Orario lezioni: martedì ore 9-11, giovedì ore 9-11, venerdì ore 11-13
Aula 6, Nuovo Edificio di Fisica
Ricevimento studenti: giovedì ore 12-13.30 nello Studio N. 8 del Dipartimento di Matematica e per appuntamento
Testi
e soluzioni, Elenco
degli Studenti che hanno superato la Prova Scritta del 23-11-2012
Testi
e soluzioni, Elenco
degli Studenti che hanno superato la Prova Scritta del 25-9-2012
Testi
e soluzioni, Elenco
degli Studenti che hanno superato la Prova Scritta del 9-7-2012
Testi
e soluzioni, Elenco
degli Studenti che hanno superato la Prova Scritta del 15-2-2012
Testi
e soluzioni, Elenco
degli Studenti che hanno superato la Prova Scritta del 1-2-2012
Testi
e soluzioni, Elenco
degli Studenti che hanno superato la Seconda Prova Scritta d'Esonero , Elenco
degli Studenti esonerati dalla Prova Scritta d'Esame
Testi
e soluzioni, Elenco
degli Studenti ammessi alla Seconda Prova Scritta d'Esonero
AVVISO: Venerdì 23 novembre 2012,
dalle ore 11 alle ore 13.45, in Aula Cabibbo del
Nuovo Edificio di Fisica avrà luogo
AVVISO: Le Prove Orali dell’Appello di Geometria
(Lettere P-Z) di settembre avranno inizio giovedì 27 settembre, alle ore
AVVISO:
AVVISO: Le Prove Orali dell’Appello di Geometria (Lettere
P-Z) di luglio avranno inizio mercoledì 11 luglio alle ore
AVVISO:
AVVISO: Le Prove Orali dell’Appello Straordinario di Geometria avranno luogo in Aula B giovedì 17 maggio, dalle ore 9 alle ore 10.
AVVISO: Giovedì 10 maggio 2012, alle ore 8.30, in Aula B del Dipartimento di
Matematica avrà inizio
AVVISO: Le Prove Orali del II Appello proseguiranno lunedì 20 febbraio, in Aula 5, dalle ore 9 alle ore 18. Ulteriori Sedute d’Esami avranno luogo mercoledì 22 febbraio e giovedì 23 febbraio, in Aula 4, dalle ore 9 alle ore18, seguendo il diario d'esami concordato con i candidati.
AVVISO: Le Prove Orali del II Appello avranno inizio venerdì 17 febbraio, in Aula 5, alle ore 9.30 seguendo un diario d'esami che sarà concordato con i candidati. Dalle ore 9 alle ore 9.30 dello stesso giorno gli studenti interessati potranno prendere visione dei loro elaborati relativi alla Prova Scritta del giorno 15 febbraio.
AVVISO:
AVVISO IMPORTANTE: A causa della
chiusura per maltempo dell’Università degli Studi di Roma “
AVVISO: Le Prove Orali del I Appello avranno inizio venerdì 3 febbraio, in Aula 5, alle ore 9.30 seguendo un diario d'esami che sarà concordato con i candidati. Dalle ore 9 alle ore 9.30 dello stesso giorno gli studenti interessati potranno prendere visione dei loro elaborati.
AVVISO:
AVVISO: Martedì 24 gennaio 2012 dalle ore 15 alle ore
AVVISO: Venerdì 27 gennaio 2012, dalle ore 15 alle ore 18, avrà luogo
AVVISO: Martedì 20 dicembre e martedì 10 gennaio, dalle ore 13.30 alle ore
15.45, nello Studio N.
AVVISO: Martedì 13 dicembre, dalle ore 15 alle ore
AVVISO: Venerdì 2 dicembre 2011
AVVISO: Martedì 29 novembre 2011, dalle ore 8.15 alle ore 11, avrà luogo
AVVISO: Giovedì 24 novembre 2011 dalle ore 15 alle ore
AVVISO: Martedì 25 ottobre 2011 dalle ore 16 alle ore
Norme d'esame per l'anno accademico 2011-2012
Programma per l'anno accademico 2011-2012
Dal 4 ottobre al
7 ottobre 2011:
Richiami
sugli insiemi numerici N, Z, Q, R. Struttura di anello commutativo di Z.
