Orario: Mercoledi' ore 9 precise (senza quarto d'ora accademico) - 11, Venerdi' ore 11-14
Tutte le lezioni in Aula Picone a Matematica.
Prima lezione: 2 Marzo 2022.

Orario Ricevimento: Lunedi' 15.30 - 16.30 (Studio n. 122 a Matematica, primo piano) oppure per appuntamento.

Le lezioni sono in presenza. Coloro che a causa del covid-19 non possono essere presenti potranno partecipare da remoto utilizzando il link  google-meet:
https://meet.google.com/rij-vwua-hgc

E-learning: e` attiva una pagina e-learning alla quale vi prego di iscrivervi (cercate " Variabile Complessa"). Utilizzero' e-learning per annunci, informazioni varie etc...
Il materiale didattico sara` invece reperibile in questa pagina web.

Programma di massima del corso.
Derivata complessa. Funzioni olomorfe. Equazioni di Cauchy-Riemann. Funzioni armoniche. Serie di potenze e funzioni analitiche.
Integrali curvilinei. Forme differenziali. Primitive. Teorema di Cauchy locale. Formula di Cauchy e sue conseguenze. Versioni globali del teorema di Cauchy
e della formula di Cauchy. Formula di Pompeiu. Domini semplicemente connessi. Logaritmo. Radice quadrata. Superfici di Riemann: definizione astratta, esempi,
prime proprieta`. Curve piane. Tori complessi. Successioni di funzioni olomorfe. Zeri di una funziona olomorfa. Continuazione analitica.
Serie di Laurent e singolarita`. Teorema di Casorati-Weistrass. Teorema dei residui. Applicazioni. Funzioni meromorfe. Integrale logaritmico.
Teorema di Rouche'. Mappe conformi. Trasformazioni lineari fratte. Automorfismi del disco unitario. Teorema della mappa di Riemann. Teorema di Runge.
Teorema di Mittag-Leffler. La funzione Gamma. La funzione zeta di Riemann. Teorema dei numeri primi.
Ogni settimana verra` assegnato un compito a casa.
NB: gli argomenti gia` visti ad Analisi II saranno comunque trattati (anche se rapidamente) ed approfonditi.

Testi :
[A] Lars V. Ahlfors. Complex Analysis, An introduction to the theory of analytic functions of one complex variable. Third edition.
International Series in Pure and Applied Mathematics. McGraw-Hill Book Co., New York, 1978.
[C] John B. Conway. Functions of one complex variable, Graduate texts in Mathematics, Springer. Seconda edizione. 1978
[FB] Eberhard Freitag e Rolf Busam: Complex analysis. Springer.
[G] Theodore W. Gamelin. Complex Analysis. Springer. 2001
[R] Walter Rudin. Real and Complex Analysis. Third edition. McGraw Hill 2001.
[SS] Elias M. Stein and Ravi Shakarchi. Complex Analysis, Princeton Lectures in Analysis, 2. Princeton University Press, Princeton, NJ, 2003.

Esami: L'esame consiste di una prova scritta e una orale. Per essere ammessi all'orale e' necessario conseguire almeno 18/30 nella prova scritta.
Si puo' fare lo scritto nel primo appello di una sessione e l'orale nel secondo appello della stessa sessione.

Date esami:
24 Giugno (orali il 24 Giugno pomeriggio oppure il 4 Luglio pomeriggio)
11 Luglio (orali il 19 Luglio)
2 Settembre (attenzione al cambio data, orali in giornata)
14 Settembre.

DIARIO DELLE LEZIONI.

