Analisi 18-19

Analisi 18-19, corso di laurea in fisica, canale 4

Orario delle lezioni Mar 8-10, Gio 11-13, Ven 10-12 aula 7 (nuovo edificio di Fisica).

Sito web del corso di Analisi, comune a tutti i canali. LINK

Orario di ricevimento Mar 14.00-16.00. (Il ricevimento del giorno 5-2-2019 e' spostato al 6-2-2019, mi scuso per l'inconveniente) (nello studio locali ex-falegnameria).

Mar 25-09: Linguaggio matematico, richiamo di alcuni simboli. Richiami di logica: proposizioni e predicati. Significato dell' affermazione P implica Q. Esempi. Insiemi numerici: naturali, interi, razionali. Assiomi algebrici e di ordinamento che li caratterizzano. Questionario OFA, per favore compilatelo, e' assolutamente anonimo, ovviamente non compilatelo piu' di una volta

Gio 27-09: Ulteriore proprieta' dei razionali. Principio di Archimede sui razionali. Rappresentazione decimale periodica. Rappresentazione dei razionali sulla retta. Con i razionali non si puo' fornire la misura di ogni segmento. Non esistono razionali il cui quadrato sia uguale a 2. Intervalli numerici e concetto di distanza tra due numeri. Il modulo. Numeri reali definiti aggiungendo l'assioma di Archimede e la proprieta' degli intervalli incapsulati. Conseguenza dell'assioma di Archimede: densita' dei razionali in R.

Ven 28-09: Principio d'induzione: esempi. Disuguaglianza di Bernulli. Proprieta' del modulo. Sottinsiemi di reali superiomente limitati, inferiormente limitati e limitati. Maggioranti e minoranti di un insieme. Concetto di max e min di un insieme. Esempi in cui il max e il min non ci sono. Definizione di estremo superiore e inferiore. Enunciato dell'esistenza di sup e inf come conseguenza dell'assioma di Archimede e degli intervalli incapsulati (senza dimostrazione). Esempi. Vi suggerisco i seguenti esercizi guidati riguardanti la questione dell'esistenza delle radici nei reali.

Mar 02-10: Definizione generale di funzione. Esempi. Funzione di variabile reale. Immagine di una funzione. Piano cartesiano. Luoghi geometrici sul piano. Grafico di una funzione sul piano. Esempi di grafici. Pre-immagine di un punto del codominio. Funzioni iniettive e invertibilita'. Definizione di funzione inversa per funzioni iniettive. Esempi. Funzioni strettamente crescenti o decrescenti e loro invertibilita'. Caso delle funzioni monomiali.

Gio 04-10: Composizione di funzioni, esempi e non commutativita' dell'operazione di composizione. Operazioni elementari sui grafici, traslazioni rispetto alla variabile indipendente e dipendente, contrazioni e dilatazioni rispetto alla variabile indipendente. Esempio della parabola. Grafici di funzioni inverse. Funzioni pari, dispari e periodiche. Cenni sulle funzioni trigonometriche e possibile definizioni di funzioni inverse legate a queste. Funzione x^r con r razionale. Funzione esponenziale e sue proprieta'

Ven 05-10: Funzione esponenziale e suo grafico. Funzione logaritmo, proprieta' e grafico. Svolgimento esercizi del foglio 1 ed esercizi sull'esistenza della radice ennesima.

Mar 09-10: Successioni. Esempi. Successioni definite per ricorrenza. Limitatezza di una successione. Successioni crescenti e decrescenti. Limite di successione. Unicita' del limite. Risultati di confronto e applicazioni. Successioni convergenti sono limitate. Limite della somma, del prodotto e del rapporto di successioni. Successioni divergenti.

Gio 11-10: Permanenza del segno nel limite di successioni. Limite del reciproco di una successione infinitesima, limite del reciproco di una successione divergente. Operazioni sui limiti considerando anche le successioni divergenti. Forme indeterminate. Esempi

Ven 12-10: Sottosuccessioni. Test per la verifica della non esistenza del limite tramite sottosuccessioni. Teorema di Bolzano Wierstrass (solo enunciato). Idea su possibili applicazioni di tale teorema. Successioni monotone e loro regolarita'. Svolgimento di parte degli esercizi del foglio 2

Mar 16-10: Serie numeriche. Serie geometrica. Condizione necessaria per la convergenza. Regolarita' delle serie a termini positivi. Teorema del confronto per serie a termini positivi. Esercizi su limiti notevoli per successioni. Idea della dimostrazione che si puo' passare al limite in espressioni del tipo p^{a_n} e log_p(a_n) quando la successione a_n ammette limite. Forme a_n^{b_n} e limite notevole (1+1\n)^n. Numero di Nepero.