Struttura di campo di Q e di R. Definizione e generalità sui numeri complessi.
Operazioni sui numeri complessi. Struttura di campo dell'insieme C dei numeri complessi.
Cenni sul campo Q(√2).
Cenni
sui campi finiti e sul corpo H dei quaternioni. Digressione sul prodotto
cartesiano di insiemi. Insieme delle n-ple ordinate
di elementi di un campo K. Somma di due n-ple
ordinate e sue proprietà. Prodotto di un elemento di K per una n-pla ordinata e sue proprietà. Combinazioni lineari di n-ple ordinate. Definizione assiomatica di spazio
vettoriale su un campo K. Struttura di spazio vettoriale su un campo K
dell’insieme delle n-ple ordinate di elementi di K.
Matrici
a elementi in un campo K. Righe e colonne di una matrice. Matrici rettangolari
e matrici quadrate. Matrici nulle. Matrice opposta di una matrice assegnata.
Matrici a scala e loro pivots. Matrice trasposta di
una matrice assegnata. Matrici simmetriche. Matrici antisimmetriche. Matrici
triangolari. Matrici diagonali. Matrici scalari. Matrici unità. Somma di due
matrici aventi lo stesso numero m di righe ed n di colonne. Proprietà della
somma di matrici. Prodotto di un elemento del campo K per una matrice ad elementi
nel campo K e sue proprietà. Struttura di spazio vettoriale dell’insieme delle
matrici con m righe ed n colonne ad elementi in un campo K.
Dall’11 ottobre
al 14 ottobre 2011:
Matrice
trasposta della somma di due matrici. Matrice trasposta del prodotto di un
elemento del campo K per una matrice ad elementi nel campo K. Decomposizione di
una matrice quadrata nella somma di una matrice simmetrica e di una matrice
antisimmetrica. Prodotto di una matrice riga per una matrice colonna e sue
proprietà. Prodotto (righe per colonne) di due matrici moltiplicabili.
Proprietà del prodotto di matrici. Struttura di anello dell'insieme delle
matrici quadrate d'ordine n ad elementi in un campo K. Struttura di algebra
dell’insieme delle matrici quadrate d’ordine n ad elementi in un campo K.
Potenze ad esponente intero positivo di una matrice quadrata. Matrici nilpotenti. Espressioni polinomiali di una matrice
quadrata. Matrici invertibili. Unicità della matrice inversa di una matrice
invertibile. Caratterizzazione delle matrici invertibili. Gruppo lineare
d'ordine n su un campo K. Potenze ad esponente intero negativo di una matrice
invertibile.
Invertibilità
della matrice trasposta di una matrice invertibile. Matrici ortogonali. Gruppo
ortogonale d'ordine n. Struttura del gruppo ortogonale per n=1 e per n=2.
Sistemi di equazioni lineari a coefficienti in un campo K. Soluzioni di un
sistema di equazioni lineari. Compatibilità di un sistema di equazioni lineari.
Sistemi di equazioni lineari determinati. Sistemi di equazioni lineari
indeterminati. Sistemi di equazioni lineari incompatibili o impossibili.
Matrice dei coefficienti, o matrice incompleta, e matrice dei coefficienti e
dei termini noti, o matrice completa, di un sistema di equazioni lineari.
Scrittura matriciale di un sistema di equazioni lineari. Sistemi di equazioni
lineari omogenei. Soluzione nulla o banale di un sistema di equazioni lineari
omogeneo. Sistema di equazioni lineari omogeneo associato ad un sistema di
equazioni lineari.
Teorema
di struttura dell’insieme delle soluzioni di un sistema di equazioni lineari.
Risoluzione dei sistemi di equazioni lineari a scala. Sistemi di equazioni
lineari equivalenti. Operazioni elementari sui sistemi di equazioni lineari che
permettono di ottenere sistemi di equazioni lineari equivalenti.
Dal 18 ottobre al
21 ottobre 2011:
Metodo o
algoritmo di eliminazione di Gauss-Jordan per la
risoluzione dei sistemi di equazioni lineari. Riduzione a scala di una matrice.
Rango di una matrice come numero dei pivots di una
sua riduzione a scala. Matrici non singolari. Teorema di Rouché-Capelli.
