Sapienza Università di Roma
Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali

Corso di Laurea Triennale in Matematica

Algebra II

Prof. Paolo Papi

Anno accademico 2018-2019

Docente: prof. Paolo Papi

Numero di crediti formativi: 6 CFU, 48 ore

Orario delle lezioni: martedì ore 11-13, aula Picone; giovedì 9-11 aula C.

Orario di ricevimento: Giovedì ore 14, stanza 12


Programma, testi consigliati, prerequisiti, modalità di svolgimento, modalità di valutazione

Programma definitivo

Prima parte: teoria dei gruppi (20 ore)

Richiami su prodotti diretti e semidiretti; il programma di Holder
Richiami sulle azioni di gruppi
Teoremi di Sylow
Formula di Burnside e caratteri di permutazione
Semplicità di alcuni gruppi
Serie centrali
Gruppi nilpotenti e risolubili

Seconda  parte: teoria di Galois (28 ore)

Richiami sulle estensioni di campi; campi finiti.
Estensioni normali, separabili, di Galois
Teorema fondamentale
Applicazioni (risolubilità di equazioni algebriche)
Il teorema della base normale
Estensioni ciclotomiche e  abeliane


Primo foglio di esercizi

Secondo foglio di esercizi

Terzo foglio di esercizi

Esercitazione

Prima Prova in itinere: testo e soluzioni
Prima Prova in itinere: RISULTATI

Quarto foglio di esercizi

Quinto foglio di esercizi

Esecizi di Natale

Seconda prova in itinere: testo e soluzioni

RISULTATI FINALI DELLE PROVE IN ITINERE

AVVISI

LA PROVA SCRITTA DEL 21 GIUGNO AVRA' LUOGO IN AULA C ALLE ORE 14. LE PROVE ORALI AVRANNO LUOGO NELLA SETTIMANA PRIMA SETTIMANA DI LUGLIO. GLI STUDENTI CHE HANNO BISOGNO DI SVOLGERE SUBITO
LA PROVA ORALE SONO PREGATI DI AVVERTIRMI.

DIARIO DELLE LEZIONI

26/9: Il programma di Holder, serie di composizione [1]
28/9: Prodotti Diretti e semidiretti [1]
2/10: Semplicità di A_n [1]
4/10: Generalità sulle azioni di gruppi su insiemi, enunciati dei teoremi di Sylow [1]
9/10: esercizi, dimostrazione dei teoremi di Sylow [1]
16/10: esercizi,
18/10: esercizi, gruppi risolubili [2]
23/10: gruppi nilpotenti e abeliani [2]
25/10: esercizi, gruppi liberi e presentazioni [2]
30/10: richiami di teoria dei campi [3]
6/11: esonero
8//11: richiami di teoria dei campi 1 [3]
13//11: richiami di teoria dei campi 2; estensioni normali e separabili, enunciato del teorema fondamentale [3]
15/11: caratterizzazione delle estensioni finite di Galois; esempi [3]
20/11: dimostrazione del teorema fondamentale [3]
27/11: conclusione della dimostrazione del teorema fondamentale [3]
29/11: corollari al teorema fondamentale, esercizi [3]
4/12: estensioni separabili e campi perfetti [3]
6/12: estensioni disgiunte, elementi primitivi, basi normali [3]
11/12: discriminanti [3]
13/12: equazioni di quarto grado [5]
18/12: esercizi, estensioni cicliche [3]
20/12: chiusura algebrica, criterio di risolubilità per radicali [4]

Bibliografia

[1] Antonio Machì, Gruppi, Springer
[2] Note di teoria di gruppi di J. Milne (reperibili presso la pagina web dell'autore).
[3] Steven Weintraub, Galois Theory, Springer
[4] Bhattacharya, Nagpaul, Basic abstract algebra
[5] Note di Keith  Conrad (reperibili presso la pagina web dell'autore: expository papers).


ESAMI

Prova del 29-1: testo e soluzioni
Prova del 13-2: testo e soluzioni
Prova del 21-6: testo e soluzioni