Gio 18-10: Serie a termini positivi. Criterio del confronto asintotico e applicazioni. Criterio della radice e del rapporto. Svolgimento della parte restante del foglio 2.

Ven 19-10: Convergenza della serie armonica generalizzata di esponente alpha>1.Convergenza della "Serie esponenziale". Svolgimento degli esercizi del foglio 3. Note integrative sulle serie numeriche scritte dal Prof. Fanelli.

Mar 23-10: Richiami sulle serie numeriche a termini positivi. Serie telescopiche. Combinazione lineare di serie convergenti. Convergenza assoluta di una serie. Convergenza assoluta implica convergenza semplice. Criterio di Leibnitz per le serie a segno alterno. Esempi di serie che convergono ma che non convergono assolutamente.

Gio 25-10: Limiti di funzione di variabile reale. Discussione sui punti in cui ha senso fare il limite. Punti di accumulazione di un dominio. Teorema ponte (solo enunciato). Conseguenze:unicita' del limite, permanenza del segno, operazioni con i limiti. Forme indeterminate. Esempi. Limiti da destra e da sinistra. Limiti di funzioni polinomiali, razionali, trigonometriche, esponenziali e logaritmiche.

Ven 26-10: Regole di composizione per i limiti. Applicazioni. Cambi di variabile per il calcolo di limiti. Teoremi di confronto. Limiti notevoli :sin(x)\x per x che tende a zero, a^x\x^{alpha} e log_a(x)x^{alpha} (a>1 e alpha>0) per x che tende a +infinito. Limite (1+1\x)^x per x che tende a + o -infinito. Limite (1+x)^{1\x} per x che tende a zero. Limiti ln(1+x)\x e (e^x-1)\x per x che tende a zero. Svolgimento di parte degli esercizi del foglio 4.

Mar 6-11: Limite x^{alpha}log_a(x) per x che tende a zero da destra. Esistenza dei limiti da sinistra e destra per funzioni monotone sugli intervalli (solo enunciato). Funzioni continue. Classi di funzioni continue. Funzioni continue in intervalli aperti meno un punto. Studio della discontinuita' nel punto: discontinuita' eliminabile, di prima specie, altri esempi di discontinuita'. Teorema di esistenza degli zeri. Controesempi. Teorema dei valori intermedi (con dimostrazione). Generalizzazione al caso di funzioni continue su intervalli aperti (solo enunciato).

Gio 8-11: Dimostrazione del Teorema di esistenza degli zeri tramite il metodo di bisezione. Conseguenze del teorema di esistenza del teorema degli zeri (esistenza valori intermedi): se una funzione e' continua su un intervallo e invertibile allora e' strattamente monotona inoltre la sua inversa risulta anch'essa continua (idea della dimostrazione). Teorema di Weierstrass, dimostrazione con il metodo degli intervalli incapsulati (vedi note).

Ven 9-11: Esempi e controesempi riguardanti le ipotesi sul teorema di Weierstrass. Considerazioni riguardo funzioni continue definite su tutto R. Svolgimento di parte degli esercizi del foglio 5.

Mar 13-11: Variante del Teorema di Weierstrass per funzioni continue definite su tutta la retta reale che divergono a +infinito per x che tende a + e - infinito. Svolgimento del foglio 5 di esercitazione e di esercizi in preparazione dell'esonero.

Gio 15-11: Derivabilita': interpretazione come velocita' istantanea, come approssimazione lineare di una funzione, interpretazione geometrica con la definizione di retta tangente al grafico di una funzione. Svolgimento di esercizi.

Ven 16-11: Esonero.

Mar 20-11: Funzioni derivabili sono continue. Non derivabilita' in x=0 della funzione |x|. Derivate di funzioni di x^n, sin(x), cos(x), e^x, log(x). Derivate di combinazioni lineari di funzioni. Derivata del prodotto. Derivata del rapporto. Derivata della composizione. Esempi.

