Modelli analitici per le applicazioni

Orario delle lezioni Mer e Gio 11-13, aula E (sono previste delle ore di laboratorio che si svolgeranno durante l'orario di lezione nei laboratori del dipartimento). Il corso termina il 24-5.

Orario di ricevimento (provvisorio) Mar 14-16 (nello studio locali ex-falegnameria).

Mer 1-3: Discussione sui prossibili approcci ai modelli della biologia. Concetto generico di specie. Scelta di mettersi nell'ambito del continuo usando un approccio deterministico. Equazioni di evoluzione delle specie a partire dal principio di conservazione. Termini di reazione e interazione locali e termini dovuti al flusso delle specie. Possibili scelte per il termine di flusso. Legge di Fick e sistemi di reazione e diffusione. Cenno alle equazioni della chemiotassi.

Gio 3-3: Equazioni di evoluzione indipendenti dalla variabile spaziale. Richiami sui sistemi di equazioni differenziali autonomi. Punti stazionari: stabilita', stabilita' asintotica e instabilita'. Richiamo del metodo per lo studio della stabilita' tramite il linearizzato. Scelte elementari per il termine di reazione nel caso della singola specie: crescita malthusiana, logistica, effetto Alee debole, effetto di Alee forte. Esempio di interazione tra piu' specie: modello preda-predatore. Reti di reazioni chimiche, significato probabilistico della costante cinetica della transizione. Equazione per la transizione semplice.

Mer 7-3: Tempo di dimezzamento e metodo empirico per calcolare la costante cinetica. Equazione di Arrehenius. Equazione per la reazione di 3 specie. Esempio della catena di reazioni dell'uranio. Reazioni reversibili. Studio del modello generale di transizioni semplici. Struttura della matrice associata all'equazione differenziale. Conservazione della somma delle specie. Criterio di Gersgorin per la ricerca di autovalori (senza dimostrazione). Teorema di Perron per le matrici positive (senza dimostrazione) e applicazione al comportamento asintotico per modello di reazioni semplici in cui ogni specie reagisce in modo reversibile con tutte le altre. Matrici riducibili e irriducibili.

Gio 8-3: Teorema di Perron-Frobenius per le matrici irriducibili e non negative (senza dimostrazione) e applicazione per lo studio del comportamento asintotico di reti di reazioni semplici con matrice irriducibile. Catene di reazioni orientate e non orientate. Relazioni di equivalenza tra specie di una rete chimica. Reti connesse. Reti debolmente reversibili. Condizione necessaria e sufficiente affinche' la rete di reazioni semplici converga asintoticamente ad un equilibrio con tutte concentrazioni positive (dimostrazione da fare).

Mer 14-3: Conclusione della parte sulle reti di reazioni semplici. Reti di reazioni chimiche generali. Principio dell'azione di massa, motivazione euristica. Composti, coefficienti stechiometrici, spazio stechiometrico. Scrittura di un sistema di reazioni chimiche generale usando i coefficienti stechiometrici. Condizioni nello spazio delle fasi per le soluzioni del sistema di reazioni chimiche.

Gio 15-3: Composti connessi. Reti debolmente reversibili. Indice di difetto. Teorema sull'indice di difetto nullo nel caso di rete debolmente reversibile (senza dimostrazione). Esempi di reti in cui si applica il teorema.

Mer 21-3: Cinetica degli enzimi. Modello semplice substrato-enzima-composto-prodotto (Michaelis-Menten). Scrittura del sistema, semplificazione. Ipotesi dello stato quasi stazionario. Prima motivazione euristica legata al rapporto dei dati iniziali enzima/substrato. Discussione dell'andamento della soluzione nel piano delle fasi. Riscalamento adimensionale dell'equazione della cinetica degli enzimi. Problema approssimante nell'ipotesi di composto all'equilibrio con il substrato. Enunciato del risultato di approssimazione dovuto al Teorema di Tichonov

Gio 23-3: Proprieta' qualitative della soluzione del problema approssimante. Asintotica stabilita' dell'origine del sistema originale studiando il linearizzato. Calcolo del limite quando epsilon tende a zero dell'autovalore piu' piccolo e confronto con il limite asintotico della soluzione del problema approssimante. Cinetica degli enzimi con 2 siti attivi. Semplificazione del sistema tramite equazioni lineari che legano tra loro le specie. Riscalamento adimensionale del sistema. Cenno all' idea dell'approssimazione tramite l'ipotesi dello stato quasi stazionario. Cinetica degli enzimi con la presenza di inibitori. Scrittura del sistema e sua semplificazione tramite equazioni lineari che legano tra loro le specie. Discussione sui punti stazionari del sistema con inibitori. Ipotesi sul comportamento asintotico della soluzione.

