Analisi Vettoriale a.a. 12/13
Corso di Laurea in Fisica
Ha superato la prova scritta Moscarelli con valutazione C+.
Orario di ricevimento: Venerdi' 14-16
Testo di riferimento :
Analisi Matematica
Autori: Barutello, Conti, Ferrario, Terracini, Verzini
Editrice: Apogeo education
Gli argomenti dell'orale corrispondono a quelli svolti a lezione e sono indicati nel seguente diario.
ARGOMENTI DELLE LEZIONI
Mar, 2-10:Riepilogo topologia di R^2: punti interni, esterni e di frontiera, aperti, chiusi, punti di accumulazione.
Concetto di limite per funzioni definite su domini del piano a valori scalari. Operazioni con i limiti. Funzioni continue. Prolungamento per continuita'. Metodi per dimostrare la non esistenza del limite. Esempi.
Mer, 3-10: Limiti uguali a +(-) infinito. Teorema del confronto per il calcolo di limiti. Limiti in coordinate polari. Esempi. Funzioni da R^m in R^n. Superfici parametriche.
Ven, 5-10: Derivate parziali. Derivabilita' delle funzioni di piu' variabili. Concetto di piano tangente. Definizione di differenziabilita'. Esempi. Teorema del differenziale totale (dimostrazione rimandata), conseguenze. Derivate direzionali. Calcolo delle derivate direzionali nel caso di funzioni differenziabili.
Mar, 9-10 : Dimostrazione del teorema del differenziale totale. Differenziabilita' di funzioni composte. Interpretazione geometrica del vettore gradiente. Massimi e minimi relativi. Punti critici.
Mer, 10-10: Esercitazione
Ven, 12-10 : Derivate parziali di ordine 2. Teorema di Schwarz (solo enunciato), esempi. Condizioni necessarie affinche' una funzione C^2 abbia punto di massimo o minimo relativo interno. Forme quadratiche, matrice hessiana.
Mar, 16-10 : Condizioni affinche' una forma quadratica sia definita positiva (negativa). Sviluppo di Taylor con resto di Peano al secondo ordine per una funzione C^2 definita in un aperto di R^2. Condizioni sufficienti affinche' una funzione C^2 ammetta massimo o minimo locale.
Mer, 17-10 : Teorema di Lagrange in piu' dimensioni, conseguenze. Sviluppo di Taylor al secondo ordine con resto in forma di Lagrange, dimostrazione dello sviluppo di Taylor (al secondo ordine) con resto in forma di Peano. Derivate parziali di ordine arbitrario. Cenno alla formula di Taylor (resto di Peano e Lagrange) di ordine generico n. Teorema di Weierstrass (senza dimostrazione). Procedimento per ottenere max e min assoluti per funzioni regolari definite su un compatto.
Ven, 19-10 : Teorema delle funzioni implicite in due variabili. Formula della derivata seconda per la funzione definita implicitamente dal teorema del Dini. Massimi e minimi vincolati. Teorema dei moltiplicatori di Lagrange.
Mar, 23-10 : Funzioni vettoriali, derivabilita', matrice jacobiana, differenziabilita'. Teorema del differenziale totale nella forma piu' generale (solo enunciato).Teorema del Dini nel caso generale (solo enunciato) .
Mer, 24-10 : Esercitazione in aula
Ven , 26-10 : Dimostrazione del Teorema del Dini nel caso dei sistemi di 2 equazioni e tre incognite, cenno al caso di 2 equazioni e 4 incognite. Teorema di inversione locale per applicazioni da R^2 in R^2 (dimostrato usando il teorema del dini).
Mar, 30-10 : Superfici parametriche. Equazione del piano tangente e dimostrazione del fatto che le superfici sono localmente grafici di funzioni.
Mer, 31-10 : Integrale improprio. Criterio del confronto per integrali impropri con integranda di segno positivo, criterio di del confronto asintotico. Funzioni campione.
Ven, 2-11 : Esercizi.
Mar, 6-11 : Integrale improprio: criterio integrale per le serie, convergenza assoluta implica convergenza semplice. Uniforme continuita'. Integrali dipendenti da parametri. Teoremi di continuita' e derivabilita' rispetto al parametro.
Mer, 7-11 Esercitazione in aula
Ven, 9-11 Successioni di funzioni. Convergenza semplice ed uniforme. Teoremi sulla convergenza uniforme di funzioni
Mar, 13-11 Integrali impropri dipendenti da parametro. Condizioni sufficienti affinche' un integrale improprio dipendente da parametro sia continuo rispetto al parametro. Condizioni sufficienti affinche' un integrale improprio dipendente da parametro sia derivabile rispetto al parametro.
Mer, 14-11 Esrcitazione
Ven, 16-11 Serie di funzioni. Convergenza totale. Convergenza totale implica convergenza uniforme. Condizioni sufficienti affinche una serie converga ad una funzione continua e derivabile.
