3.1.
Generalità sulle strutture algebriche.
Operazioni n-arie (n \geq 0). Strutture algebriche. Definizione, esemplificazione e controesemplificazione di alcune strutture algebriche binarie:
monoide, gruppo. Morfismi di strutture algebriche binarie.
Alcune semplici proprietà soddisfatte dagli elementi di un gruppo (unicità dell'elemento neutro, unicità del reciproco, leggi di cancellazione).
Alcune semplici proprietà dei morfismi di gruppo (un omomorfismo di gruppi invia l'elemento neutro del primo gruppo nell'elemento neutro del secondo gruppo).

3.2.
Numeri interi I.
Richiamo di alcune proprietà dei numeri naturali. Definizione degli interi: Z = (N x N) / #.
Definizione dell'operazione di addizione (moltiplicazione) in Z:
(1) definizione di un'operazione di addizione (moltiplicazione) in N x N;
(2) compatibilità dell'addizione (della moltiplicazione) con #;
(3) definizione di un'operazione di addizione (moltiplicazione) in Z.
Proprietà dell'addizione + in Z: + è commutativa; associativa; dotata di elemento neutro;
tale che ogni elemento ammette un reciproco, i.e. un opposto.
Proprietà della moltiplicazione in Z:
è commutativa (evidente); associativa; dotata di elemento neutro.
(Z, +) è un gruppo commutativo e (Z, . ) è un monoide commutativo.
Notazione con rappresentati privilegiati, i.e. ogni intero è del tipo [0, 0], [a, 0], [0, a] con a in N.
Introduzione della funzione valore assoluto | . | : Z ----> N
Il valore assoluto: è subadditivo, verifica | -a | = | a |, è moltiplicativo; è tale che: z = 0 se e solo se | z | = 0. Z è un dominio di integrità.

3.3.
Numeri interi II.
Dimostrazione dell'esistenza dell'opposto di ogni elemento di Z e necessità della sua forma: l'opposto di [a, 0] deve necessariamente essere [0, a].
Dimostrazione (sempre nello stesso spirito) che le uniche soluzioni di z.w = 1 sono necessariamente del tipo (z, w) = (1, 1) e (z, w) = (-1, -1).
L'insieme degli interi è numerabile. L'insieme degli interi estende quello dei naturali nel senso dell'algebra:
monomorfismi di monoidi commutativi (N, +) ----> (Z, +) e (N, .) ----> (Z, .).
Struttura d'ordine in Z. Teorema di divisione in N (esistenza).

Referenze bibliografiche:
Note di Alessandro D'Andrea, tutto fino alla Prop. 4.1.
In alternativa, [C] pp 19-23, fino a Oss. 4. Poi pp 30-33. [C] fa la divisione direttamente in Z (vedi quarta settimana).