Istituzioni di Geometria Superiore
Anno accademico 2016/2017

Diario delle lezioni

Settimana 1	Lunedì Ore 11-13	3/10/2016	Descrizione del programma, dei testi consigliati da consultare e delle modalità d’esame. Varietà differenziabili Applicazioni differenziabili C^k fra sottoinsiemi dello spazio euclideo Atlanti differenziabili (su spazi topologici di Hausdorff, a base numerabile) Atlanti compatibili e esempio di due atlanti differenziabili sulla retta reale non compatibili Strutture differenziabili (su spazi topologici di Hausdorff, a base numerabile) [LM, cap.1.1-1.5] Richiami: topologia quoziente [LI, pag.604-606], topologia dello spazio proiettivo reale [LM, pag.18-19] Esempi: aperti dello spazio euclideo, grafici di funzioni definite su aperti dello spazio euclideo, sfera [LM, pag.17], spazio proiettivo reale [LM, pag.18-19], restrizione di un atlante A su M ad un atlante su un sottoinsieme aperto U di M
	Mercoledì Ore 9-11	5/10/2016	Applicazioni C^l tra varietà differenziabili C^k con l<k [LI, cap.2] Esempio: proiezione canonica da S^2 e RP^2 [LM, pag.18,23] Partizioni dell’unità C^k, esempio della funzione di cut-off, esistenza delle partizioni dell’unità (senza dimostrazione) Estensione di applicazioni C^k da chiusi di una varietà a tutta la varietà [LI, cap.2] Esempio: partizione dell’unità subordinata ad un ricoprimento con due aperti su S^2 Germi C^k(M,N)p in p di applicazioni C^k da M a N, struttura di R-algebra su C^k(M,R)p [LM, pag.28] Germi C^k(M,N)p,q in p di applicazioni C^k da M a N che mandano p in q Germi C^k(R,M)0,p di cammini per p Spazio tangente a M nel punto p (come insieme delle classi di equivalenza di germi di cammini per p)[LM, cap.2.1.1]
	Venerdì Ore 11-13	7/10/2016	Spazio tangente in un punto p ad un aperto U di una varietà M Spazio tangente in un punto p ad R^m, identificazione con R^m Differenziale dfp in un punto p di una applicazione f tra varietà, regola della catena Relazione tra il differenziale dfp di una applicazione f da un aperto di R^m ad un aperto di R^n e la matrice jacobiana J(f)p Algebra Ap=C^∞(M,R)p dei germi in p di funzioni differenziabili su M, con augmentazione Ap→R data dalla valutazione in p, ideale massimale mp di Ap Data Ap una R-algebra commutativa con augmentazione, struttura di Ap-modulo (e di R-spazio vettoriale) su DerR(Ap,R)={derivazioni ∂:Ap→R R-lineari} [LM, pag.64] Identificazione di DerR(C^∞(R^m,R)0,R) con lo spazio vettoriale delle derivate direzionali in R^m valutate in 0 Data f:M→N, applicazioni f^*:C^∞(N,R)f(p)→C^∞(M,R)p e f*: DerR(C^∞(M,R)p,R)→DerR(C^∞(N,R)f(p),R) Identificazione intrinseca tra TpM e DerR(C^∞(M,R)p,R) data da [γ]→∂γ [LM, cap.2 fino a pag.70] Spazio cotangente in un punto p ad una varietà M [LM, pag.65] Accoppiamento bilineare non degenere tra TpM e mp/mp^2, isomorfismo canonico di spazi vettoriali tra T*pM e mp/mp^2 [W, Lemma 1.16]