Mer 28-3: Riscalamenti temporali per sistemi di ode. Sistemi dipendenti da parametro. Perturbazioni regolari. Perturbazioni singolari (caso scalare).

Mer 4-4: Dimostrazione del Teorema di Tikhonov. Primi cenni ai mezzi eccitabili e al fenomeno del potenziale d'azione nel modello di Hodgkin Huxley

Gio 5-4: Mezzi eccitabili. Cenni sul funzionamento della membrana cellulare. Potenziali di Nerst. Primi tentatativi di modellare il fenomeno del potenziale d'azione. Variabili di controllo. Lezione in laboratorio sul modello di Hodgkin-Huxley.. File utile per la simulazione sul modello di Hodgkin Huxley. Vi invito a ripetere le simulazioni illustrate usando questo file. Provate anche ad inserire una corrente esterna costante

Mer 11-4: Interpretazione delle variabili di controllo tramite i modelli di transizioni semplici tra specie. Caso dei canali ionici con 2 cancelli. Semplificazioni del modello di Hodgkin-Huxley. Caso delle variabili veloci ponendo n e h costanti e uguali allo stato a riposo. Caso di una variabile veloce ed una lenta.

Gio 12-4: Riduzione del modello di Hodgkin-Huxley al caso di una variabile veloce ed una lenta. Interpretazione sul piano delle fasi del fenomeno del potenziale d'azione. Modello di FiztHugh-Nagumo. Studio degli equilibri e della loro stabilita' nel caso di corrente esterna fissata.

Mer 18-4: Modello di FiztHugh Nagumo: domini positivamente invarianti per il modello. Esistenza di un intervallo di correnti (per epsilon piccolo) tale che per correnti in tale range di valori la soluzione generica ammette come omega limite un ciclo periodico. Caso di una corrente forzante periodica. Esistenza di almeno una soluzione periodica. Richiami sulle equazioni di reazione e diffusione.

Gio 19-4: Principio del max debole per equazioni scalari (con dimostrazione) Principio del massimo forte e lemma di Hopf (senza dimostrazione). Unicita' per problemi di Dirichlet e Neumann sui limitati.

Gio 26-4: Caso non lineare scalare risultati di confronto. Sopra e sottosoluzioni per problemi di Neumann, Dirichlet e Cauchy. Applicazioni all'equazione logistica e bistabile. Soluzione fondamentale nel caso scalare del problema di Cauchy, soluzioni nel caso omogeneo e non omogeneo. Primi cenni al caso nonlineare

Mer 2-5: Teorema di esistenza ed unicita' nel caso del termine di reazione globalmente lipschitziano per il problema di Cauchy (con dimostrazione). Esistenza locale del problema di Cauchy (solo cenno alla dimostrazione). Unicita' e dipendenza continua dai dati (con dimostrazione). Tempo di esistenza massimale. Discussioni sulla possibilita' che si trovino soluzioni globali.

Gio 3-5: Cenno al caso dei problemi di Neumann e Dirichlet omogenei. Domini invarianti. Caso semplice in cui semispazi risultano invarianti. Teorema nel caso di condizioni di Neumann omogenee (solo enunciato). Applicazioni al sistema di Hodgkin-Huxley e al sistema dell'Oregonatore (con diffusione)

Mer 9-5: Discussione generale sul comportamento asintotico per sistemi di reazione diffusione. Caso scalare. Soluzioni stazionarie non omogenee. Risultati d'instabilita' per tali soluzioni (solo enunciati). Discussione tra il legame tra le soluzioni della PDE e dell'ODE

Gio 10-5: Onde viaggianti definizione e legame (caso scalare) tra la stabilita' dei punti di equilibrio dell'ode U'=F(U) e i possibili stati che si possono connettere nel piano delle fasi per il sistema che deve soddisfare l'onda viaggiante. Onde viaggianti nel caso dell'eq di Fisher-KPP (logistica), esistenza di una semiretta di velocita' per le quali si ottengono onde viaggianti che connettono gli stati 1 e 0 (solo enunciato). Risultato di esistenza e unicita' della velocita' per onde viaggianti della bistabile (solo enunciato). Legame tra il segno della velocita' dell'onda e l'integrale del termine di reazione nell'intervallo (0,1). Soluzione esplicita che connette lo stato 0 e lo stato 1 nel caso particolare della bistabile con termine di reazione u(u-alpha)(1-u). Risultato di stabilita' asintotica delle onde viaggianti per la bistabile di Fife e MacLoad 77 (solo enunciato).