Condizione necessaria e sufficiente affinché un sistema di equazioni lineari
quadrato ammetta una sola soluzione. Condizione necessaria e sufficiente
affinché un sistema di equazioni lineari omogeneo ammetta soluzioni non banali.
Risoluzione
dei sistemi di equazioni lineari triangolari inferiori. Metodo di eliminazione
di Gauss-Jordan all’indietro. Risoluzione dei sistemi
di equazioni lineari col doppio metodo di eliminazione di Gauss-Jordan.
Invertibilità delle matrici non singolari. Non singolarità della matrice
trasposta e della matrice inversa di una matrice non singolare. Determinazione
della matrice inversa di una matrice non singolare. Risoluzione dei sistemi
lineari quadrati, con matrice dei coefficienti non singolare, con l’uso della
matrice inversa. Rango delle matrici dipendenti da un parametro. Risoluzione
dei sistemi di equazioni lineari dipendenti da un parametro.
Dal 25 ottobre al
28 ottobre 2011:
Segmenti
orientati o vettori applicati. Segmenti orientati degeneri. Digressione sulle
relazioni di equivalenza. Relazione di equipollenza tra segmenti orientati.
Vettori geometrici o liberi. Vettore geometrico nullo. Vettore geometrico
opposto di un vettore geometrico assegnato. Vettori geometrici paralleli.
Vettori geometrici complanari. Proprietà dei vettori geometrici. Somma di due
vettori geometrici. Proprietà della somma di vettori geometrici. Prodotto di
uno scalare reale per un vettore geometrico. Proprietà del prodotto di uno scalare
reale per un vettore geometrico. Differenza di due vettori geometrici.
Struttura
di spazio vettoriale dell’insieme dei
vettori geometrici. Digressione sui postulati euclidei. Geometria del piano e
dello spazio ordinario. Assiomatica vettoriale del piano e dello spazio
ordinario. Compatibilità dei postulati euclidei ricondotta alla compatibilità
della teoria dei numeri naturali. Spazio vettoriale nullo. Spazio vettoriale
K[x] dei polinomi in una indeterminata a coefficienti in un campo K. Spazio vettoriale
F(X,K) delle funzioni di un insieme X a valori in un campo K. Prodotto
cartesiano di due spazi vettoriali su uno stesso campo K. Alcune proprietà
degli spazi vettoriali deducibili dagli assiomi. Struttura di spazio
vettoriale, su un sottocampo di K, di uno spazio vettoriale su K. Sottospazi
vettoriali di uno spazio vettoriale. Sottospazi vettoriali impropri o banali.
Alcune
proprietà dei sottospazi vettoriali. Esempi notevoli di sottospazi vettoriali
di spazi vettoriali. Sottovarietà lineari affini di uno spazio vettoriale.
Esempi notevoli di sottovarietà lineari affini di uno spazio vettoriale.
Combinazioni lineari di vettori. Sottospazio vettoriale generato da un numero
finito di vettori e proprietà relative.
Sistemi
di generatori di uno spazio vettoriale. Spazi vettoriali finitamente generati.
Esempi di spazi vettoriali finitamente generati e di spazi vettoriali non
finitamente generati.
Dal 3 novembre al
4 novembre 2011:
Intersezione
e somma di due sottospazi vettoriali di uno stesso spazio vettoriale. Somma
diretta di due sottospazi vettoriali. Proprietà della somma diretta di
sottospazi vettoriali. Sottospazi vettoriali supplementari. Esempi di somme e
di somme dirette di sottospazi vettoriali. Vettori linearmente dipendenti.
Proprietà dei vettori linearmente dipendenti. Esempi notevoli di vettori
linearmente dipendenti. Vettori linearmente indipendenti. Proprietà dei vettori
linearmente indipendenti. Esempi notevoli di vettori linearmente indipendenti.
Basi
(finite) di uno spazio vettoriale. Coordinate di un vettore rispetto ad una
base assegnata. Traduzione scalare di una uguaglianza vettoriale. Coordinate
della somma di due vettori e del prodotto di uno scalare per un vettore.
Sistemi massimali di vettori linearmente indipendenti. Teorema dell'esistenza
di basi di uno spazio vettoriale finitamente generato. Metodo degli scarti
successivi per l’estrazione di una base da un sistema finito di generatori.