PRIMA SETTIMANA.
Mercoledi' 2 Marzo: Presentazione del corso. Il campo dei numeri complessi. Struttura di spazio metrico. Rappresentazione in coordinate polari.
Radici n-me di un numero complesso. Funzioni olomorfe. Le funzioni olomorfe sono continue e differenziabili.
Venerdi' 4 Marzo: Equazioni di Cauchy-Riemann. Funzioni olomorfe a derivata identicamente nulla. Serie a termini complessi.
Serie di funzioni. Convergenza puntuale, uniforme e totale. Massimo limite di una successione reale.
Proprieta` del massimo limite. Criterio della radice per serie reali a termini positivi.
Serie di potenze, formula di Hadamard per il raggio di convergenza e olomorfia di una serie di potenze.
Criterio del rapporto (solo enunciato). Esponenziale. Formula di Eulero. exp(z) exp (w)= exp (z+w).
Referenze. Per la lezione del 2/3 potete consultare le note qui sotto. Per Cauchy-Riemann potete consultare [Garroni-Malusa].
Per il massimo limite e le sue proprieta`: [Giusti, Vol 1. Sezione 10 e Proposizione 11.1]. Per le serie di potenze: [C], Theorem 1.3.
Per il criterio del rapporto: [C] Prop. 1.4. Per l'olomorfia di una serie di potenze: [C] Proposition 2.5. Per l'esponenziale: [C] p. 37 e 38.

SECONDA SETTIMANA.
Mercoledi' 9 Marzo: Ancora sulla dimostrazione del Teorema di Hadamard. Derivate successive di una serie di potenze. Serie di Taylor.
Funzioni analitiche. Discussione alla lavagna del primo compito a casa.
Venerdi' 11 Marzo: prodotto di Cauchy di due serie, somma e prodotto di funzioni analitiche; logaritmo principale, il logaritmo principale e` olomorfo;
funzioni trigonometriche ed iperboliche, potenze complesse. Prolungamento analitico (ripasso).
Le funzioni olomorfe sono analitiche (ripasso da Analisi 2): integrazione lungo un cammino, 1-forme associate, primitiva di una funzione continua, teorema di Goursat,
esistenza di una primitiva locale per una funzione olomorfa, formula di Cauchy locale, sviluppo in serie di potenze di una funzione olomorfa.

TERZA SETTIMANA.
Mercoledi' 16 Marzo: Riassunto. Stime di Cauchy sulle derivate k-me.
Regioni del piano regolari (a tratti): teorema e formula di Cauchy per tali regioni. Teorema di Liouville. Principio di massimo modulo.
Soluzione di alcuni esercizi del secondo compito, con particolare riguardo a quelli sul logaritmo complesso. Dimostrazione diretta dell'olomorfia di un ramo del logaritmo.
Venerdi' 18 Marzo: Teorema di omotopia. Domini semplicemente connessi e teorema di Cauchy. Esistenza di un ramo del logaritmo per tali domini. Teorema di Morera.
Indice di allacciamento di una curva attorno ad un punto. Teorema e Formula globale di Cauchy.

QUARTA SETTIMANA.
Mercoledi' 23 Marzo:Primo gruppo di omologia, collegamenti con l'indice di allacciamento. L'omomorfismo surgettivo dal primo gruppo
di omotopia al primo gruppo di omologia. Indice di allacciamento di un ciclo. Forma georema del teorma globale di Cauchy. Teorema dell'applicazione aperta.
Venerdi' 25 Marzo: Ancora su omologia e indice di allacciamento. Come contare gli zeri di una funzione olomorfa. Serie di Laurent. Classificazione delle singolarita`.
Teorema di Casorati-Weistrass. Residui. Teorema dei residui. Correzione terzo compito a casa.

QUINTA SETTIMANA.
(Non c'e' stata lezione il 30 Marzo ed l'1 Aprile per impegni accademici del docente.)
Mercoledi' 6 Aprile: discussione del quarto compito a casa. Dimostrazione di Casorati-Weistrass.
Venerdi' 8 Aprile:Utilizzo del teorema di Cauchy e del teorema dei residui per il calcolo di integrali reali.
Valore Principale. Funzioni meromorfe. Contare zeri e poli. Teorema di Rouche'. Nuova dimostrazione del TFA.
Successioni di funzioni olomorfe: teorema di Weistrass. Teorema di Runge.

SESTA SETTIMANA.
Mercoledi' 13 Aprile: ancora sul teorema di Runge. Mappe conformi. Una funzione iniettiva olomorfa definisce una mappa conforme.
Una mappa conforme con gradiente non-nullo definisce un'applicazione olomorfa. Bi-olomorfismi. Il disco unitario ed il semipiano superiore sono bi-olomorfi.
Trasformazioni di Moebius. Automorfismi del disco unitario e del semipiano superiore: enunciati. Lemma di Schwartz.

