Lunedì 21 maggio 2012
COLLOQUIO DI ANALISI MATEMATICA
Lawrence C. Evans (Berkeley, University of California)
Adjoint methods for the infinity Laplacian
I will firstly explain the general principle that in studying nonlinear PDE it is often useful to introduce Green's function for the linearization. I will then illustrate this principle with applications to the infinity Laplacian.

Lunedì28 maggio 2012
Kay Kirkpatrick (University of Illinois)
Bose-Einstein condensation, quantum many-body systems, and a central limit theorem
Near absolute zero, a gas of quantum particles can condense into an unusual state of matter, called Bose-Einstein condensation (BEC), that behaves like a giant quantum particle. The rigorous connection has recently been made between the physics of the microscopic many-body dynamics and the mathematics of the macroscopic model, the cubic nonlinear Schrodinger equation (NLS). I'll discuss recent progress with Gerard Ben Arous and Benjamin Schlein on a central limit theorem for the quantum many-body systems, a step towards large deviations for Bose-Einstein condensation.

Lunedì 31 ottobre 2011
Christopher Larsen (WPI)
On dynamic Griffith fracture
We first briefly discuss models for dynamic Griffith fracture, and then describe issues concerning the preliminary question of existence for wave equations off of arbitrary growing cracks. The main difficulties come first from the fact that, since the crack set might be dense even if its measure is finite, only unusually weak solutions are possible, and second, the space of test functions must grow in time, which rules out many methods of analysis. Finally, we discuss some properties of dynamic fracture solutions.

Lunedì 7 novembre 2011
Nicola Fusco (Università di Napoli Federico II)
Stabilita' e minimalita' per un problema isoperimetrico non locale
Nel seminario discuteremo un problema variazionale utilizzato nella modellizzazione di nanostrutture che si formano a seguito della separazione di catene formate da due diversi polimeri. Il funzionale considerato, ottenuto come limite di quello Ohta-Kawaski, consiste nella somma di un termine di perimetro e di un termine di volume non locale. Proveremo che i punti critici del funzionale per i quali la variazione seconda e' positiva verificano un'opportuna proprieta' di minimalita' locale con stima quantitativa.

Lunedì 14 novembre 2011
Adimurthi (Tata Institute for Fundamental Research- Bangalore- India)
Optimal control problem for scalar conservation laws with convex flux
In general this problem is very difficult because the cost functional is neither convex nor differentiable. Recently Castro-Palacios-Zuazua have studied this problem and showed the existence of an optimiser. They have modified the steepest decent method to obtain an optimal solution. But the convergence is an open problem. Here we tackle this problem using the Hopf, Lax-Olenik explicit solution and using the backward construction we construct explicitly an optimiser.

Lunedì 21 novembre 2011
Fabricio Macia Lang ( Universidad Politecnica de Madrid)
Resonances and high-frequency dynamics of the Schrödinger flow
We shall present some results concerning the dynamics of the high-frequency solutions to the linear Schrödinger equation on the torus and their applications to dispersive-type estimates and unique continuation problems. Our results are expressed in terms of semiclassical measures, which describe quantitatively energy concentration of solutions in phase-space. In particular, we shall describe the important role played in this problem by the effects caused by energy concentration around resonant frequencies of various orders. This is a joint work with Nalini Anantharaman.

Lunedì 28 novembre 2011
Federico Cacciafesta ( Sapienza Università di Roma)
L'equazione di Dirac cubic-nonlinear
Il fallimento della stima di Strichartz endpoint per l'equazione di Dirac 3D rappresenta la piu' grande difficolta' da affrontare nello studio dell'equazione cubic nonlinear. In tal senso presentero' alcuni risultati contenuti nella mia tesi di dottorato in cui dimostriamo che sotto opportune ipotesi di struttura o di regolarita' angolare aggiuntiva del dato iniziale e' possibile recuperare tale stima e dunque applicare tecniche standard di punto fisso per ottenere buona positura per il problema di partenza.

Lunedì 5 dicembre 2011
Fabio Punzo ( Sapienza Università di Roma)
Aspetti qualitativi di soluzioni di equazioni paraboliche semilineari su varieta' Riemanniane
Tratteremo equazioni paraboliche semilineari su varieta' Riemanniane. In particolare, con lo spirito di mettere in luce l'influenza dell'ambiente geometrico su alcuni aspetti qualitativi delle soluzioni di tali equazioni, discuteremo: (a) esistenza di soluzioni stazionarie stabili non costanti, usualmente denominate patterns, su varieta' Riemanniane compatte; (b) estinzione e propagazione di fronti nello spazio iperbolico; (c) blow-up su varieta' Riemanniane complete non compatte con curvatura sezionale negativa. I risultati che verranno presentati sono stati ottenuti in collaborazione con C. Bandle, H. Matano ed A. Tesei.

Lunedì 12 dicembre 2011
Nicola Visciglia ((Università di Pisa)
Esistenza di funzioni estremanti e decomposizione in profili per le stime di Sobolev-Strichartz
Presentero' dei risultati ottenuti in collaborazione con Luca Fanelli e Luis Vega. Dopo aver ricordato brevemente le stime di Sobolev-Strichartz mi occupero' della questione dell'esistenza di funzioni che ne realizzino la migliore costante. Nella seconda parte del seminario mostrero' un risultato di decomposizione in profili di successioni limitate in $\dot H^s$ associate ad una generico sistema di equazioni, generalizzando quindi dei risultati precedenti di Gerard-Bahouri e Keraani validi rispettivamente per l'equazione delle Onde e per l'equazione di Schroedinger.