Settimana 2	Lunedì Ore 11-13	10/10/2016	Vettore cotangente dfp associate al differenziale di un germe di funzione f in p Dato un aperto U di R^m, identificazione tra TU e U×R^m Fibrato tangente TM e fibrato cotangente T^*M ad una varietà M di regolarità C^k: struttura di varietà C^k-1 [LI pag.65-68] Esempio: diffeomorfismo tra TS^1 e S^1×R^2 Interpretazione geometrica del teorema della funzione implicita, ossia: data f:M→N differenziabile, se dfp ha rango massimo, allora a meno di restringere dominio e codominio a intorni aperti di p e di f(p), e a meno di comporre in partenza e in arrivo con diffeomorfismi, f si riduce ad una delle mappe modello seguenti: identità se dim(M)=dim(N), inclusione di un sottospazio vettoriale se dim(M)<dim(N), proiezione su un sottospazio vettoriale se dim(M)>dim(N) Simile ma non uguale in [W, pag.24-25,31-33], vedi anche [LI, pag.77-81,127-128,138] Sottovarieta differenziabili [LM, pag.46]; criteri equivalenti: tramite applicazioni W→M iniettive a differenziale iniettivo, oppure tramite equazioni locali Può essere utile [LI, pag.97-108] Esempi: W aperto di M (sottovarietà di codimensione 0); grafico W⊂M×N di un’applicazione f:M→N differenziabile (sottovarietà di dimensione dim(M)); sfera di raggio r>0 ottenuta come S^n(r)=f ^-1(r^2), dove f:R^n+1→R con f(x)=‖x‖^2 Esempio: ℳm,n(R)={M matrice reale con m righe e n colonne}≅R^nm e R^km,n={M∊ℳm,n(R) di rango esattamente k} sottovarietà C^∞ di dimensione k(m+n-k)
	Mercoledì Ore 9-11	12/10/2016	Applicazioni continue e proprie h:X→Y tra spazi topologici; se h è continua, X è compatto e Y è di Hausdorff, allora h è propria Un’applicazione propria tra varietà f:M→N è chiusa; se M è una varietà compatta, f è propria Luogo Σ dei punti critici e luogo Δ dei valori critici di una applicazione differenziabile f:M→N; il luogo dei punti critici Σ è chiuso; se f e propria, allora Δ=f(Σ) è chiuso Se m=dim(M)<n=dim(N), allora f:M→N ha Σ=M e Δ=f(M) [LM, cap.2.5] Sottoinsiemi di misura (di Lebesgue m-esima) nulla di R^m, essi sono preservati da diffeomorfismi (e da mappe bilipschitz) Sottoinsiemi di misura (di Lebesgue m-esima) nulla di una varietà M di dim(M)=m Lemma di Sard (senza dimostrazione): per ogni f: M→N applicazione C^∞, il luogo Δ dei valori critici di f ha misura nulla in N [LM, cap.2.5] Esempi: se dim(M)<dim(N), allora per ogni f: M→N applicazione C^∞ si ha che N-f(M) è denso in N; se dim(M)<n, allora ogni applicazione differenziabile f:M→S^n è omotopa ad una mappa costante Immersioni: immersions e embeddings; esempi [LI, pag.78-81,85-87] Teorema di immersione (embedding) di Whitney di una varietà (compatta) M di dim(M)=m in R^2m+1 [LI, pag.131-135] [LM, pag.136-138]
	Venerdì Ore 11-13	14/10/2016	Esercizi 1, 2, 3 e 4(a) del Foglio 1
Settimana 3	Lunedì Ore 11-13 Eccezionalmente in Aula F !	17/10/2016	Applicazioni C^∞ proprie f:M→N tra varietà della stessa dimensione; l’applicazione d:N\Δ→N data da d(y):=#f^-1(y) è localmente costante [M, pag.7-8] Teorema fondamentale dell’algebra ⇐ un polinomio complesso p non costante determina un’applicazione p:C→C suriettiva [M, pag.8-9] Campi vettoriali [LI, pag.174-177] e spazio vettoriale reale X(M) dei campi vettoriali su M Curve integrali (problema di Cauchy): intervallo temporale massimale di esistenza della curva integrale Flusso associato ad un campo vettoriale X, proprietà del flusso [LI, pag.205-217] Sistemi di equazioni differenziali “ordinarie” con due tempi t1, t2 in R^m: condizione di compatibilità
