Topologia algebrica
Anno accademico 2018/2019

Diario delle lezioni

2	Settimana 1	Lunedì Aula C, ore 16-18	24/9/2018	Introduzione Complessi simpliciali, esempi (parti finite di un insieme, sottocomplesso \bar{s} e \dot{s}, nerbo K(W) di una collezione W={Wi} di sottoinsiemi di X, join K*K’ di due complessi simpliciali K e K’), mappe simpliciali Complessi simpliciali finiti, dimensione di un simplesso, dimensione di un complesso simpliciale Sottocomplessi simpliciali, q-scheletro K^q di un complesso simpliciale K Realizzazione |K| di un complesso simpliciale K, distanza d su |K| e topologia metrica |K|d, topologia coerente su |K|, applicazioni continue |K|®X, continuità di |K|®|K|d e proprietà di Hausdorff Esempio: complesso K con K0={{x}}È{{n}: n>1} e K1={{x,n}:n>1} per cui |K|®|K|d non è un omeomorfismo
4		Giovedì Aula Picone, ore 14-16	27/9/2018	Partizione di |K| tramite simplessi aperti <s>, sottocomplessi pieni di K |K| è compatto se e solo se K è finito Triangolazioni di uno spazio topologico Stella st(v) di un vertice di K, ricoprimento aperto U={st(v): v vertice di K} canonico di |K|, isomorfismo simpliciale K®K(U) Orientazione sul simplesso standard, q-simplessi simpliciali orientati di K Gruppo delle q-catene simpliciali di K, operatore ∂q di bordo simpliciale, relazione ∂q-1∂q=0 Gruppo Bq(K) dei q-bordi simpliciali e gruppo Zq(K) dei q-cicli simpliciali, q-esimo gruppo Hq(K) di omologia simpliciale Esempi: triangolazione di S^q tramite ∂D^q+1 e del toro bidimensionale, calcolo di omologia di ∂D^2
	Settimana 2	Lunedì - CANCELLATA Aula C, ore 16-18	1/10/2018
6		Giovedì Aula B, ore 14-16	4/10/2018	Mappe simpliciali e omomorfismo indotto sulle catene, realizzazione di una applicazione simpliciale Categoria dei gruppi abeliani N-graduati, categoria dei complessi N-graduati di gruppi abeliani, funtore omologia Categoria dei complessi simpliciali, functore delle catene simpliciali Ogni varietà differenziabile è triangolabile (Morse); ogni varietà analitica anche singolare è triangolabile (Whitney) – solo enunciati Problema: data una applicazione continua f:|K|®|L|, trovare una φ:K®L simpliciale tale che |φ|:|K|®|L| sia omotopa a f (in generale impossibile, controesempio) Suddivisione baricentrica sd(K) di un complesso simpliciale K, omeomorfismo Φ:|sd(K)|®|K| che manda un vertice δs di nel baricentro di |s| per ogni s in K
		Venerdì - CANCELLATA Aula 2, ore 16-18	5/10/2018
8	Settimana 3	Lunedì Aula G, ore 14-16	8/10/2018	Sottocomplesso ^cL complementare del sottocomplesso L in K, l’intorno aperto |K|\|^cL| si retrae per deformazione forte su |L| Metriche lineari su realizzazioni di complessi simpliciali finiti, mesh di un complesso simpliciale Se K è finito di dimensione m, allora mesh(sd(K))≤[m/(m+1)]mesh(K) Dato un ricoprimento aperto U di |K| con K finito, esiste N>0 tale che il ricoprimento delle stelle di |sd^n(K)| è più fine di U per ogni n>N Approssimazione simpliciale φ:K®K’ di una f:|K|®|K’| continua, proprietà base di una approssimazione simpliciale Sia φ:K0®K’0 una mappa di vertici. Allora φ induce una mappa simpliciale φ:K®K’ e questa approssima f:|K|®|K’| se e solo se f(st(v))Íst(φ(v)) per ogni vertice v di K Approssimazioni simpliciali di mappe tra coppie (|K|,|L|), composizione di approssimazioni simpliciali è una approssimazione della composizione f:|K|®|K’| ammette una approssimazione simpliciale se e solo se K è più fine del ricoprimento aperto U={f^-1(st(v)) : v’ vertice di K}
