Programma di massima del corso (per ristrettezze
di tempo, alcuni argomenti potrebbe essere saltati)
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Varietà differenziabili.
Applicazioni differenziabili tra aperti e tra sottoinsiemi di
Rn,
differenziali di applicazioni.
Carte, atlanti, strutture differenziabili. Applicazioni tra varietà
differenziabili, germi di applicazioni. Partizioni dell’unità.
Spazio tangente ad una varietà differenziabile in un punto. Differenziale di
una applicazione tra varietà. Spazio cotangente.
Teorema della funzione implicità. Sottovarietà
differenziabili.
Immersione di Whitney. Intorno tubolare. Punti e
valori critici, lemma di Sard.
Fibrato tangente e cotangente. Campi vettoriali e 1-forme differenziali.
Flusso generato da un campo vettoriale, linee di flusso: gruppi ad un parametro
di diffeomorfismi. Commutatore di due campi
vettoriali.
Integrali lungo cammini orientati, differenziale esterno di una funzione,
teorema fondamentale del calcolo.
Metriche
riemanniane, lunghezza di un cammino, angoli, volumi. Campo vettoriale
gradiente di una funzione (direzione di massima crescita), teorema del
gradiente.
n-forme differenziali, differenziale esterno, prodotto wedge
di forme differenziali. Forma di volume associata ad una metrica riemanniana (e
ad una orientazione) e integrazione.
Pull-back di forme differenziali. Teorema di Stokes.
Derivata di Lie di forme differenziali, contrazione
di forme differenziali e campi vettoriali, formula di Cartan.
Prodotto scalare sullo spazio delle forme differenziali. Operatore «
di Hodge. Divergenza (e teorema della divergenza).
Prodotto vettore e rotore in dimensione 3.
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Coomologia
di de Rham.
Definizione di coomologia di de Rham (anche relativa). Funtorialità.
Struttura di algebra.
Coomologia del punto e di una unione disgiunta.
Calcolo dell’H0.
Successioni esatte, lemma dei cinque, lemma del serpente.
Escissione (anche per sottovarietà) e successione esatta della coppia. Succesione di Mayer-Vietoris.
Lemma di Poincaré. Invarianza per omotopia.
Coomologia di una unione disgiunta. Ricoprimenti con
due aperti e successione di Mayer-Vietoris.
Formula di Künneth. Caratteristica di Eulero.
Coomologia di de Rham a supporto compatto. Proprietà base, funtorialità.
Dualità di Poincaré per coomologia
di de Rham. Classe di coomologia
associata ad una sottovarietà orientata (di una varietà orientata). Classe
associata alla diagonale.
Grado di una applicazione propria tra varietà orientate (codominio connesso)
della stessa dimensione.
Teorema di punto fisso di Lefschetz.
Indice di uno zero di un campo vettoriale e teorema di Poincaré-Hopf.