Orario: Lunedi' 14-16, Aula I; Giovedi' 11-13, Aula IV.

Orario Ricevimento: Lunedi' 16.15 - 17.15 (Studio n. 122 a Matematica, primo piano) oppure per appuntamento.

Le lezioni sono in presenza.

E-learning: e` attiva una pagina e-learning alla quale vi prego di iscrivervi (cercate Variabile Complessa 2022-23). Utilizzero' e-learning per annunci, informazioni varie etc...
Il materiale didattico sara` invece reperibile in questa pagina web.

Date degli esami della sessione estiva:
13 Giugno 2023 (orali a partire dal 26/6, mattina)
4 Luglio 2023
8 Settembre 2023
22 Settembre 2023 (attenzione al cambio di data, dal 20 al 22).

Programma di massima del corso.
Derivata complessa. Funzioni olomorfe. Equazioni di Cauchy-Riemann. Funzioni armoniche. Serie di potenze e funzioni analitiche.
Integrali curvilinei. Forme differenziali. Primitive. Teorema di Cauchy locale. Formula di Cauchy e sue conseguenze. Le funzioni olomorfe sono analitiche.
Versioni globali del teorema di Cauchy. Formula di Pompeiu. Domini semplicemente connessi. Logaritmo. Radice quadrata. Superfici di Riemann: definizione astratta, esempi,
prime proprieta`. Curve piane. Tori complessi. Successioni di funzioni olomorfe. Zeri di una funziona olomorfa. Continuazione analitica.
Serie di Laurent e singolarita`. Teorema di Casorati-Weistrass. Teorema dei residui. Applicazioni. Funzioni meromorfe. Integrale logaritmico.
Teorema di Rouche'. Mappe conformi. Trasformazioni lineari fratte. Automorfismi del disco unitario. Teorema della mappa di Riemann. Teorema di Runge.
Teorema di fattorizzazione di Weierstrass. Teorema di Mittag-Leffler. La funzione Gamma. La funzione zeta di Riemann. Teorema dei numeri primi.
Ogni settimana verra` assegnato un compito a casa.
NB: gli argomenti gia` visti ad Analisi II saranno comunque trattati (anche se rapidamente) ed approfonditi.

Testi :
[C] John B. Conway. Functions of one complex variable, Graduate texts in Mathematics, Springer. Seconda edizione. 1978
[FB] Eberhard Freitag e Rolf Busam: Complex analysis. Springer.
[G] Theodore W. Gamelin. Complex Analysis. Springer. 2001
[R] Walter Rudin. Real and Complex Analysis. Third edition. McGraw Hill 2001.
[SS] Elias M. Stein and Ravi Shakarchi. Complex Analysis, Princeton Lectures in Analysis, 2. Princeton University Press, Princeton, NJ, 2003.
Sono anche previste delle note a cura del docente.

Esami: L'esame consiste di una prova scritta e una orale. Per essere ammessi all'orale e' necessario conseguire almeno 18/30 nella prova scritta.
Si puo' fare lo scritto nel primo appello di una sessione e l'orale nel secondo appello della stessa sessione.
Ci sara` un primo esonero a meta` corso ed un secondo esonero in concomitanza del primo scritto (13 Giugno).
Si e` esonerati dallo scritto se la media dei due voti dell'esonero e` maggiore o uguale a 18/30.
Gli esoneri scadono il 31 Luglio 2023. Anche per gli esonerati e` possibile dare l'orale dopo l'appello scritto di Luglio.

DIARIO DELLE LEZIONI.

PRIMA SETTIMANA.
Lunedi' 27 Febbraio: Presentazione del corso. Richiami da Analisi 2: funzioni olomorfe, le funzioni olomorfe sono continue e differenziabili,
equazioni di Cauchy-Riemann, funzioni olomorfe a derivata identicamente nulla.
Serie a termini complessi. Serie di funzioni. Convergenza puntuale, uniforme e totale. Massimo limite di una successione reale.
Proprieta` del massimo limite. Criterio della radice per serie reali a termini positivi.
Serie di potenze, formula di Hadamard per il raggio di convergenza.
Esercizi: risolvere il primo compito a casa (del 1/3/2023).

SECONDA SETTIMANA.
Lunedi' 6 Marzo: Teorema di Hadamard. Funzioni analitiche. Prodotto di Cauchy. Somma e prodotto di funzioni analitiche.
Esercizi: risolvere il secondo compitoa casa (del 9/3/2023).

TERZA SETTIMANA.
Lunedi' 13 Marzo: Esponenziale. Logarirmo principale. Il logarirmo principale e` olomorfo; calcolo della sua derivata.
Correzione di numerosi esercizi del compito 1 e 2.
Esercizi: risolvere il Terzo compito a casa (del 13/3/2023).
Giovedi' 16 Marzo: Principio d'identita` delle funzioni analitiche. Integrazione lungo un cammino,
1-forme associate, primitiva di una funzione continua, teorema di Goursat,
esistenza di una primitiva locale per una funzione olomorfa, formula di Cauchy locale,
Esercizi: risolvere il Quarto compito a casa (del 17/3/2023).

