Argomenti delle lezioni - Probabilità 1- a.a. 2010-11 canale H-Z, docente Giovanna Nappo

mercoledì  9 marzo ore 11-13 
    Introduzione al concetto di Probabilità, con brevi cenni storici, probabilità classica (o uniforme), impostazione frequentista. Esperimento del Problema del compleanno

giovedì  10 marzo  ore 9-11    
    Equivalenza tra operazioni logiche e operazioni insiemistiche, esempi

venerdì  11 marzo   ore 11-13   
    Assiomi della probabilità in uno spazio finito e costruzione degli spazi di probabilità


martedì  15 marzo  ore 9-11   
    Assiomi della probabilità in uno spazio finito e prime conseguenze.

mercoledì  16 marzo ore 11-13 
    Definizione di Disposizioni con e senza ripetizione. Definizione di Combinazioni (solo senza ripetizione). Esempi: problema del compleanno risolto analiticamente.

giovedì  17 marzo  ore 9-11 (festa dell'Unità d'Italia)

venerdì  18 marzo   ore 11-13  
    Calcolo combinatorio, prime proprietà.     

venerdì  19 marzo   ore 14-16 (tutoraggio E. De Santis)


martedì  22 marzo  ore 9-11 
      Calcolo combinatorio, ulteriori proprietà (modelli di estrazione in blocco). Applicazioni al lotto e al lancio di una moneta.

mercoledì  23 marzo ore 11-13
       Probabilità condizionate, formula delle probabilità composte e delle probabilità totali e applicazioni.

giovedì  24 marzo  ore 9-11 (tutoraggio E. De Santis)

venerdì  25 marzo   ore 11-13
        Formula di Bayes, esempi di applicazioni, formula delle probabilità totali come fattore di normalizzazione


martedì  29 marzo  ore 9-11
        Formula di Bayes: esempio di applicazione medica. La probabilità condizionata ad un evento fissato è una probabilità

mercoledì  30 marzo ore 11-13
        La probabilità condizionata a un evento B  usando la probabilità condizionata a un evento A coincide con la probabilità condizionata ad A intersezione B.
        Indipendenza di due eventi, eventi correlati positivamente e negativamente. 

giovedì  31 marzo  ore 9-11 (tutoraggio E. De Santis)

venerdì  1 aprile   ore 11-13
           Indipendenza globale (o completa) di tre eventi: due definizioni equivalenti.
           Coefficienti multinomiali: numero delle partizioni di un insieme di n elementi in r sottoinsiemi di cardinalità PREFISSATE k_1, ... ,k_r; formula del multinomio.
           Estrazioni in blocco di più tipi.     

martedì  5 aprile  ore 9-11
            n eventi globalmente (o completamente) indipendenti: due definizioni equivalenti. 
            Due partizioni indipendenti: definizione e alcune proprietà.
            Generalizzazione al caso di tre (o più) partizioni indipendenti. 
            Schema di Bernoulli o delle prove ripetute (ossia n eventi indipendenti ed equiprobabili). Il numero di successi in uno schema di Bernoulli.
 
mercoledì  6 aprile ore 11-13
           Ancora su indipendenza. Schema di Bernouilli e probabilità binomiali di  parametri n e p,
           ed  estrazioni con reinserimento di palline di tipo A da un'urna di composizione nota (m_1 palline di tipo A ed m_2 di tipo B).   
           Estrazioni senza reinserimento da un'urna di composizione nota (m_1 palline di tipo A ed m_2 di tipo B) e probabilità ipergeometriche. 
           Le probabilità binomiali di  parametri n e p si possono ottenere come limite di n estrazioni senza ripetizione da un'urna di composizione nota (m_1 palline di tipo A ed m_2 di tipo B)
           quando il numero di palline M=m_1 +m_2 tende all'infinito in modo che la proporzione delle palline di tipo A, ossia  quando m_1/M=m_1/(m_1+m_2)  tende a p.
           Caccia all'errore (si veda sulla pagina web del corso di Probabilità 1 a.a. 2009-10 http://www.mat.uniroma1.it/people/nappo/attivita-didattica.html#CP1-2009-10 )

giovedì  7  aprile  ore 9-11 (tutoraggio E. De Santis)