Coordinate di una combinazione lineare di vettori. Condizione analitica per la
dipendenza lineare di un numero finito di vettori.
Dall’8 novembre al’11 novembre2011:
Massimo
numero di vettori linearmente indipendenti in uno spazio vettoriale avente una
base finita. Dimensione di uno spazio vettoriale. La dimensione di uno spazio
vettoriale come numero massimo di vettori linearmente indipendenti estraibili
da un sistema di generatori. La dimensione di uno spazio vettoriale come numero
massimo di vettori linearmente indipendenti dello spazio vettoriale. Dimensione
di alcuni esempi notevoli di spazi vettoriali. Sistemi infiniti di generatori
di spazi vettoriali non finitamente generati. Sistemi liberi di vettori di
spazi vettoriali non finitamente generati. Basi infinite di spazi vettoriali
non finitamente generati. Dimensione infinita degli spazi vettoriali non
finitamente generati: il caso di K[x]. Condizioni affinché n vettori di uno
spazio vettoriale di dimensione n costituiscano una base. Teorema del
completamento della base. Dimensione e codimensione
dei sottospazi vettoriali di uno spazio vettoriale di dimensione finita.
Formula
di Grassmann vettoriale. Spazio delle righe di una
matrice. Rango per righe di una matrice. Spazio delle colonne di una matrice.
Rango per colonne di una matrice. Uguaglianza dei ranghi per riga e per colonna
di una matrice. Rango di una matrice. Rango di una matrice trasposta di una
matrice assegnata. Algoritmo di Gauss-Jordan per
l'estrazione di una base da un sistema di generatori. Uso delle coordinate di
vettore nell'algebra lineare.
Equazioni
parametriche e cartesiane di un sottospazio vettoriale di uno spazio vettoriale
di dimensione finita; eliminazione dei parametri. Basi di somme e di
intersezioni di sottospazi vettoriali. Condizioni affinché una somma di
sottospazi vettoriali sia diretta.
Dal 15 novembre
al 18 novembre 2011:
Dimensione e codimensione di una sottovarietà lineare affine di uno spazio vettoriale di dimensione finita. Equazioni parametriche e cartesiane di una sottovarietà lineare affine di uno spazio vettoriale di dimensione finita; eliminazione dei parametri.
Definizione
di determinante per le matrici quadrate del primo, del secondo e del terzo
ordine. Digressione sulle permutazioni di n elementi. Segno di una
permutazione. Sostituzione associata ad una permutazione. Cenni sui gruppi di
sostituzioni e sui gruppi alterni. Definizione di determinante di una matrice
quadrata d'ordine n.
Sottomatrici
e minori di una matrice. Minore complementare di un elemento di una matrice
quadrata. Complemento algebrico o cofattore di un elemento di una matrice quadrata.
Formula o regola di Laplace per il calcolo del determinante di una matrice
quadrata (senza dimostrazione). Determinante di una matrice trasposta di una
matrice assegnata. Teorema fondamentale sul determinante e suo corollario.
Teorema di unicità della funzione determinante. Teorema di caratterizzazione
delle matrici non singolari come matrici a determinante non nullo.
Dal 22 novembre
al 25 novembre 2011:
Teorema
di Binet (soltanto enunciato). Determinante della
matrice inversa di una matrice invertibile assegnata. Invertibilità di una
matrice ammettente un'inversa destra oppure sinistra. Rango di una sottomatrice
di una matrice. Teorema di caratterizzazione del rango di una matrice come
ordine massimo delle sottomatrici quadrate a determinante non nullo (soltanto
enunciato) e suo corollario. Teorema di Kronecker o
delle sottomatrici quadrate orlate per il calcolo del rango di una matrice
(soltanto enunciato). Uso dei determinanti nello studio di sottospazi
vettoriali e di sottovarietà lineari affini di uno spazio vettoriale di
dimensione finita.
Calcolo
della matrice inversa di una matrice invertibile con l'uso dei determinanti.
Formula di Cramer per la risoluzione dei sistemi
quadrati di equazioni lineari con matrice dei coefficienti a determinante non nullo.