	Mercoledì Ore 9-11	19/10/2016	Derivata di Lie LX(Y) di un campo vettoriale Y rispetto ad un altro campo vettoriale X [LI, pag.227-231] Parentesi di Lie [X,Y] di due campi vettoriali X,Y [LI, pag.185-189] Esempio in coordinate con X=∂/∂x1 LX(Y)=[X,Y], identità di Jacobi e struttura di algebra di Lie su (X(M),[·,·]) I flussi associati ai campi vettoriali X,Y commutano se e solo se [X,Y]=0 (solo enunciato per ora)
	Venerdì Ore 11-13	21/10/2016	Esercizi dal Foglio 2
Settimana 4	Lunedì Ore 11-13	24/10/2016	Dimostrazione di un lemma “di raddrizzamento”: se p è un punto della varieta m-dimensione M e X è un campo vettoriale su M tale che Xp≠0, allora esistono coordinate locali x1,…,xm vicino a p tali che X=∂/∂x1 [LI, Teorema 9.22] Dimostrazione che i flussi associati ai campi vettoriali X,Y commutano se e solo se [X,Y]=0 [LI, pag.231-233] Fibrazioni differenziabili π:E→B con fibra F [LI, pag.268] Esempi: fibrato banale E=BxF→B dato dalla proiezione sul primo fattore, fibrato tangente TM→M con F=R^m, proiezione canonica R^n+1\{0}→RP^n con F=R*, proiezione canonica S^n→RP^n con F={1,-1}, proiezione canonica C^n+1\{0}→CP^n con F=C*, proiezione canonica S^2n+1→CP^n con F=S^1, nastro di Möbius aperto M→ S^1 con fibra (0,1) Le fibrazioni differenziabili hanno differenziale suriettivo (ossia, sono “sommersioni”) in ogni punto e dim(E)=dim(B)+dim(F), inoltre f^-1(b) è diffeomorfo a F per ogni b in B Teorema di Ehresmann: sia f:E→B un’applicazione tra varietà differenziabili e assumiamo B connessa e df suriettivo in ogni punto di E. Se f è propria, allora f è una fibrazione con F=f^-1(b0), dove b0 è un punto qualunque di B. [D, cap.9.5] Controesempio per f non propria ma con differenziale suriettivo: f:R^2\{0}→R proiezione sul primo fattore, con f^-1(1)={1}xR connesso e f^-1(0)={0}xR* sconnesso.
	Mercoledì Ore 9-11	26/10/2016	Varietà con bordo, caratterizzazione dei punti del bordo, il bordo di una varietà è una varietà (senza bordo) Esempi, prodotto MxN di una varietà M con bordo e di una N senza bordo [LI, pag.24-29] Varietà orientate e orientabili (anche con bordo) [Hi, cap.7.1 – a lezione la definizione data era la Proposizione 7.1 mentre la Definizione 27 era un risultato; tuttavia le due nozioni sono equivalenti] Esempi Classificazione topologica delle varietà di dimensione 1 e compatte di dimensione 2 (solo enunciato) [HI, Teoremi 3.5, 3.6, 3.7, 3.10, 3.11] 1-forme differenziali, 1-forme differenziali esatte, descrizione in coordinate Pull-back di funzioni, di 1-forme differenziali e di 1-forme differenziali esatte tramite una mappa f Integrazione di una 1-forma differenziale su un intervallo orientato [a,b] Integrazione di una 1-forma differenziale φ su M lungo un cammino orientato γ:[a,b]→M Integrazione di una 1-forma esatta dh su M lungo un cammino orientato γ: teorema fondamentale del calcolo [LI, pag.283-291]