10		Giovedì Aula Picone, ore 14-16	11/10/2018	Esercizi dal foglio 1
12	Settimana 4	Lunedì Aula G, ore 14-16	15/10/2018	Esistenza dell’approssimazione simpliciale di f:(|K|,|L|)®(|K’|,|L’|) con K finito (dopo opportune suddivisioni baricentriche di K) Approssimazione simpliciale dell’identità id:(|sd(K)|,|sd(L)|)®(|K|,|L|) Mappe |K|®S^n con K finito e dim(K)<n sono omotope a costanti Problema: se K e K’ triangolano X, come confrontare le omologie simpliciali di K e di K’? Simplessi singolari in X, catene singolari in X a coefficienti in un gruppo abeliano G, k-catene singolari Ck(X,A;G) per la coppia (X,A) Operatore di bordo, cicli singolari e bordi singolari, k-esima omologia singolare Hk(X,A;G) Funtore “catene singolari a coefficienti in G” da (Coppie di spazi topologici) a (complessi graduati) Catene ordinate C^ord(K) di un complesso simpliciale, idea di C(K)¬C^ord(K)®C(|K|) che induce isomorfismi Hk(K)¬Hk^ord(K)®Hk(|K|) Calcolo di H0(X,A;G) Proprietà dell’omologia singolare (a coefficienti in G) di una coppia (assiomi di Eilenberg-Steenrod): omotopia, escissione, dimensione, additività, esattezza (o coppia) Equivalenza omotopica tra spazi X e Y e isomorfismo indotto tra H(X) e H(Y), spazi omotopicamente equivalenti al punto Omologia di S^n per induzione su n, conseguenze: S^n e S^m sono omotopicamente equivalenti se e solo se n=m; R^n e R^m sono omeomorfi se e solo se n=m
14		Giovedì Aula Picone, ore 14-16	18/10/2018	Proprietà dell’omologia singolare Assioma di dimensione (dimostrato), assioma di additività (dimostrato) Successione esatta lunga in omologia da successione esatta corta di complessi (definite le mappe, verifiche per esercizio) Assioma di esattezza (dimostrato) Limiti diretti, proprietà universale, esistenza per gruppi abeliani e per spazi topologici Omologia commuta con limiti diretti Omotopia algebrica di morfismi di complessi, complessi contraibili Augmentazione, omologia ridotta Se X è un sottoinsieme stellato dello spazio euclideo, il suo complesso delle catene ridotte di X è contraibile Assioma di omotopia (con dimostrazione) Operatore di suddivisione baricentrica (senza dimostrazione, per ora) e assioma di escissione
16	Settimana 5	Lunedì Aula G, ore 14-16	22/10/2018	Esercizi foglio 2
18		Giovedì Aula Picone, ore 14-16	25/10/2018	Operatore S di suddivisione baricentrica sulle catene simpliciali e singolari e omotopia tra S e l’identità Successione di Mayer-Vietoris simpliciale e singolare Omologia (singolare e simpliciale) del simplesso e del bordo del simplesso, omologia simpliciale di un cono su un complesso simpliciale Isomorfismo canonico tra omologia simpliciale di K, omologia simpliciale ordinata di K e omologia singolare di |K| Numero di Lefschetz di un endomorfismo di un complesso di spazi vettoriali di dimensione finita, il numero di Lefschetz sulle catene coincide con il numero di Lefschetz in omologia Numero di Lefschetz di una mappa continua di un poliedro compatto in sé Caratteristica di Eulero di un complesso di spazi vettoriali di dimensione finita, caratteristica di Eulero di uno spazio topologico con omologia razionale di dimensione finita Teorema di punto fisso di Lefschetz (formulazione debole) Applicazioni: punto fisso di Brouwer, diffeomorfismi isotopi all’identità di una varietà differenziabile compatta, zeri di campi vettoriali su una varietà compatta