Mer 16-5: Problema con condizioni di Neumann omogenee. Problema agli autovalori per l'operarore laplaciano con condizioni di Neumann omogenee (solo enunciato). Base ortonormale in L2 associata al problema agli autovalori. Idea per la costruzione della soluzione fondamentale con il metodo di separazione delle variabili per il problema scalare con condizioni di Neumann. Lemma che stima dall'alto e dal basso la norma L2 del gradiente di una funzione che soddisfa le condizioni di Neumann omogenee.Risultato sul comportamento asintotico della soluzione del sistema di reazione e diffusione con condizioni di Neumann omogenee in cui la soluzione tende ad omogenizzarsi spazialmente e si avvicina alla soluzione del problema di Ode associato (articolo di Conway-Hoff-Smoller del 78). Dimostrazione di parte del teorema (punto i),

Gio 17-5: Dimostrazione di parte del teorema punti ii) e iv), Conseguenze del Teorema. Primi cenni al problema dell'instabilita' di Turing. Instabilita' di Turing. Cenni sui modelli della morfogenesi.

Mer 23-5: Instabilita' di Turing. Condizioni sufficienti affinche' il sistema di ode associato ammetta soluzioni omogenee asintoticamente stabili. Linearizzazione del sistema di reazione e diffusione vicino all'equilibrio. Ricerca di soluzioni particolari del linearizzato vicino all'equilibrio. Condizioni affinche' un punto di equilibrio stabile per l'ode diventi asintoticamente instabile per il sistema di reazione e diffusione con condizioni di Neumann omogenee. Condizioni sufficienti tramite lo studio degli autovalori, caso unidimensionale.

Gio 24-5: Esempi di sistemi in cui si presenta il fenomeno dell'instabilita' di Turing: sistema attivatore-inibitore di Gierer-Meinhardt, sistema trimolecolare di Schnakenberg. Autovalori per domini rettangolari e discussione su condizioni sufficienti che assicurano l'instabilita' per tali domini. Discussione sul possibile comportamento asintotico per tempi grandi del sistema originale quando si verifica l'instabilita' di Turing.

E' necessario che svolgiate tutte le simulazioni proposte perche' nella prova orale vi puo' essere chiesto di commentare i risultati ottenuti. Prima della prova orale dovrete contattarmi tramite email vi proporro' degli esercizi da spedirmi, sempre tramite posta elettronica, qualche giorno prima dell'orale. Si consiglia di richiederli 10 giorni prima, vi lascero' una settimana per svolgerli e poi devo avere tempo 2, 3 giorni per controllarli ed eventualmente richiedere delle integrazioni. Una parte degli esercizi riguardera' delle modifiche o approfondimenti su alcune delle simulazioni date durante l'anno, si chiedera' di aggiungere qualche commento sulla parte di teoria legata agli argomenti delle simulazioni. Altri esercizi saranno di carattere piu' teorico del tipo vero o falso (in alcuni casi e' richiesta una motivazione alle risposte). E' possibile mandare un file matlab (o altro programma) e nella parte commentata rispondere alle domande vero o falso e scrivere le eventuali parti di teoria che sono richieste. In alternativa si puo' anche inviare un file tex, in cui si includono le figure e\o i filmati delle simulazioni. Il giorno d'inizio di ogni appello coincidera' con il primo giorno utile per fare gli orali in quell'appello, questo non significa che l'orale dovra' essere in tale data. La data di ciascun orale sara' concordata sempre tramite email. La prima domanda della prova orale sara' un argomento a vostra scelta.

Il prossimo appello regolare e' previsto a Gennaio. Se avete esigenza di un appello a Novembre siete pregati di contattarmi quanto prima.

Libro di testo

Biomat 1.0 C. Mascia, E. Montefusco, A . Terracina, Edizioni la Dotta

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