programma del corso di Matematica discreta I

Programma del Corso di Matematica Discreta I: Algebra
A.A. 2000/2001
Canale A-H

1. Insiemi

Insiemi e operazioni tra insiemi: unione, intersezione, complementare. Prodotto Cartesiano di insiemi.
Funzioni. Funzioni iniettive, suriettive, biunivoche. Funzione composta e funzione inversa. Primi elementi di calcolo combinatorio.
Relazioni. Relazioni d'ordine parziali e totali; elementi massimi e massimali. Relazioni di equivalenza: definizione ed esempi (in particolare, la costruzione di Q come quoziente di Z X (Z \ {0}) , la congruenza modulo n). Connessioni tra relazioni di equivalenza su un insieme A e partizioni di A.

2. Aritmetica elementare

I numeri naturali e il principio di induzione; assiomi di Peano.
Divisione euclidea negli interi, massimo comun divisore, fattorizzazione unica, scrittura di un numero in base assegnata.

2. Elementi di algebra lineare

n-vettori, matrici, prodotto righe per colonne di matrici.
Sistemi lineari: definizione di sistema omogeneo, non omogeneo, compatibile, incompatibile. Matrici in forma a gradini e in forma a gradini ridotta. Operazioni elementari sulle righe; matrici elementari; invertibilità delle matrici elementari. Rango di una matrice. Eliminazione Gaussiana: risoluzione di sistemi lineari tramite l'eliminazione Gaussiana. Teorema di Rouché -Capelli.
Determinanti. Teorema di Binet. Criterio di invertibilità di una matrice tramite il determinante. Teorema di Cramer e applicazione alla risoluzione dei sistemi lineari. Formula esplicita per l'inversa di una matrice invertibile.
Cenni sui numeri complessi e sulla nozione di campo.
Definizione ed esempi di spazi vettoriali (esempi importanti: Kⁿ, M_m,n(K), K[t]). Sottospazi (in particolare: le soluzioni di un sistema lineare omogeneo, matrici simmetriche, antisimmetriche, a traccia nulla, polinomi di grado minore o uguale di n). Sottospazio somma e intersezione. Sottospazio generato da un insieme finito di vettori.
Dipendenza e indipendenza lineare. Basi e dimensione di uno spazio vettoriale: coordinate di un vettore rispetto a una base. Esistenza di una base in spazi vettoriali finitamente generati: teorema degli scarti successivi. Teorema di completamento a base.
Teorema di Grassmann (senza dimostrazione). Somme dirette.
Equazioni cartesiane di un sottospazio. Sottovarietà affini e sistemi lineari non omogenei.
Applicazioni lineari: definizioni ed esempi. Sottospazi individuati da un'applicazione lineare: nucleo e immagine. Principio di "estensione per linearità". Teorema "nullità più rango".
Applicazioni lineari e matrici: matrice di un'applicazione lineare. Matrice del cambiamento di base e formula del cambiamento di base.

4. Elementi di teoria dei gruppi

Definizioni ed esempi di gruppi: ( Z, +), (Q, +), (R, +), (C, +), (Z_n, +),(Q^*, ^.),..., ( Z^*_p, ^.). Gruppi di matrici: GL_n; SL_n,: O_n.

Il gruppo simmetrico: ogni permutazione è prodotto di cicli disgiunti; il gruppo simmetrico è generato dalle trasposizioni; segno di una permutazione.

Nozione di sottogruppo. Sottogruppo generato da un sottoinsieme. Ordine di un elemento.

Gruppi ciclici: ogni sottogruppo di un gruppo ciclico è ciclico.

Classi laterali e teorema di Lagrange; corollari del teorema di Lagrange.

Omomorfismi. Sottogruppi normali e gruppi quoziente.

Testi consigliati

[A] B. Scimemi. Algebretta ( Decibel-Zanichelli)
[AL] R Ciampi Procesi. Elementi di algebra lineare ( Decibel-Zanichelli)
[G] B. Scimemi. Elementi di teoria dei gruppi ( Decibel-Zanichelli)

Riferimenti ai testi consigliati
Indichiamo dove puo' a grandi linee reperirsi il programma nei testi consigliati.

1.1: [A, par. 1]
1.2: [A, par. 2-4]
1.3: [G, par. 1-3]
2.1: [A, par. 6]
2.2: [A, par. 7-10]
3.1: [AL, par. 7]
3.2: [AL, par. 7, 12]
3.3: [AL, par. 11]
3.4: [A, par. 14]
3.5: [AL, par. 2, 5]
3.6: [AL, par. 3-4]
3.7: [AL, par. 5]
3.9: [AL, par. 6]
3.10: [AL, par. 7]
4.1: [G, par. 4]
4.2: [A, par. 5]
4.3: [G, par. 5]
4.4: [G, par. 9]
4.5: [G, par. 7-8]
4.6: [G, par. 10-11].