Gio 22-11: Dimostrazione della formula per la derivata della composizione di funzioni. Derivata della funzione inversa: applicazioni. Derivate destre e sinistre. Punti angolosi, punti a tangente verticale, cuspidi: esempi. Massimi e minimi relativi. Per funzioni derivabili nei punti di massimo e minimo interni la derivata e' nulla.

Ven 23-11: Funzioni crescenti e derivabili hanno derivata non negativa. Teorema di Rolle. Teorema di Lagrange. Applicazioni al teorema di Lagrange. Legame tra il segno della derivata e la monotonia delle funzioni. Le funzioni con derivata nulla in tutto un intervallo sono costanti. Se esiste il limite della derivata in un punto allora esiste anche il limite del rapporto incrementale in tale punto. Applicazioni alle funzioni definite a tratti o definite a meno di un punto. Esempio di una funzione in cui non esiste il limite della derivata nel punto ma la funzione risulta derivabile in esso.

Mar 27-11: Metodo per la ricerca di max e min assoluti per funzioni continue definite su intervalli chiusi e limitati. Studio del segno della derivata prima per la ricerca di max e min relativi. Derivate di ordine superiore. Insiemi convessi in R^n. Funzioni convesse definite su un intervallo I. Caratterizzazione tramite la corda che congiunge 2 punti sul grafico. Definizione di funzioni strettamente convesse, concave e strettamente concave. Esempio di funzione convessa non derivabile in tutto I. Caso delle funzioni derivabili in I: equivalenza tra la definizione generale e la condizione con le rette tangenti che rimangono sotto il grafico in I (senza dimostrazione). Caso f derivabile in I: f convessa (strett convessa) se e solo se f' crescente (strett crescente in I) (dimostrazione solo del caso f' stret crescente implica f stret convessa usando Lagrange). Enunciati analoghi per funzioni concave. Caso di funzioni derivabili 2 volte studio del segno della derivata seconda per studiare gli insiemi di convessita' e concavita' di una funzione. Punti di flesso. Esempi.

Gio 29-11: Studio del grafico di una funzione. Asintoti. Funzioni infinitesime per x che tende ad x_0. Teorema di Cauchy (solo enunciato). Enunciati del Th di de L'Hopital (dimostrazione solo nel caso 0\0 con limite in un punto al finito). Esempi. Infinitesimi di ordine superiore. Condizione necessaria e sufficiente affinche' una funzione C^n(I) sia un infinitesimo di ordine superiore a (x-x_0)^n per x che tende ad x_0 (x_0 in I). Sviluppi di Taylor, ricerca del polinomio di Taylor.

Ven 30-11: Caratterizzazione unica del polinomio di Taylor. Sviluppo di Taylor con resto in forma di Peano. Polinomi di Taylor delle funzioni e^x, sin(x), cos(x) con centro x_0=0. Uso degli sviluppi di Taylor per il calcolo dei limiti. Uso della caratterizzazione del polinomio di Taylor e di sviluppi noti per ottenere sviluppi di funzioni senza necessariamente calcolarne le derivate. Sviluppo di Taylor di ordine n con resto in forma di Lagrange per funzioni C^{n+1}(I). Conseguenze: cenno del fatto che le funzioni e^x, sin(x) e cos(x) ... posso essere scritte sotto forma di serie, cenno al fatto che tramite gli sviluppi in forma di Lagrange si possono approssimare i valori delle funzioni.

Mar 4-12: Svolgimento esercizi foglio 6 e parte foglio 7.

Gio 6-12: Area del sottografico di funzioni non negative. Caso delle funzioni costanti a tratti. Integrale di Riemann. Definizione. Condizione necessaria e sufficiente per l'integrabilita' (con dimostrazione). Esempio di funzione non integrabile (funzione di Dirichlet). Integrabilita' delle funzioni monotone. (con dimostrazione).

Ven 7-12: Definizione di uniforme continuita' e di lipschitzianita' di una funzione definita su un intervallo. Funzioni continue definite su un intervallo [a,b] sono uniformemente continue (senza dimostrazione). Integrabilita' delle funzioni continue (con dimostrazione). Integrabilita' della somma e prodotto di funzioni integrabili (senza dimostrazione). Integrabilita' del modulo di una funzione integrabile (senza dimostrazione). Proprieta' dell'integrale definito, linearita', additivita' e monotonia (senza dimostrazione). Media dell'integrale e sua stima. Funzione limitata definita su un intervallo I (integrabile su ogni intervallo chiuso e limitato contenuto in I) e funzione integrale associata. Lipschitzianita' della funzione integrale (con dimostrazione). Funzione integrale associata ad una funzione continua definita su un intervallo I. Discussione sulle primitive di una funzione continua definita su un intervallo I. Enunciato del Teorema fondamentale del calcolo.