	Settimana 6	Lunedì Aula G, ore 14-16	29/10/2018	LEZIONE CANCELLATA PER ORDINANZA DEL SINDACO
		Martedì Aula 3, ore 13:30-16	6/11/2018	Prova in itinere
		Mercoledì Aula F, ore 16:30-18:00	7/11/2018	Discussione problemi della prova in itinere
20	Settimana 7	Lunedì Aula G, ore 14-16	12/11/2018	Esercizi 2 e 4 del foglio 3
22		Giovedì Aula Picone, ore 14-16	15/11/2018	Teoria dei rivestimenti p:(X’,x’)®(X,x): sollevamento delle omotopie, inclusione di H=p*π1(X’,x’) in G=π1(X,x), azione di G sulla fibra F=p^-1(x), identificazione di F con G/H come G-moduli, problema del sollevamento di f:(Y,y)®(X,x) a f’:(Y,y)®(X’,x’), azione di G sul rivestimento universale di X
24	Settimana 8	Lunedì Aula G, ore 14-16	19/11/2018	L’azione di G sul rivestimento universale è libera e propriamente discontinua, quozienti per azioni libere e propriamente discontinue di gruppi discreti sono rivestimenti, corrispondenza fra rivestimenti connessi di (X,x) e sottogruppi di H, morfismi tra rivestimenti, automorfismi di rivestimento, rivestimenti normali, azione di N(H) su (X’,x’), identificazione tra Aut(p) e N(H)/H
26		Giovedì Aula Picone, ore 14-16	22/11/2018	Prodotto fibrato di spazi topologici, proprietà universale, diagrammi cartesiani Cambio di base per rivestimenti Costruzione di rivestimenti di (X,x) con fibra F usando φ: π1(X,x) ®S(F), esempio Fibrati localmente banali con fibra F (dove F è uno spazio topologico), proprietà di sollevamento delle omotopie, successione esatta dei gruppi fondamentali per un fibrato (con spazio totale connesso) solo enunciata Esempi di fibrati localmente banali (prodotti, fibrati vettoriali, proiezioni C^n+1\{0} su CP^n, R^n+1\{0} su RP^n)
28	Settimana 9	Lunedì Aula Picone, ore 16-18	26/11/2018	Attaccamenti di celle, complessi di celle, coppie cellulari, esempi Operazioni sui complessi cellulari: prodotti, quozienti, bouquet, sospensione, join, cono, quoziente X^(n)/X^(n-1) Proprietà di estensione dell’omotopia HEP e sua caratterizzazione tramite retrazioni, le coppie cellulari hanno la proprietà di estensione dell’omotopia Equivalenza omotopica di X con X/A se (X,A) ha HEP e A è contraibile Equivalenza omotopica rel Y dell’attaccamento di Y con X tramite mappe A®Y omotope, dove (X,A) è una coppia cellulare Equivalenza omotopica tra X e Y può essere realizzata rel A, se (X,A) e (Y,A) hanno HEP (solo enunciato) Una inclusione di A in X che sia anche una equivalenza omotopica è un retratto di deformazione forte, se (X,A) ha HEP Grado di una mappa da S^n in sé, proprietà base del grado (composizione, applicazioni lineari, mappe non suriettive, omeomorfismi, mappe senza punti fissi)
30		Giovedì Aula Picone, ore 14-16	29/11/2018	Grado locale di una mappa da S^n in sé, richiamo sul lemma di Sard, grado locale in un punto regolare, esempi Omologia di (X^(n),X^(n-1)) e relazione tra omologia di X^(n) e omologia di X (e tra gruppo fondamentale di X^(n) e gruppo fondamentale di X; presentazione del gruppo fondamentale di un complesso di celle con X^(0)={x}) Mappe cellulari, teorema di approssimazione cellulare (solo enunciato) Definizione di catene cellulari, bordo cellulare e omologia cellulare; isomorfismo dell’omologia cellulare con l’omologia singolare