QUARTA SETTIMANA.
Lunedi' 20 Marzo: le funzioni olomorfe sono analitiche. Conseguenze. Teorema di Morera. Stime di Cauchy sulla derivata k-ma.
Teorema di Liouville. Teorema fondamentale dell'algebra. Principio del massimo modulo. Teorema di omotopia. Domini semplicemente connessi. Esistenza di un ramo del logaritmo.
Teorema e Formula di Cauchy. in regioni regolari.
Giovedi' 23 Marzo: correzione e discussione di esercizi.
Esercizi: risolvere il quinto compito a casa (del 23/3/2023).

QUINTA SETTIMANA.
Lunedi' 27 Marzo: indice di allacciamento, teorema di Cauchy globale, primo gruppo di omologia di uno spazio topologico.
Giovedi' 30 Marzo: primo gruppo di omologia e primo gruppo di omotopia, omologia ed indice di allacciamento,
teorema di Cauchy omologico.

SESTA SETTIMANA.
Lunedi' 3 Aprile: ancora su omologia ed indice di allacciamento, correzione esercizio 1 e 2 del quinto compito a casa.
Giovedi' 6 Aprile:teorema dell'applicazione aperta (senza dimostrazione); singolarita`, classificazione delle singolarita`,
caratterizzazione delle singolarita`, residuo associato ad una singolarita`, metodi di calcolo, teorema dei residui.
Esercizi: risolvere il sesto compito a casa (del 4/4/2023).

SETTIMA SETTIMANA.
Giovedi' 13 Aprile: discussione alla lavagna del quinto e del sesto compito a casa.
Esercizi: risolvere il settimo compito a casa (del 14/4/2023).

OTTAVA SETTIMANA.
Lunedi' 17 Aprile: caratterizzazione delle singolarita` isolate; teorema di Casorati-Weierstrass;
funzioni meromorfe; contare zeri e poli; teorema di Rouche'.
Giovedi' 20 Aprile: correzione in classe del settimo foglio di esercizi. Ancora sul teorema di Rouche': enunciati
alternativi, teorema fondamentale dell'algebra.
Esercizi: risolvere l' ottavo compito a casa (del 21/4/2023).

NONA SETTIMANA.
Giovedi' 27 Aprile, ore 11-14: prima prova in itinere.
Per il testo della prove in itinere cliccate qui. (I quattro compiti erano ottenuti uno dell'altro per pernutazione degli esercizi.)

DECIMA SETTIMANA.
Giovedi' 4 Maggio: teorema dell'applicazione aperta via Rouche'. Funzione olomorfe iniettive.
Successioni di funzione olomorfe: teorema di Weierstrass. Teorema di Runge (prima parte).

UNDICESIMA SETTIMANA.
Lunedi' 8 Maggio: Teorema di Runge (seconda parte). Applicazioni conformi. Biolomorfismi. Esempi. Trasformazioni lineari fratte.
Giovedi' 11 Maggio: Automorfismi del disco unitario D e del semipiano superiore: enunciati. Teorema di Montel: enunciato.
Teorema della mappa di Riemann: enunciato ed inizio dimostrazione.
Venerdi' 12 Maggio: Fine dimostrazione Teorema della mappa di Riemann. Dimostrazioni per la caratterizzazione di Aut (D) e per Montel.
Esercizi: risolvere il nono compito a casa (del 12/5/2023).

DODICESIMA SETTIMANA.
Lunedi' 15 Maggio: funzioni armoniche, armoniche coniugate. Teorema di caratterizzazione dei domini semplicemente connessi.
Giovedi' 18 Maggio: prodotti infiniti, prodotti infiniti di funzioni olomorfe, espansione della funzione seno come prodotto infinito.
Esercizi: risolvere il decimo compito a casa (del 19/5/2023).

TREDICESIMA SETTIMANA.
Lunedi' 22 Maggio: teorema di fattorizzazione di Weierstrass. Funzione sigma, Funzione P di Weierstrass.
Giovedi' 25 Maggio: correzione alla lavagna del compito 9 e del compito 10.
Venerdi' 26 Maggio: funzioni meromorfe sulla sfera di Riemann; ancora su Runge; teorema di Mittag-Leffler; funzione P di Weierstrass.
Esercizi: risolvere l'undicesimo compito a casa (del 27/5/2023).

QUATTORDICESIMA SETTIMANA.
Lunedi' 29 Maggio: funzione Gamma e sue proprieta`. Funzione zeta e sue proprieta` (solo enunciati). Enunciato dell'ipotesi di Riemann.
Enunciato del teorema dei numeri primi.
Esercizi: risolvere il dodicesimo compito a casa (del 29/5/2023).
Giovedi' 1 Giugno: discussione alla lavagna dell'undicesimo e del dodicesimo compito a casa.

NOTE DELLE LEZIONI. Cliccate qui (ultimo e definitivo aggiornamento: 4/6/2023).

Programma d'esame: cliccate qui.

Testo del secondo esonero .

Testo dell'esame scritto del 13/6/2023 .

Prossimi Appuntamenti: 19 Gennaio 2024, esame scritto (ultimo appello del corso). Ore 10.00, Aula Picone.