Mar 11-12: Teorema della media. Teorema fondamentale del calcolo e sue conseguenze. Integrale indefinito. Integrali indefiniti elementari. Funzioni seno e coseno iperbolico

Mer 12-12: Cambio di variabile negli integrali definiti e indefiniti e applicazioni. Esercizi foglio 7.

Gio 13-12: Integrazione per parti in integrali definiti e indefiniti. Applicazioni. Integrazione di funzioni razionali: caso in cui il denominatore ha grado 2.

Ven 14-12: Primi cenni alle equazioni differenziali. Esempi di applicazioni dei equazioni differenziali del primo e secondo ordine. Svolgimento esercizi foglio 8.

Mar 18-12: Equazioni differenziali lineari del primo e secondo ordine. Considerazioni generali. Risoluzione di equazioni del primo ordine lineari. Soluzioni del problema di Cauchy. Esempi. Concetto di convergenza per successioni sui complessi. Serie nel campo complesso, convergenza in modulo implica convergenza semplice (enunciato).

Gio 20-12: Esponenziale complesso. Giustificazione della formula per e^{iy}. Funzioni di variabile reale a valori nei complessi. Funzione e^{\lambda t}, \lambda costante complessa e t variabile reale, derivata di tale funzione. Funzioni indipendenti in un intervallo I. Equazioni differenziali del secondo ordine lineari: struttura della soluzione dell'equazione omogenea e della soluzione non omogenea (solo enunciato). Caso delle equazioni differenziali del secondo ordine lineari omogenee a coefficienti costanti. Risoluzione dell'equazione omogenea nei vari casi. Esempi

Ven 21-12: Equazioni lineari non omogenee. Principio di sovrapposizione. Caso a coefficienti costanti, cenno al metodo della variazione delle costanti. Ricerca di soluzioni particolari per similitudine e fenomeni di risonanza. Esercizi.

Mar 7-01: Esercizi del foglio 9.

Gio 9-01: Spazio R^d, concetto di distanza. Funzioni da da un dominio di R^d a valori in R^n. Concetto di limite nel caso generale. Esempi in cui vengono fuori funzioni di questo tipo. Funzioni da R in R^n, interpretazione cinematica, vettore velocita'. Differenza tra legge oraria e traiettoria. Esempi di funzioni diverse ma aventi la stessa traiettoria. Curve regolari e curve regolari a tratti in R^n. Parametrizzazione di un segmento. Lunghezza di un segmento e quindi di una spezzata. Lunghezza di una curva regolare, idea euristica per ottenere la formula per il calcolo tramite un integrale. Cenno al fatto che l'integral e' effettivamente indipendente dalla parametrizzazione scelta. Integrale di una generica funzione lungo una curva

Ven 10-01: Integrali curvilinei di seconda specie, applicazioni al calcolo del lavoro di un campo di forze lungo un cammino. Concetto di punto di accumulazione per domini contenuti in R^d. Funzioni continue da R^d a valori in R^n. Enunciato del fatto che la composizione di funzioni continue e' continua. Funzioni da domini di R^2 a valori in R. Grafico. Esempi di calcolo di domini di definizione. Classi di funzioni continue a partire dal fatto che somma prodotto di funzioni continue sono continue e che le funzioni elementari f(x,y)=x e g(x,y)=y risultano continue. Qualche esempio sulla difficolta' del calcolo del limite in piu' (2) variabili nel caso ci siano forme indeterminate 0\0. Esempio in cui il limite dipende dalla direzione in cui ci si avvicina al punto. Derivate parziali (sempre nel caso bidimensionale). Piano tangente, legame tra i coefficienti del piano tangente e le derivate parziali. Enunciato del teoria del differenziale totale (se le derivate parziali sono continue allora la funzione e' differenziabile e quindi esiste il piano tangente). Vettore gradiente e calcolo delle derivate direzionali a partire da esso (cenni).

Mar 14-01: Esercizi del foglio 10 ed esercizi generici di preparazione al secondo esonero.

Mar 18-01: Secondo esonero.

Libro di testo

Note prima parte, Note seconda parte, Note terza parte, Note quarta parte

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