	Venerdì Ore 11-13	28/10/2016	Esercizi dal foglio 3
Settimana 5	Lunedì Ore 11-13	31/10/2016	Lezione cancellata per controlli agli edifici dopo il sisma del 30/10/2016 Disposizioni di ateneo
	Mercoledì Ore 9-11	2/11/2016	Prodotti tensoriali V⊗W di spazi vettoriali V,W su K, basi e dimensione di V⊗W V*⊗W* come spazio delle applicazioni bilineari VxW→K Azione del gruppo simmetrico Σk su V^⊗^k, sottospazio dei tensori simmetrici e dei tensori alterni, simmetrizzatore S e antisimmetrizzatore A Prodotto simmetrico Sym^kV e prodotto alterno Λ^kV come quozienti di V^⊗^k Identificazione di Sym^kV con K[v1,…,vn]k, dove {v1,…,vn} è una base di V Basi e dimensione di V^⊗k, Sym^kV, Λ^kV Funtorialità: data f:V→W lineare, applicazione lineari indotte f^⊗k:V^⊗k→W^⊗k, Sym^k(f): Sym^k(V)→ Sym^k(W), Λ^k(f): Λ^k(V)→ Λ^k(W) Dati Ω aperto di R^m e F:ΩxV→W C^l tale che F(p,-):V→W sia lineare per ogni p in Ω, l’applicazione F^⊗k: ΩxV^⊗k→W^⊗k è C^l e le sue derivate rispetto a p si esprimono in termini di derivate di F con la regola di Leibniz [LI, pag.304-316][W, pag.54-62]
	Venerdì Ore 11-13	4/11/2016	Hom(V,W) è canonicamente isomorfo a V*⊗W, End(V) è canonicamente isomorfo a V*⊗V Se dim(V)=n e f:V→V lineare, allora Λ^n(V) ha dimensione 1 e Λ^n(f): Λ^n(V)→ Λ^n(V) è la moltiplicazione per det(f) [H, pag.33-38] Fine esercizio 2 del Foglio 3
Settimana 6	Lunedì Ore 11-13	7/11/2016	Costruzioni tensoriali (prodotto tensore, prodotto simmetrico, potenza esterna, duale) con i fibrati tangente TM e cotangente T*M [LI, pag.316-317] Esempi: i fibrati Sym^2(T*M), End(TM) e Λ^k(T*M) [H, pag.37-39,76-77] Metriche riemanniane, pull-back di metriche riemanniane, esistenza di metriche riemanniane [LI, pag.327-333] Esempi: metrica euclidea su aperti di R^m, metrica standard su S^m, metrica iperbolica su H^m, metrica su una unione disgiunta di (M,g) e (N,h), metrica prodotto di (M,g) e (N,h), metrica di Fubini-Study su CP^n (e su RP^n)
	Mercoledì Ore 9-11	9/11/2016	Lunghezza di curve (C^1 a tratti) e distanza indotta su (M,g) riemanniana [LI, pag.337-341] Esempio: lunghezza di curve e distanza nello spazio euclideo, lunghezza di curve nello spazio iperbolico Sia M connessa. Allora (M,g) è uno spazio metrico completo se e solo se le palle chiuse sono compatte. In tal caso, tra due punti di M esiste sempre una curva di lunghezza minima (solo enunciato) (Più informazioni in [LM, Teorem 13.139 e Lemma 13.138]) Insiemi misurabili e funzioni misurabili su una varietà M e misura μg associata a g, integrazione di funzioni misurabili su (M,g) (La misura μg(E) corrisponde all’integrale su E della densità riemanniana costruita in [LI, pag.427-433]. A lezione non si è parlato di densità.) Esempio: calcolo del volume di RP^2 con la metrica gFS di Fubini-Study
	Venerdì Ore 11-13	11/11/2016	Esercizi 1 e 3 del Foglio 4
Aula I - ore 9:30-12:00		16/11/2016 Prove in itinere