32	Settimana 10	Lunedì Aula G, ore 14-16	3/12/2018	Bordo in omologia cellulare Omologia e coomologia (singolare, simpliciale, cellulare) a coefficienti in un gruppo abeliano R Esempi: CP^n, RP^n, bottiglia di Klein con coefficienti in Z e in Z/2 Esercizi 3, 4 e 2(a-b) del foglio del 21/11/2018
34		Giovedì Aula Picone, ore 14-16	6/12/2018	Richiami sul Tor Teorema dei coefficienti universali in omologia Esempio di RP^2e RP^3 Struttura cellulare sul prodotto X´Y di due complessi cellulari, isomorfismo tra catene cellulari C(X´Y) e C(X)ÄC(Y), bordo di C(X´Y) Teorema di Künneth in omologia (a coefficienti in R dominio a ideali principali) Esempio: RP^2´RP^3 Esempio: fibrato SU(n)®S^2n-1 con fibra SU(n-1); banalizzazione esplicita sopra S^2n-1\{p}; struttura cellulare di SU(n); omologia di SU(n)
36	Settimana 11	Lunedì Aula G, ore 14-16	10/12/2018	Funtorialità (controvariante) e assiomi di Eilenberg-Steenrod (ES) per la coomologia singolare, conseguenza: Mayer-Vietoris Le proprietà ES determinano la coomologia per i complessi di celle Teorie coomologiche, trasformazioni naturali tra due teorie coomologiche Teorema dei coefficienti universali in coomologia, proprietà base di Ext^1 La coomologia a coefficienti un campo K è il duale dell’omologia a coefficienti in K in modo naturale Prodotto di Pontrjagin in H*(X;R) con X gruppo topologico e R anello: solo breve menzione Prodotto cup in coomologia singolare: comportamento rispetto a d, proprietà base sulle cocatene, funtorialità sulle cocatene, proprietà di annullamento (in coomologia relativa) Commutatività (graduata) del cup product in coomologia singolare Esempi (solo menzionati): anello di coomologia H*(CP^n;Z), H*(RP^n;Z/2), H*(S^2ÚS^4;Z)
38		Giovedì Aula H, ore 14-16	13/12/2018	Struttura di R-algebra sul prodotto tensore di due R-algebre Z-graduate Prodotto cross H*(X,A;R)ÄH*(Y,B;R)®H*(XxY,(AxY)È(XxB);R) e sua naturalità Il prodotto cross è un isomorfismo (formula di Künneth) quando H^k(Y,B;R) è libero e finitamente generato per ogni k Esempio di prodotto cross che non dà un isomorfismo con X=Y=N Calcolo delle R-algebre di coomologia H*(CP^n;R), H*(RP^n;R), H*(CP^¥;R), H*(RP^¥;R), con R=Z,Z/2 Esempi di classi di omotopia di spazi distinti dalla loro algebra di coomologia Calcolo della R-algebra di coomologia di un bouquet di due spazi
40	Settimana 12	Lunedì Aula G, ore 14-16	17/12/2018	Esercizi dai fogli 4-5 Limiti inversi di sistemi di R-moduli, lim e lim^1 Limiti inversi in coomologia per spazi X invasi da sottoinsiemi Xi con R=Q,Z/p e quando H^n(X+1;R)®H^n(Xi;R) è definitvamente suriettiva
42		Martedì Aula G, ore 16-18	18/12/2018	Orientazione locale su una varietà topologica, orientazione locale standard su R^n Rivestimento di R-orientazione di una varietà topologica R-orientazione su una varietà topologica, classe fondamentale a coefficienti in R Corrispondenza tra Z-orientazioni e orientazioni, ogni varietà è Z/2-orientabile Esistenza di una classe fondamentale (a coefficienti in R) su una varietà compatta, connessa, R-orientata
		Giovedì Aula Picone, ore 14-16	20/12/2018	LEZIONE CANCELLATA
Interruzione natalizia