Risoluzione dei sistemi di n-1 equazioni lineari omogenee in n incognite con
matrice dei coefficienti di rango massimo.
Risoluzione
di un sistema qualunque di equazioni lineari con l'uso dei determinanti. Risoluzione
dei sistemi di equazioni lineari dipendenti da un parametro con l'uso dei
determinanti.
Dal 1° dicembre
al 2 dicembre 2011:
Definizione assiomatica di spazio affine associato ad uno spazio vettoriale. Dimensione di uno spazio affine, rette e piani affini. Prime proprietà degli spazi affini. Esempi notevoli di spazi affini: spazio affine ordinario; spazi affini vettoriali; spazi affini numerici su un campo K.
Riferimenti
affini di uno spazio affine di dimensione finita. Coordinate affini di punto.
Coordinate di un vettore individuato da due punti. Significato delle coordinate
affini di punto nel caso dello spazio affine ordinario, nel caso di uno spazio
affine vettoriale e nel caso di uno spazio affine numerico. Sottospazi affini
di uno spazio affine. Giacitura e dimensione di un sottospazio affine. Il caso
dei sottospazi affini di dimensione due, uno e zero. Direzione e vettori
direttori di un sottospazio affine di dimensione uno o retta. Sottospazi affini
dello spazio affine ordinario. Sottospazi affini di uno spazio affine
vettoriale. Prime proprietà dei sottospazi affini. Sottospazio affine generato
da m+1 punti. Punti indipendenti. Punti dipendenti. Punti allineati. Punti
complanari. Esempi di punti dipendenti e di punti indipendenti. Massimo numero
di punti indipendenti in uno spazio affine di dimensione finita.
Il 6 dicembre
2011:
Teorema
di esistenza e unicità della retta passante per due punti distinti. Teorema di
esistenza ed unicità del piano passante per tre punti non allineati. Codimensione di un sottospazio affine di uno spazio affine
di dimensione finita. Iperpiani. Equazioni parametriche di un sottospazio
affine. Parametri direttori di una retta. Equazioni parametriche di una retta.
Equazioni cartesiane di un sottospazio affine. Eliminazione dei parametri. Il
caso delle rette, dei piani e degli iperpiani. Stella di iperpiani con vertice
in un punto assegnato. Iperpiani ed assi coordinati. Intersezione di sottospazi
affini. Equazioni cartesiane in forma di rapporti uguali di una retta. Stella
di rette con vertice in un punto assegnato.
Dal 13 dicembre
al 16 dicembre 2011:
Parallelismo
di due sottospazi affini. Condizione di parallelismo di due rette. Proprietà
dei sottospazi affini paralleli. Teorema di esistenza ed unicità di un sottospazio
affine passante per un punto e parallelo ad un sottospazio affine della stessa
dimensione. Coefficienti di giacitura di un iperpiano. Condizione di
parallelismo di due iperpiani. Condizione di parallelismo di una retta ed un
iperpiano. Sottospazi affini incidenti. Sottospazi affini sghembi.
Semirette,
segmenti, triangoli, parallelogrammi, tetraedri, parallelepipedi, m-simplessi e
m-parallelepipedi di uno spazio affine reale di dimensione qualunque. Figure
convesse. Inviluppo o involucro convesso di una figura. Punto medio di due
punti. Punto simmetrico di un punto rispetto ad un punto assegnato. Baricentro
(geometrico) di m punti. Semispazi individuati da un iperpiano.
Condizione
di allineamento di tre punti e rappresentazione parametrica e cartesiana di una
retta di un piano affine. Parametri direttori e coefficiente direttore di una
retta assegnata mediante un'equazione cartesiana. Parallelismo ed intersezione
di rette di un piano affine. Equazioni cartesiane di un punto in un piano
affine. Casi particolari dell'equazione cartesiana di una retta. Fasci propri
di rette. Fasci impropri di rette. La direzione di una retta vista come punto
improprio della retta. Cenni sulla retta impropria di un piano affine. Il
fascio improprio di rette visto come fascio di rette passanti per il punto
improprio delle rette.