Settimana 7	Lunedì Ore 11-13	21/11/2016	Algebra esterna Λ(V) e prodotto esterno Λ (=prodotto wedge) [LI, pag.354-358] Forme differenziali, prodotto wedge di forme differenziali, pull-back di forme differenziali [LI, pag.359-362] Esempio della metrica euclidea in coordinate polari e della forma dxΛdy in coordinate polari; esercizio analogo in coordinate sferiche; esercizio: integrare dxΛdz sul grafico Γf⊂R^3 di una applicazione f:Δ→R Operatore d differenziale esterno di forme differenziali Algebra differenziale commutativa-graduata A(M) delle forme differenziali (con il prodotto wedge) su una varietà M Compatibilità del prodotto wedge e del differenziale rispetto al pull-back [LI, pag.362-367] Orientazione di 0-varietà Integrazione di k-forme differenziali su varietà orientate di dimensione k [LI, pag.402-410] Enunciato del teorema di Stokes [LI, pag.411-415] Teorema fondamentale del calcolo come teorema di Stokes in dimensione 1 [LI, Teorema 11.39]
	Mercoledì Ore 9-11	23/11/2016	Relazione tra orientazioni su una varietà M di dimensione m e m-forme differenziali ω mai nulle su M (ossia tali che ωp≠0 per ogni p∊M), m-forme differenziali positive e basi positive del tangente in un punto ad una varietà orientata di dimensione m [Hi, cap.7.1 – a lezione la definizione data era la Proposizione 7.1 mentre la Definizione 27 era un risultato; tuttavia le due nozioni sono equivalenti] Forma di volume Ωg di una varietà (M,g) riemanniana orientata [LI, 388-390] Esempio: forma di volume in R^m, metrica riemanniana e forma di volume di un grafico di una funzione f: R^2→R Contrazione ιX(ω)∊A^k-1(M) di una k-forma differenziale ω e un campo vettoriale X su M, proprietà della contrazione [LI, pag.358-359], [LM, pag.352-353,372-374] Orientazione indotta su una ipersuperficie S di una m-varietà M orientata da un campo vettoriale X tangente a M su S mai tangente a S (ossia tale che Xp non appartienga a TpS per ogni p∊S) [LI, 384-386] Orientazione indotta su ∂M (da un campo vettoriale che punta “fuori”), dove M è una varieta orientata [LI, 386-388] Esempio: orientazione standard su S^m, orientazione su H^m e su ∂H^m Teorema di Stokes (con dimostrazione) [LI, pag.411-415]
	Venerdì Ore 11-13	25/11/2016	Correzione esercizi dell’esonero
Settimana 8	Lunedì Ore 11-13	28/11/2016	Isomorfismo tra tangente e cotangente ad una varietà M indotto da una metrica riemanniana g, metrica duale g* indotta sul cotangente, matrice associata a g* Corrispondenza tra campi vettoriali e 1-forme differenziali indotta da g Gradiente di una funzione, direzione di massima crescita, teorema del gradiente [LI, pag.341-343] Isomorfismo dato dalla contrazione ι tra campi vettoriali e (m-1)-forme differenziali su una varietà riemanniana orientata (M,g) di dimensione m Divergenza di un campo vettoriale, flusso uscente da un dominio, teorema della divergenza [LI, pag.422-426] Prodotto vettore su una varietà riemanniana (M,g) orientata di dimensione 3, proprietà Rotore di un campo vettoriale su una varietà riemanniana (M,g) orientata di dimensione 3 [LI, pag. 426]