44	Settimana 13	Lunedì Aula G, ore 14-16	7/1/2019	Classe fondamentale per varietà compatte R-orientate triangolate (o con struttura cellulare) Annullamento dell’Hk per varietà connesse non compatte di dimensione n per n≤k Idea dell’omologia di Borel-Moore e classe fondamentale di varietà R-orientate triangolate Coomologia a supporto compatto, funtorialità per applicazioni proprie, coomologia a supporto compatto di R^n Prodotto cap e varianti, formula di push-pull Dualità di Poincaré per varietà R-orientate (compatte e non compatte): enunciato e idee base della dimostrazione Forma bilineare indotta sulla coomologia di una varietà R-orientata (a coefficienti in un campo oppure in Z) Esempio: dualità di Poincaré nello spazio proiettivo complesso
46		Giovedì Aula Picone, ore 14-16	10/1/2019	Dualità di Lefschetz Orientabilità di sottovarietà chiuse di codimensione 1 di R^n, esempio di Poincaré di una 3-varietà con l’omologia della sfera ma non semplicemente connessa Esempio: categoria di Lusternik-Schnirelmann e cup product, esempio della sospensione Teorema dell’intorno tubolare Trasversalità, teorema di trasversalità parametrica (cenni sulla dimostrazione) Una sottovarietà può essere perturbata in modo tale da essere resa trasversa ad un’altra sottovarietà data (dimostrazione nello spazio euclideo, cenni in generale)
48	Settimana 14	Lunedì Aula G, ore 14-16	14/1/2019	Fibrato normale di una sottovarietà, orientazione del fibrato normale di una sottovarietà X orientata di una varietà M orientata Intersezione di due sottovarietà X,Y trasverse in M, orientazione dell’intersezione (se X,Y,M sono orientate) Casi particolari: varietà complesse, intersezione di dimensione 0 Classe di Thom associata ad un fibrato in dischi e isomorfismo di Thom La classe di Thom di una sottovarietà X orientata (dentro M orientata) è duale della classe fondamentale di X Restrizione del fibrato normale di X ad Y (nel caso X,Y trasverse), restrizione della classe di Thom di X/Y a Y dà la classe di Thom di XÇY/X Proposizione: per X,Y sottovarietà orientate trasverse in M orientata, tX/MÈtX/M =tXÇY/M
50		Martedì Aula G, ore 16-18	15/1/2019	Duale di Poincaré di una ipersuperficie di grado d in CP^n Le ipersuperfici lisce di grado d in CP^n sono tutte diffeomorfe Le varietà complesse compatte (anche singolari) hanno una classe fondamentale canonica Analisi dell’H^n di una varietà M di dimensione 2n che sia bordo di una V di dimensione 2n+1: la sua caratteristica di Eulero è pari Segnatura di una varietà compatta orientata connessa di dimensione 4n Se M compatta, orientabile ha dimensione 4n ed è bordo di V compatta, orientabile, connessa, allora M ha segnatura nulla RP^n non può essere immerso come una sottovarietà liscia di S^n+1 per n>1 Caratteristica di Eulero di M compatta orientabile come classe di Thom del suo fibrato normale (senza dimostrazione), caratteristica di Eulero come autointersezione della diagonale dentro M´M Numero di Lefschetz L(f) come intersezione della diagonale con il grafico di f dentro M´M Poincaré-Hopf: se un campo vettoriale su M compatta orientata ha zeri isolati semplici, allora il loro numero (contato con il giusto segno) dà la caratteristica di Eulero di M
		Giovedì - CANCELLATA Aula Picone, ore 14-16	17/1/2019

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