Condizione
di complanarità di quattro punti e rappresentazione parametrica e cartesiana di
un piano di uno spazio affine tridimensionale. Equazione cartesiana della
stella di piani di vertice in un punto. Condizioni di allineamento di tre punti
e rappresentazione parametrica e cartesiana di una retta di uno spazio affine
tridimensionale. Equazioni cartesiane in forma di rapporti uguali della stella
di rette di vertice in un punto. Parametri direttori di una retta assegnata
mediante equazioni cartesiane. Parallelismo ed intersezione di piani.
Parallelismo ed intersezione di rette e piani.
Il 20 dicembre
2011:
Piano
per un punto parallelo a due rette non parallele. Equazioni cartesiane di un
punto in uno spazio affine tridimensionale. Casi particolari dell'equazione
cartesiana di un piano. Fasci propri di piani. Fasci impropri di piani. Fasci
di rette su un piano di uno spazio affine tridimensionale. Interpretazione
della giacitura di un piano come retta impropria del piano. Cenni sul piano
improprio di uno spazio affine tridimensionale. Interpretazione del fascio
improprio di piani come fascio di piani avente come asse la retta impropria dei
piani. Complanarità di due rette. Condizione di complanarità di due rette.
Retta
per un punto complanare con due rette sghembe. Retta per un punto parallela a
due piani non paralleli. Retta per un punto incidente un’altra retta e
parallela ad un piano. Decomposizione di un vettore nella somma di un vettore
appartenente alla giacitura di un piano e di un vettore appartenente alla
direzione di una retta non parallela al piano.
Dal 10 gennaio al
13 gennaio 2012:
Cambiamento
di basi di uno spazio vettoriale di dimensione finita. Matrice associata ad un
cambiamento di basi. Formule di trasformazione di coordinate di vettore. Basi equiverse di uno spazio vettoriale reale. Orientazioni di
uno spazio vettoriale reale di dimensione finita. Il caso degli spazi
vettoriali geometrici di una retta, di un piano e dello spazio affine
ordinario. Cambiamento di riferimenti affini di uno spazio affine. Formule di
trasformazione di coordinate affini di punto. Casi particolari di cambiamenti
di riferimenti affini.
Orientazioni
di uno spazio affine reale. Affinità di uno spazio affine di dimensione finita.
Esempi notevoli di affinità. Figure affinemente
equivalenti. Esempi di figure affinemente
equivalenti. Proprietà affini di una figura. Cenni sulle equazioni canoniche
affini delle coniche. Cenni sulla struttura di gruppo dell’insieme delle
affinità di uno spazio affine di dimensione finita. Cenni sulla geometria nel
senso di Klein. Applicazioni lineari tra spazi vettoriali. Caratterizzazione
delle applicazioni lineari. Proprietà delle applicazioni lineari. Applicazioni
lineari surgettive, applicazioni lineari iniettive,
isomorfismi tra spazi vettoriali. Esempi notevoli di applicazioni lineari.
Forme e funzionali lineari. Esempi notevoli di forme lineari e di funzionali
lineari. Applicazione d’inclusione. Endomorfismi o operatori lineari di uno
spazio vettoriale. Esempi notevoli di endomorfismi di uno spazio vettoriale.
Struttura di spazio vettoriale dell'insieme Hom(V,W)
delle applicazioni lineari di V in W.
Digressione
sul prodotto operatorio di applicazioni tra insiemi e proprietà relative.
Prodotto operatorio di applicazioni lineari. Struttura di algebra dell'insieme
End(V) degli endomorfismi di uno spazio vettoriale V. Isomorfismo inverso di un
isomorfismo assegnato. Automorfismi o trasformazioni
lineari di uno spazio vettoriale V. Gruppo lineare GL(V) degli automorfismi di uno spazio vettoriale V. Teorema
fondamentale sulle applicazioni lineari. Nucleo ed immagine di un'applicazione
lineare. Teorema sulle dimensioni del nucleo e dell'immagine di un'applicazione
lineare avente come dominio uno spazio vettoriale di dimensione finita
(dimostrazione facoltativa). Condizioni necessarie e sufficienti affinché
un'applicazione lineare tra spazi vettoriali aventi la stessa dimensione finita
sia un isomorfismo. Condizione necessaria e sufficiente affinché due spazi
vettoriali di dimensione finita siano isomorfi.