	Mercoledì Ore 9-11	30/11/2016	Forma di volume su una ipersuperficie [LI, pag.390-391] Rotore su varietà riemanniane orientate di dimensione 3, teorema del rotore Identità rot∘grad=0 e div∘rot=0, laplaciano Δ=div∘grad [LI, pag.422-427] Idea della coomologia di de Rham (su varietà C^∞) Complessi di spazi vettoriali (e di gruppi abeliani), complessi esatti, coomologia di un complesso [LI, pag.460-461] Complesso A^*(M) delle forme differenziali (C^∞) su M e complesso A^*c delle forme differenziali (C^∞) su M a supporto compatto, definizione di coomologia di de Rham H^*(M) e cosmologia di de Rham a supporto compatto H^*c(M) Esempio di calcolo di H^*(M) per M={p} e M=R Coomologia di de Rham di M=M1∐M2 come H^*(M)≅H^*(M1)⊕H^*(M2) [BT, pag.13-18]
	Venerdì Ore 11-13	2/12/2016	Esercizi dal foglio 5
Settimana 9	Lunedì Ore 11-13	5/12/2016	Esempio: coomologia a supporto compatto di M=R [BT, pag.16] Successioni esatte (di gruppi abeliani, di spazi vettoriali), successioni esatte corte Esempio: 0→U→V→V/U→0, dove U⊂V sottospazio vettoriale (o sottogruppo abeliano) Omomorfismi di complessi (di spazi vettoriali o di gruppi abeliani), nucleo e immagine, successioni esatte di complessi Pull-back F^*:A^*(N)→A^*(M) e H^*(F):H^*(N)→H^*(M) indotto da F:M→N [BT, pag.19] Pull-back F^*:A^*c(N)→A^*c(M) e H^*c(F):H^*c(N)→H^*c(M) indotto da F:M→N propria [BT, pag.26] Push-forward i*:A^*c(U)→A^*c(M) e H^*c(i):H^*c(U)→H^*c(M) indotto da una inclusione i:U→M aperta [BT, pag.26] Successione esatta lunga …→H^i(C^⋅)→H^i(D^⋅) →H^i(E^⋅) →H^i+1(C^⋅) →H^i+1(D^⋅)→… indotta da una successione esatta corta 0→C^⋅→D^⋅→E^⋅→0 di complessi (in grado non negativo) [BT, pag.17]
	Mercoledì Ore 9-11	7/12/2016	Successione esatta lunga di Mayer-Vietoris is coomologia di de Rham e in coomologia di de Rham a supporto compatto[BT, pag.22-27] Esempio: coomologia di de Rham di S^1 Lemma di Poincaré [BT, pag.33-35] Enunciato del lemma di Poincaré per coomologia di de Rham a supporto compatto
	Venerdì Ore 11-13	9/12/2016	Invarianza omotopica per la coomologia di de Rham, equivalenze omotopiche, retratti, retratti per deformazione, retratti per deformazione forte [BT, pag.35-36] Dimostrazione del lemma di Poincaré per la coomologia di de Rham a supporto compatto [BT, pag.37-40] Esempio: coomologia di de Rham della sfera S^n, generatori Esempio: il disco chiuso D^n non si retrae sul suo bordo ∂D^n=S^n-1
Settimana 10	Lunedì Ore 11-13	12/12/2016	Esempio: M=R^2 \({0}×Z) ha dim(H^1(M))=∞ Ricoprimenti aperti “buoni” di varietà Dato un ricoprimento aperto V di una varietà M, esiste un ricoprimento aperto buono U localmente finito, che è anche un raffinamento di V (solo l’idea: prendere come aperti palle di piccolo raggio rispetto ad una metrica riemanniana g su M, le quali sono geodeticamente convesse) Varietà di tipo finito, la coomologia di de Rham (e la coomologia a supporto compatto) di una varieta di tipo finito è finito-dimensionale [BT, pag.42-44] Accoppiamento bilineare I:H^i(M)⊗H^m-ic(M)→R per varietà M orientata di dimensione m senza bordo Dualità di Poincaré: data M orientata senza bordo di dimensione m, l’accoppiamento I è non degenere e quindi induce un isomorfismo H^i(M)→H^m-ic(M)^* [BT, pag.44-46]