SETTIMA SETTIMANA.
Mercoledi' 20 Aprile: automorfismi del disco unitario e del semipiano superiore (dimostrazioni). Preliminari al teorema della mappa di Riemann: famiglie normali,
uniformemente limitate sui compatti, equicontinue sui compatti. Teorema di Ascoli-Arzela`. Teorema di Montel. Dimostrazione del teorema della mappa di Riemann (inizio).
Venerdi' 22 Aprile: dimostrazione del teorema della mappa di Riemann (fine). Correzione alla lavagna degli esercizi del quinto compito a casa.

OTTAVA SETTIMANA.
Mercoledi' 27 Aprile: Funzioni armoniche. Armoniche coniugate. Caratterizzazione dei domini semplicemente connessi.
Venerdi' 29 Aprile: primo esonero.

NONA SETTIMANA.
Mercoledi' 4 Maggio: Superfici di Riemann. Esempi. Funzioni olomorfe, mappe olomorfe, funzioni meromorfe e loro proprieta` fondamentali.
Venerdi' 6 Maggio: Ancora sulle superfici di Riemann e loro prorieta` fondamentali. Classificazione dei tori complessi.
Prodotti infiniti.

DECIMA SETTIMANA.
Mercoledi' 11 Maggio: Prodotti infiniti di funzioni olomorfe. Lo sviluppo di $\pi \cot (\pi z)$ in frazioni semplici (due dimostrazioni). Lo sviluppo di sin(\pi z) come prodotto infinito.
Introduzione al teorema di fattorizzazione di Weierstrass: i fattori elementari E_p (z).

Venerdi' 13 Maggio: teorema di fattorizzazione di Weierstrass. Esempi. La funzione sigma di Weirstrass associata ad un reticolo.
Funzione P di Weirstrass. Teorema di Mittag-Leffler. Esempi. Nuovo approccio alla funzione P di Weirstrass. Sua doppia periodicita`.
Referenze: Prodotto infiniti: [SS, Cap. 5, Sez. 3] con qualche precisazione da [C, Cap VII, Sez. 5]. Svilupo della cotangente: [SS]. Anche [FB, Prop. III.7.3]
Teorema di fattorizzazione di Weierstrass: [C, p. 168-170. Cor. p. 173]. Teorema di Mittag-Leffler: [C, Cap. VIII, Sez. 3] o anche [G, Cap. XIII, Sezione 2].
Funzione P di W.: [FB, IV.2 e V.2 (attenzione, a pag. 221 riga 1 c'e' un refuso: |\omega|\geq dk e` la dis. giusta)]

UNDICESIMA SETTIMANA.
Mercoledi' 18 Maggio: funzione gamma e sue proprieta`: olomorfia in Re s >0, equazione funzionale, estensione meromorfa,
fattorizzazione di 1/\Gamma, formula di Eulero.
Venerdi' 20 Maggio: funzione zeta, funzione theta, estensione meromorfa di zeta, formula di Eulero,
zeri banali della funzione zeta.
Correzione del sesto compito e dei primi 3 esercizi del settimo compito.

DODICESIMA SETTIMANA.
Mercoledi' 25 Maggio: zeta non ha zeri nella retta Re(s)=1; teorema dei numeri primi, enunciato e inizio dimostrazione.
Venerdi' 27 Maggio (ultima lezione del corso): teorema dei numeri primi, fine dimostrazione.

Programma d'esame: cliccate qui.

NOTE DELLE LEZIONI. A cura di Daniele Arbore, Alessandra Vita, Luigi De Filpo, William Riccardo Duro, Filippo Birindelli,
Giacomo Landi, Valerio Ricciardi, Leonardo Felicetti, Carmine Imbriani, Silvia Gangeri, Lucrezia Beatrice Lorenzi,
Federico Renzi, Sara Rinaldi, Giulio De Santis, Domenico Marino, Andrea Cesari.
cliccate qui (ultimo aggiornamento: 5 Giugno 2022, 22 Giugno).
N.B. : per il corso dell'anno accademico 2022-2023 e` prevista una revisione di queste note.