Matrice
associata ad un'applicazione lineare tra due spazi vettoriali V e W, di
dimensioni finite n ed m, rispetto a due basi assegnate. Equazione matriciale
di un'applicazione lineare. Equazioni cartesiane di un'applicazione lineare.
Uso della matrice associata ad un'applicazione lineare per lo studio della iniettività e della surgettività
dell'applicazione. Caratterizzazione di un isomorfismo tra spazi vettoriali in
termini della matrice associata. Cenni sull'isomorfismo tra lo spazio
vettoriale Hom(V,W) e lo spazio vettoriale delle
matrici ad elementi in K con m righe ed n colonne. Matrice associata al
prodotto operatorio di due applicazioni lineari. Matrice associata
all'isomorfismo inverso di un isomorfismo assegnato..
Dal 17 gennaio al
20 gennaio 2012:
Formula
di trasformazione della matrice associata ad un'applicazione lineare. Matrici
simili e loro rango. Invarianti di una matrice per coniugazione. Matrici
congruenti e loro rango. Matrice associata ad un endomorfismo di uno spazio
vettoriale rispetto ad una base assegnata. Formula di trasformazione della
matrice associata ad un endomorfismo di uno spazio vettoriale. Determinante di
un endomorfismo. Endomorfismi diagonalizzabili.
Matrici diagonalizzabili. Cenni sull'isomorfismo tra
l'algebra End(V) e l'algebra delle matrici quadrate d'ordine n ad elementi in
K. Autovettori ed autovalori
di un endomorfismo di uno spazio vettoriale. Autovettori
ed autovalori di una matrice quadrata. Diagonalizzabilità e basi di autovettori
di un endomorfismo e di una matrice quadrata. Spettro di un endomorfismo e di
una matrice quadrata. Autospazio associato ad un autovalore. Proprietà degli autovettori
e degli autovalori. Esempi notevoli di endomorfismi diagonalizzabili e di endomorfismi non diagonalizzabili.
Proprietà di autovettori associati ad autovalori distinti. Criterio di diagonalizzabilità
degli endomorfismi e delle matrici. Equazioni cartesiane di un autospazio.
Polinomio
caratteristico di una matrice quadrata. Invarianza per coniugazione del
polinomio caratteristico di una matrice quadrata e dei suoi coefficienti.
Polinomio caratteristico di un endomorfismo.
Equazione caratteristica. Calcolo degli autovalori
di uno spazio vettoriale di dimensione finita. Digressione sulla molteplicità
delle soluzioni di un’equazione algebrica e sul teorema fondamentale
dell’algebra; campi algebricamente chiusi. Molteplicità algebrica e geometrica
di un autovalore. Proprietà delle molteplicità
algebrica e geometrica degli autovalori. Condizione
necessaria e sufficiente affinché un endomorfismo o una matrice quadrata sia diagonalizzabile. Autovalori di
una matrice simmetrica reale. Forme bilineari. Cenni sulle forme multilineari.
Forme bilineari simmetriche. Esempi notevoli di forme bilineari simmetriche.
Forme
bilineari simmetriche non degeneri. Esempi notevoli di forme bilineari
simmetriche non degeneri e di forme bilineari simmetriche degeneri. Matrice
associata ad una forma bilineare rispetto ad una base; il caso delle forme
bilineari simmetriche. Formula di trasformazione della matrice associata ad una
forma bilineare. Rango di una forma bilineare di uno spazio vettoriale di
dimensione finita. Condizione necessaria e sufficiente affinché una forma
bilineare di uno spazio vettoriale di dimensione finita sia non degenere
(soltanto enunciato). Forma quadratica associata ad una forma bilineare.
Proprietà delle forme quadratiche. Matrice associata ad una forma quadratica.
Forma bilineare simmetrica polare di una forma quadratica. Identità di
polarizzazione. Vettori isotropi. Forme bilineari simmetriche reali definite
positive, semidefinite positive, definite
negative, semidefinite negative e non definite.