Mar, 20-11 Serie di potenze. Raggio di convergenza. Serie derivata. Esercizi.
Mer, 21-11 Calcolo del raggio di convergenza della serie delle derivate. Serie di Taylor. Condizioni affinche' una funzione sia sviluppabile in serie di Taylor.
Ven, 23-11 Integrale di Riemann in 2 variabili. Integrabilita' delle funzioni continue definite su rettangoli chiusi.
Formule di riduzione per il calcolo di integrali doppi definiti su rettangoli.
Mar, 27-11 Integrale di funzioni su domini qualsiasi. Insiemi misurabili secondo Peano-Jordan. Insiemi trascurabili. Caratterizzazione di misurabilita' per insiemi misurabili tramite la frontiera. Integrazione su domini normali. Formula di riduzione per integrali su domini normali.
Mer, 28-11Esercitazione
Ven, 30-11 Integrabilita' di funzioni continue definite su insiemi chiusi e misurabili. Esercizi. Primi cenni al cambio di variabile.
Mar, 4-12 Formula generale per il cambio di coordinate in due variabili. Coordinate polari. Dimostrazione del caso di cambiamento di variabile lineare e f=1 (calcolo dell'area).
Mer, 5-12 Esercitazione
Ven, 6-12 Uso delle simmetrie per il calcolo di integrali doppi. Integrali tripli. Enunciato dei principali risultati. Integrali su parallelepipedi. Volume di un solido. Integrali su domini normali. Formula per il cambio di variabile. Coordinate cilindriche e coordinate sferiche.
Mar, 11-12 Esercizi sulle coordinate cilindriche e sferiche. Integrali impropri in piu' variabili su domini limitati. Definizione ed enunciato della buona positura di essa.
Mer, 12-12 Integrali impropri su domini illimitati. Esempi. Integrali di prima e seconda specie su curve regolari e semplici. Indipendenza dalla parametrizzazione scelta.
Ven, 14-12 : Campi gradiente. Campi conservativi. Rotore di un campo. Campi irrotazionali. Dimostrazione che un campo conservativo e' gradiente. Teorema di Poincare' : campi irrotazionali su domini stellati sono conservativi.
Mar, 18-12 Formule di Gauss Green sul piano. Dimostrazione nel caso di domini normali, cenno a casi piu' generali. Applicazioni. Formula per il calcolo dell'area. Teorema della divergeza
Mer, 19-12 Rotore di un campo in R^3. Teorema di Stokes sul piano. Applicazioni del Teorema di Stokes.
Campi irrotazionali su domini semplicemente connessi sono conservativi. Campi irrotazionali o a divergenza nulla definiti su domini con ''buchi''. Metodo per determinare il potenziale di un campo gradiente.
Mar, 8-1 Superfici regolari fino al bordo. Integrale superficiale (idea intuitiva della definizione). Formula per il calcolo dell' area di una superficie. Superfici orientabili. Calcolo dell' integrale del flusso di un campo attraverso una superficie orientata. Teorema di Stokes e della divergenza. Enunciato del teorema di Stokes (ipotesi del libro).
Mer, 9-1 Dimostrazione del Teorema di Stokes nel caso particolare trattato sul libro. Superfici regolari a pezzi (vedi enunciato sul libro). Teorema della divergenza nello spazio (solo enunciato). Idea della dimostrazione usando domini normali e formule di Gauss-Green. Superfici di rotazione. Equazioni differenziali a varibili separabili.
Ven, 11-1 Esercitazione .
Mar, 15-1 Equazioni differenziali di Bernulli, equazioni differenziali autonome e riconducibili ad autonome, equazioni differenziali esatte, fattore integrante. Esercizi sulle equazioni differenziali a variabili separabili
Mer, 16-1 Problema di Cauchy (caso scalare), unicita' utilizzando il metodo di Gronwall (vedi file Gronwall) enunciato del Teorema di esistenza ed unicita' globale e locale.
Ven, 18-1 Dimostrazione dei teoremi di esistenza (globale e locale) (vedi note Prof. Troianiello). Sistemi di equazioni differenziali enunciato dei teoremi di esistenza ed unicita'. Equazioni differenziali di ordine 2 e riduzione a sistemi di ordine 1.
Alcune note da consultare non necessariamente inerenti agli argometi svolti in questo anno accademico (vedi calendario delle lezioni) Integrale improprio, Funzioni implicite , Estremi vincolati , Integrale improprio in piu' variabili., Formule di Gauss Green, Teorema della divergenza e teorema di Stokes sul piano, Teorema Stokes e divergenza 2, Superfici , Cenni sulle forme differenziali., Serie di funzioni, Eq diff1, Eq diff2, Eq diff3, Eq diff4,
Eq diff5, Gronwall , Sistemi lineari