"Formazione di singolarita' nel flusso di Ricci"
Carlo Sinestrari

A partire dagli anni '80 R. Hamilton ha studiato l'evoluzione della metrica riemanniana su una varieta' secondo la curvatura di Ricci (flusso di Ricci). Una buona parte dei risultati riguarda il caso di una 3-varieta' ed ha come obiettivo la dimostrazione della congettura di Thurston, che da' una classificazione completa delle varieta' compatte tridimensionali. In particolare, la congettura di Thurston include la ben nota congettura di Poincare' che afferma che ogni varieta' tridimensionale compatta semplicemente connessa e' omeomorfa a una sfera.

Una parte centrale nell'approccio di Hamilton consiste nello studio delle possibili singolarita' che si possono formare durante il flusso.
Tale studio e' basato su procedimenti di riscalamento e su accurate stime a priori sulle curvature (quali la "pinching estimate" di Hamilton-Ivey e una disuguaglianza di tipo Harnack). La conoscenza dei profili singolari consente la continuazione del flusso oltre le singolarita' mediante una  procedura di chirurgia. L'obiettivo e' di mostrare che, dopo un numero finito di chirurgie, le porzioni di varieta' ottenute convergono a profili limite che si possono classificare.

Seguendo queste linee, Hamilton ha ottenuto un risultato di classificazione topologica per le 4-varieta' soddisfacenti una particolare condizione sulla curvatura. Nel caso delle 3-varieta', Hamilton ha incontrato delle difficolta' sostanziali, risolte soltanto nei successivi lavori di Perelman. In questo seminario, si intende dare una sintesi del programma di Hamilton e dei principali risultati ottenuti.

"La formula di entropia di Perelman per il flusso di Ricci"
Carlo Sinestrari

Tra il 2002 e il 2003, G. Perelman ha pubblicato tre preprint che contengono sostanziali progressi sul flusso di Ricci e in particolare portano a compimento il programma di Hamilton di dimostrazione della congettura di Poincare' e di Thurston. I lavori sono di difficile lettura e alcune parti sono ancora al vaglio degli esperti del settore; tuttavia alcune idee principali dei lavori sono ormai ben comprese.

Scopo del seminario e' di esporre il risultato iniziale dei lavori di Perelman, detto "formula di entropia". Tale formula mostra che un opportuno funzionale della curvatura e' decrescente rispetto al flusso di Ricci. Verranno inoltre discusse alcune applicazioni relativamente immediate della formula di entropia, quali la monotonia del primo autovalore dell’operatore -4Δ + R (dove R indica la curvatura scalare) e una proprieta' del flusso di Ricci detta di "non collapsing", che consente di risolvere la principale difficolta' incontrata da Hamilton nello studio delle singolarita'.