Criterio di positività di una forma bilineare simmetrica reale. Prodotti
scalari, Esempi notevoli di prodotti scalari. Pseudoprodotti
scalari. Esempi notevoli di pseudoprodotti scalari. Pseudoprodotto scalare di Minkowski:
vettori tipo spazio, vettori tipo luce e vettori tipo tempo. Spazi vettoriali
euclidei ovvero spazi vettoriali reali dotati di prodotto scalare. Esempi
notevoli di spazi vettoriali euclidei. Modulo di un vettore. Proprietà del
modulo di un vettore. Disuguagianza di Cauchy-Schwarz (dimostrazione facoltativa). Alcune
applicazioni della disuguaglianza di Cauchy-Schwarz
in Analisi Matematica. Disuguaglianza triangolare. Angolo convesso di due
vettori.
Dal 24 gennaio al
27 gennaio 2012:
Indipendenza lineare di vettori ortogonali. Procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt. Polinomi di Legendre. Vettori unitari. Basi ortonormali e loro uso. Significato delle coordinate di un vettore rispetto ad una base ortonormale. Significato dei coefficienti dell'equazione cartesiana di un iperpiano vettoriale rispetto ad una base ortonormale. Cambiamento di basi ortonormali e matrici ortogonali. Decomposizione di uno spazio vettoriale euclideo nella somma diretta di due sottospazi vettoriali ortogonali. Proiezione ortogonale di uno spazio vettoriale euclideo su un sottospazio vettoriale. Simmetria ortogonale di uno spazio vettoriale euclideo rispetto ad un sottospazio vettoriale; il caso particolare in cui il sottospazio vettoriale sia una retta o un iperpiano vettoriale. Prodotto vettoriale di due vettori di uno spazio vettoriale euclideo tridimensionale. Proprietà del prodotto vettoriale. Significato geometrico del modulo del prodotto vettoriale di due vettori linearmente indipendenti. Prodotto misto di tre vettori di uno spazio vettoriale euclideo tridimensionale. Proprietà del prodotto misto. Significato geometrico del segno del prodotto misto di tre vettori linearmente indipendenti. Significato geometrico del modulo del prodotto misto di tre vettori indipendenti.
Spazio euclideo associato ad uno spazio vettoriale euclideo. Esempi notevoli di spazi euclidei. Riferimenti cartesiani di uno spazio euclideo. Cambiamenti di riferimenti cartesiani e matrici ortogonali. Cenni sulle isometrie di uno spazio euclideo. Distanza di due punti di uno spazio euclideo. Proprietà della distanza. Digressione sugli spazi metrici. Uso delle coordinate cartesiane di punto per il calcolo della distanza di due punti. Sfere e dischi di uno spazio euclideo n-dimensionale. Versore di una retta orientata. Angolo convesso di due rette orientate. Condizione di perpendicolarità di due rette. Coseni direttori di una retta orientata. Vettori normali ad un iperpiano. Condizione di perpendicolarità tra retta e iperpiano.
Versori normali ad un iperpiano. Distanza di un
punto da un iperpiano. Distanza di un punto da una retta. Angoli tra iperpiani.
Condizione di perpendicolarità di due iperpiani. Angoli tra rette e iperpiani.
Geometria di un piano euclideo: distanze, angoli, perpendicolarità, area di
parallelogrammi e di triangoli.
Geometria di uno spazio euclideo tridimensionale: distanze, angoli, perpendicolarità,
retta incidente e perpendicolare a due rette sghembe. area di parallelogrammi e
di triangoli, volume di parallelepipedi e di tetraedri. Cenni sul volume di un
n-parallelepipedo in uno spazio euclideo di dimensione n.
Endomorfismi simmetrici o autoaggiunti
reali di uno spazio vettoriale euclideo. Esempi notevoli di endomorfismi
simmetrici. Proprietà degli autovalori e degli autovettori di un endomorfismo simmetrico. Sistema
ortogonale. Teorema spettrale per gli endomorfismi simmetrici. Forme bilineari
simmetriche reali ed endomorfismi simmetrici associati. Forma canonica metrica
di una forma bilineare simmetrica reale e della forma quadratica reale ad essa
associata. Criterio di positività di una forma bilineare simmetrica reale in
termini di autovalori. Cenni sulla forma canonica
affine di una forma bilineare simmetrica reale e della forma quadratica reale
ad essa associata. Cenni sugli endomorfismi ortogonali di uno spazio vettoriale
euclideo. Cenni sulle trasformazioni di Lorentz.