Programma del Corso di Geometria

A.A. 2000/2001

Prof. Paolo Papi



1. NOZIONI PRELIMINARI

Insiemi e sottoinsiemi. Prodotto cartesiano di insiemi. Applicazioni. Applicazioni iniettive, suriettive, biunivoche. Composizione di applicazioni.

2. GEOMETRIA DEGLI SPAZI AFFINI

Rette, piani, vettori. Proprieta' degli spazi affini. Vettori linearmente indipendenti. Spazio vettoriale dei vettori applicati in un punto. Sistemi di riferimento e coordinate. Equazioni vettoriali e cartesiane di rette e piani, vettori direttori. Studio della posizione di rette e piani in uno spazio affine tridimensionale.

3. GEOMETRIA DEGLI SPAZI EUCLIDEI

Proprieta' affini e proprieta' metriche degli oggetti geometrici. Ortogonalita'. Proiezioni ortogonali. Problemi metrici nello studio di rette e piani. Norma dei vettori. Prodotto scalare e sue proprieta'. Applicazioni: calcolo dei coefficienti di Fourier. Basi ortonormali ed espressione del prodotto scalare in coordinate ortonormali. Calcolo delle distanze ed equazioni normali di rette e piani.

4. SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI

Sistemi omogenei, non omogenei, consistenti e inconsistenti. Matrici. Operazioni con le matrici e loro struttura di spazio vettoriale. Soluzione dei sistemi mediante l'algoritmo di Gauss-Jordan. Struttura dell'insieme delle soluzioni di un sistema. Applicazione lineare indotta da una matrice e legame con i sistemi.

5. SPAZI VETTORIALI

Campi. Numeri complessi. Spazi e sottospazi vettoriali. Generatori, basi, dipendenza e indipendenza lineare di vettori. Esistenza di una base. Dimensione. Rango-righe e rango-colonne di una matrice. Teorema di Rouche'- Capelli. Somma e intersezione di sottospazi vettoriali. Formula di Grassmann. Somma diretta di sottospazi.

6. APPLICAZIONI LINEARI

Condizioni per l'esistenza e l'unicita' di un'applicazione lineare tra due spazi vettoriali. Spazio vettoriale delle applicazioni lineari. Nucleo e immagine; relazione fra le loro dimensioni. Uguaglianza di rango-righe e rango-colonne. Isomorfismi. Matrice associata a un'applicazione lineare e a una coppia di basi. Costruzione di applicazioni lineari con condizioni assegnate. Matrici nonsingolari e matrici di transizione. Inversa di una matrice nonsingolare. Algoritmo per il calcolo della matrice inversa. Matrici simili.

7. DETERMINANTI

Sviluppo di Laplace del determinante di una matrice. Proprieta' dei determinanti e loro calcolo mediante l'algoritmo di Gauss-Jordan. Legame con l'invertibilita' e il rango di una matrice. Calcolo della matrice inversa con i determinanti.

8 . AUTOVALORI E AUTOVETTORI

Operatori e matrici diagonalizzabili. Richiamo di alcuni risultati generali sui polinomi: molteplicita' algebrica di una radice, fattorizzazione di un polinomio su R e su C. Polinomio caratteristico e calcolo degli autovalori e degli autovettori. Esempi di operatori diagonalizzabili e non. Autospazi, molteplicita' algebrica e geometrica di un autovalore. Condizioni necessarie e sufficienti per la diagonabilizzabilita' di matrici e operatori.

9. SPAZI VETTORIALI EUCLIDEI

Prodotto scalare definito positivo in uno spazio vettoriale reale. Ortogonalita'. Insiemi ortogonali di vettori. Proiezione ortogonale su un sottospazio. Coefficiente di Fourier. Basi ortogonali e loro costruzione: procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt. Complementare ortogonale di un sottospazio. Basi ortonormali. Prodotti hermitiani. Matrici ortogonali.

10 FORME BILINEARI E FORME QUADRATICHE

Matrice associata a una forma bilineare e a una base. Matrici congruenti. Forme bilineari e simmetriche. Forme quadratiche. Forma polare di una forma quadratica e identita' di polarizzazione. Ortogonalita' rispetto a una forma. Basi ortogonali. Forme definite. Forme degeneri. Nucleo e nullita' di una forma. Vettori isotropi. Classi di congruenza di matrici simmetriche e loro classificazione. Teorema di Sylvester e indice di positivita'.

11. OPERATORI AUTOAGGIUNTI

Matrici autoaggiunte e operatori autoaggiunti in uno spazio euclideo reale o complesso. Proprieta' degli autovalori e degli autovettori degli operatori autoaggiunti. Diagonalizzazione delle matrici reali e simmetriche e delle matrici hermitiane. Teorema spettrale per operatori simmetrici. Applicazione al calcolo dell'indice di positivita' di una forma bilineare e simmetrica.



TESTI CONSIGLIATI


Saranno disponibili dispense relative a parti del programma non reperibili nei testi sopra citati.