venerdì  8 aprile   ore 11-13
           Formula di inclusione ed esclusione per n eventi. Esempio del problema del matching nel caso delle lettere e delle buste (o equivalentemente dei cappelli nel guardaroba)
           Combinazioni con ripetizione di n elementi di classe r e numero dei modi di suddividere un insieme di n elementi in r classi (di cardinalità k_1, ... , k_r, NON fissati)
           ossia numero delle soluzioni intere (k_1,...,k_r) dell'equazione k_1+k_2+...+k_r=n, con k_i>=0, per i=1,..,r.           
           Problema di Monty Hall  (si veda sulla pagina web del corso di Probabilità 1 a.a. 2009-10 http://www.mat.uniroma1.it/people/nappo/attivita-didattica.html#CP1-2009-10 
           o sul sito http://it.wikipedia.org/wiki/Problema_di_Monty_Hall ).

martedì  12 aprile  ore 9-11
            Algebre di eventi, algebre generate da una partizione. L'indipendenza di due partizioni implica l'indipendenza degli eventi delle algebre generate dalle partizioni.
            Indipendenza di n eventi condizionatamente ad una partizione. Esempi di estrazioni con reinserimento da urne di composizione non nota. Un esempio con le carte.

mercoledì  13 aprile ore 11-13
            Esempi e applicazioni---
mercoledì 13 aprile ore 14-16 RICEVIMENTO COLLETTIVO IN AULA E

giovedì  14  aprile  (pausa prove in itinere)

venerdì   15 aprile  (pausa prove in itinere)


martedì  19 aprile   (pausa prove in itinere)

mercoledì  20 aprile ore  9-12    I PROVA IN ITINERE

giovedì  21  aprile   (vacanza di Pasqua)

venerdì  22 aprile   (vacanze di Pasqua)


martedì  26 aprile  (vacanze di Pasqua)


mercoledì  27 aprile ore 11-13 
Variabili aleatorie in uno spazio di probabilità finito, densità discreta, esempi.

giovedì  28  aprile  ore 9-11 (tutoraggio E. De Santis)

venerdì  29  aprile   ore 11-13
Valore atteso di una di una variabile aleatoria: proprietà di monotonia, linearità, etc., esempi.


martedì  3 maggio  ore 9-11 
Densità discreta di una funzione di una variabile aleatoria. Valore atteso di una funzione di una variabile aleatoria: diversi modi di calcolarlo.
Variabili aleatorie discrete uniformi in {1,2,..n}. Variabili aleatorie binomiali. Paradosso del Cavaliere de Mere

mercoledì  4 maggio ore 11-13 
Varianza di una variabile aleatoria e disuguaglianza di Chebyshev: due dimostrazioni  (di cui una usa solo la proprietà di linearità e di monotonia del valore atteso, insieme al fatto che il valore atteso della indicatrice di un evento coincide con la probabilità dell'evento)


giovedì  5 maggio  ore 9-11 (tutoraggio E. De Santis)

venerdì  6 maggio  ore 11-13
Varianza della somma di variabili aleatorie. Covarianza di due variabili aleatorie. Indipendenza di due variabili aleatorie X e Y e non correlazione: X e Y indipendenti implica Xe Y non correlate, mentre X e Y non correlate NON implica X e Y indipendenti (con un controesempio).

martedì  10 maggio  ore 9-11
Calcolo della varianza per una variabile aleatoria Binomiale (n,p) .
Verso la Legge dei Grandi Numeri: utilizzando la disuguaglianza di Chebyshev  in uno schema di Bernoulli (n prove ripetute di probabilità p) calcolo del numero di prove n da effettuare affinché la probabilità che la media aritmentica del numero dei successi disti dalla probabilità p meno di una quantità prefissata (epsilon >0) sia vicina ad 1  [precisamente sia maggiore o uguale a delta, con delta> 0 (e "piccolo")]



mercoledì  11 maggio ore 11-13
Approssimazione di Poisson: Se X(n) è una Binomiale(n,p(n)), con p(n)=lambda/n allora P(X(n)=k) si può approssimare con (lambda)^k/k! exp{-lambda}, per k=0,1,2, . . .
Calcolo della varianza di una Variabile aleatoria Ipergeometrica.