Lunedì 19 dicembre 2011
Manuel del Pino (Universidad de Chile)
Minimal surfaces and the Allen-Cahn equation
We review some results on construction of solutions to the Allen Cahn equation with its nodal set close to a given, largely dilated minimal surface. In particular we present a counterexample to De Giorgi's conjecture in dimensions $9$ or higher.

Lunedì 16 gennaio 2012
Matteo Santacesaria (CMAP, Ecole Polytechnique)
The inverse conductivity problem in two dimensions: some old and new results
This talk focuses on the Gel'fand-Calderon inverse problem on a planar domain or, more precisely, the inverse boundary value problem for the Schroedinger equation on a bounded two-dimensional domain. This is a well-known subject thanks to its applications to Electrical Impedance Tomography (Calderon problem) and to Ultrasonic Tomography. We will review main results (namely uniqueness theorems and reconstruction algorithms) as well as a recent global stability estimate which was known only in special cases: the latter was obtained in the paper [R. Novikov, M. Santacesaria, J. Inverse Ill-Posed Probl. 18, 2010, 765-785.]

Lunedì 23 gennaio 2012
Francesca De Marchis (Sapienza Università di Roma)
A class of Liouville-type equations and a related system
We review some existence and multiplicity results on a class of mean field equations with exponential nonlinearities arising in conformal geometry and in several physical contexts. We also consider a Liouville-type system, which can be seen as a generalization of the latter class of equations. In particular we present an existence result for such a system (obtained in collaboration with D. Bartolucci), which implies the existence of Abrikosov's vortex-like congurations for the Electroweak theory of Glashow-Salam-Weinberg.

Lunedì 30 gennaio 2012
Luca Fanelli (Sapienza Università di Roma)
Waveguides o Dancer Solutions: continuazione unica dall'infinito
Motivati dallo studio del comportamento asintotico (in tempo e spazio) di soluzioni di equazioni di tipo Schroedinger, introdurremo la nozione di waveguide (o "Dancer solution"), come una soluzione di un'equazione di Schroedinger stazionaria appartenente allo spazio $L^2$ rispetto ad $(n-1)$-variabili (dove $n$ e' la dimensione spaziale) e limitata rispetto all'ultima variabile. Sorprendentemente, tali soluzioni esistono anche per alcuni esempi di equazioni di Schroedinger nonlineari stazionarie (Norman Dancer 2000). Ai fini di comprenderne le proprieta' di stabilita', nel momento in cui vengono fatte evolvere sotto l'azione del gruppo di Schroedinger, un'informazione rilevante e' data dal loro decadimento asintotico nelle $(n-1)$-variabili spaziali rispetto alle quali si ha integrabilita'. Introdurremo quindi un recente risultato ottenuto in collaborazione con L. Vega e L. Escauriaza, in cui usando tecniche di continuazione unica (stime di Carleman) proviamo che il decadimento ottimale e' dato da esponenziali negative di opportune funzioni omogenee. Riferimento bibliografico: L. Fanelli, L. Vega, L. Escauriaza: Carleman estimates and necessary conditions for the existence of waveguides, to appear in Indiana Univ. Math. J., (arXiv:1105.3230v1)

Lunedì 13 febbraio 2012
Roberta Musina (Università di Udine)
Disuguaglianze di tipo Caffarelli-Kohn-Nirenberg del secondo ordine.
In alcuni recenti lavori con Paolo Caldiroli (Universita' di Torino), abbiamo determinato condizioni necessarie e sufficienti per la validita' di disuguaglianze del secondo ordine invarianti per dilatazioni. Piu' precisamente ci occupiamo di disuguaglianze integrali che coinvolgono la norma $L^2$ pesata del Laplaciano e le norme $L^q$ pesate, ripetto a pesi che sono potenze della distanza dall'origine. Nel seminario illustrero' alcuni di questi risultati, con particolare riguardo ai casi $q=2$ (disuguaglianze di Rellich con pesi) e $q=2$** (disuguaglianze di Sobolev con pesi). Verranno anche discusse l'esistenza di funzioni estremali e alcuni fenomeni di rottura di simmetria.

Lunedì 27 febbraio 2012
Francesco Petitta (Sapienza Università di Roma)
Misure diffuse ed equazioni paraboliche non lineari
Lo studio di problemi di tipo parabolico con dato misura e', come noto, strettamente legato al concetto di capacita` parabolica. In presenza di termini di ordine inferiore di ordine zero, se il dato e' troppo concentrato appaiono naturalmente fenomeni di non compattezza che escludono la possibilita' di trovare soluzioni. Viceversa, se la misura non e' troppo concentrata (diffusa) l'esistenza di opportune soluzioni puo` essere provato attraverso un analisi dettagliata della struttura della misura stessa. In questo seminario descrivero` un approccio alternativo allo studio di equazioni paraboliche non lineari con termini di ordine zero e dati misure diffuse. Cerchero` di descrivere come questo approccio risulti essere, per molti versi, piu` naturale dei precedenti e possa inoltre essere applicato ad una piu` vasta classe di problemi differenziali. Si tratta di un lavoro in collaborazione con Augusto C. Ponce (Univ. Catholique de Louvain) e Alessio Porretta (Univ. di Roma 2).