16 17 15 13 13 13 16 11 15 14 14 12 12 14 14 12 12 14 141 14 14 15 12 15 15 13 13 15 17 16 13 15 15 15 17 14 13 16 18 19 17 16 13 15 17 16 161 18 13 16 17 17 18 16 17 17 15 13 16 17 17 19 15 20 16 18 16 17 19 18 18 19 19 18 181 16 18 18 19 19 17 16 18 19 19 18 18 19 19 17 19 21 18 20 21 21 20 20 20 20 20 20 201 21 20 17 20 21 20 20 21 21 22 22 21 21 21 20 22 19 21 22 22 22 22 22 21 21 22 22 221 22 21 23 22 23 23 24 24 23 23 24 24 23 23 23 23 22 24 24 24 23 23 24 24 23 23 24 241 24 24 24 23 2 23) (23 24)