giovedì  12 maggio  ore 9-11 (tutoraggio E. De Santis)

venerdì  13 maggio  ore 11-13
Variabili aleatorie densità discreta congiunta di due variabili aleatorie X e Y, densità discreta di X condizionata a Y=y(h), (e similmente densità discreta di Y condizionata ad X=x(k)) . Valore atteso condizionato di X dato un evento A, denotato da E[X|A] . Valore atteso condizionato di X dato l'evento {Y=y(h)}, cioè E[X|Y=y(h)]. La variabile aleatoria E[X|Y].  Dimostrazione della formula E[X]= E[E[X|Y]].


martedì  17 maggio  ore 9-11
Spazi di probabilità generali: sigma-algebre e assioma della sigma additività. Definizione di variabile aleatoria in spazi di probabilità generali. Osservazione che le proprietà della probabilità si dimostrano in maniera del tutto simile al caso degli spazi di proabbilità finiti, UNICA accortezza: gli insiemi devono essere eventi, cioè appartenere alla sigma-algebra. Distribuzione della somma di due variabili aleatorie X e Y (in particolare nel caso in cui sono indipendenti) Esempi.


mercoledì  18 maggio ore 11-13 (tutoraggio E. De Santis)

giovedì  19 maggio  ore 9-11

Funzione di distribuzione di una variabile aleatoria:definizione. Teorema di continuità della probabilità.
Proprietà della funzione di distribuzione (dimostrazione con il teroema di continuità). Significato dei punti di salto



venerdì  20 maggio  ore 11-13
Dimostrazione del teorema di continuità. Esempi di funzioni di distribuzione: il caso di variabili aleatorie discrete.
La funzione di distribuzione uniforme in (0,1) come limite delle funzionei di distribuizone di variabili aleatorie discrete a valori in {1/n, 2/n,...,(n-1)/n, n/n}



martedì  24 maggio  ore 9-11
Esempi di Variabili aleatorie con densità. Esempio delle variabili aleatorie di tipo esponenziale: (i) dalla funzione di distribuzione F(x) alla densità di probabilità f(x); (ii) dalla densità f(x) alla funzione di distribuzione F(x). L'esponenziale di parametro lambda come limite delle variabili aleatorie geometriche T(n) di parametro p(n)=lambda/n: come ottenere la funzione di distribuzione (o di sopravvivenza= 1-F(x)).


mercoledì  25 maggio ore 11-13
Distribuzione binomiale negativa (ovvero tempi di r-simo successo).
Valore atteso di variabili aleatorie generali: caso discreto (infinito) e se con densità f(x). Calcolo di alcuni valori attesi e di varianze: Geometrica e esponenziale.

giovedì  26 maggio  ore 9-11 (tutoraggio E. De Santis)

venerdì  27 maggio  ore 11-13
Ancora sulle variabili aleatorie con densità. Varibili aleatorie standard.

martedì  31 maggio  ore 9-11
Il limite di P(T(n)/n=xn(k))/lambda exp(-\lambda xn(k)), con xn(k)=k/n. Proprietà di mancanza di memoria della geometrica e della esponenziale.


mercoledì  1 giugno ore 11-13
Richiamo dell'approssimazione di Poisson: per quali valori si può usare? e quando l'approssimazione di Poisson non è abbastanza buona?
Teorema locale di De Moivre-Laplace Teorema integrale di De Moivre- Laplace: enunciati e applicazioni.  Distribuzione Gaussiana Standard: uso delle tavole.

giovedì  2 giugno  (Anniversario della Repubblica)

venerdì  3 giugno  ore 11-13 (tutoraggio E. De Santis)

martedì  7 giugno ore 9-11
Variabili aleatorie gobalmente indipendenti: esempio degli intertempi tra un successo e l'altro in uno schema di Bernoulli infinito.
Teorema centrale del limite per successioni di variabili aleatorie globalmente indipendenti. Relazione con la legge dei grandi numeri.
Esempi di applicazioni: approssimazione normale.

mercoledì  8 giugno ore 12-13,15
Esempi e applicazioni


giovedì  9 giugno  (inizio periodo seconda prova in itinere ed esami)

venerdì  10 giugno  ore 9-12 (DATA DELLA SECONDA PROVA IN ITINERE)


ESAMI

martedì  21 giugno  ore 9-12 (esame scritto)

venerdì  8 luglio  ore 9-12 (esame scritto)

venerdì  9 settembre  ore 9-12 (esame scritto)

mercoledì 21 settembre ore 9.30-12.30 (esame scritto)

E' inoltre prevista una prova scritta (presumibilmente nel mese di gennaio)
(la data sara' comunicata successivamente)