	Mercoledì Ore 9-11	14/12/2016	Esercizi 1-2 del Foglio 6
	Venerdì Ore 11-13	16/12/2016	Caratteristica di Eulero χ(M) di una varietà M di tipo finito Additività di χ per unioni disgiunte: χ(M∐N)= χ(M)+χ(N) Additività χ(M)=χ(U)+ χ(V)- χ(U∩V) con U,V aperti di M=U∪V Esempi: caratteristica di Eulero di uno spazio euclideo, di una sfera, di uno spazio proiettivo reale, di S^2\{p1,…,pn} Prodotto wedge in H*(M) commutativo graduato Struttura graduata su H^*(M)⊗H^*(N), morfismo ψ:H^*(M)⊗H^*(N)→H^*(M×N) e teorema di Künneth [BT, pag.47-50] Esempi: H^*(T^2) con T^2=S^1×S^1 e H^*(S^n×S^m) Richiami sulle fibrazioni localmente banalizzabili, rivestimenti Se π:M→N è un rivestimento e M è compatta, allora π è finito [LM, pag.34-35] Esempi: rivestimenti S^m→RP^m e R→S^1, fibrazioni banali M×F→M, fibrazione TM→M Banalizzabilità di una fibrazione E→R^m (senza dimostrazione) Se E→B è una fibrazione liscia con fibra F e le varietà B,F sono entrambe di tipo finito, allora χ(E)=χ(B)χ(F) Esempi: χ(RP^m) usando S^m→RP^m, fibrato tangente unitario T^1M→M sopra una varietà riemanniana (M,g) di dim(M)=m con fibra S^m-1, un rivestimento liscio RP^m→S è un diffeomorfismo
Settimana 11	Lunedì Ore 11-13	19/12/2016	Esercizi 3 e 4(a-b) del Foglio 6
	Mercoledì Ore 9-11	21/12/2016	Grado di una applicazione propria tra varieta orientate della stessa dimensione (codominio connesso) [BT, pag.40-42] Omeomorfismi locali, omeomorfismi locali propri sono rivestimenti finiti Formula del grado con le controimmagini di un valore regolare Esempi: omotopie proprie, mappe non suriettive, antipodale in una sfera, mappe di grado k del piano complesso in sé, mappe da S^2 nel toro, mappa S^2→RP^2→S^2
			Interruzione natalizia
Settimana 12	Lunedì Ore 11-13	9/1/2017	Fibrato normale NS/M→S ad una sottovarietà S di M Teorema dell’intorno tubolare (dimostrazione solo nel caso S,M compatte) Complesso Acv^*(E) delle forme differenziali verticalmente compatte su E con π:E→S fibrato vettoriale di rango k e coomologia di de Rham verticalmente compatta Hcv^*(E) Applicazione π*:Acv^n(E)→A^n-k(S) dato dall’integrazione lungo le fibre di E, buona definizione di π* (esercizio: dipende dall’orientazione di E), compatibilità d∘(π*)= (π*)∘d e omomorfismo indotto π*:Hcv^n(E)→ H^n^-k(S) Formula di proiezione π*((π^*ω)∧α)= ω∧(π*α) e di integrazione ∫E[(π^*ω)∧α]=∫S[ω∧(π*α)] Isomorfismo di Thom Th:H^n(S)→Hcv^n+k(E) inverso di π* (dimostrazione analoga al lemma di Poincaré per forme a supporto compatto) e analogo isomorfismo Hc^n(S)→Hc^n+k(E) Classe di Thom Φ=Th(1) di E e sua caratterizzazione, identità Th(ω)=(π^*ω)∧Φ Sottovarietà S orientata di M orientata, orientazione naturale indotta sul fibrato NS/M→S di rango k=m-h=dim(M)-dim(S) Preso NS/M→ U⊂M intorno tubolare di S, omomorfismo j*:Acv^n(NS/M)→A^n(M) di estensione a zero fuori da U e classe di Thom τS=j*(Φ)∊H^m-h(M) di S Identità ∫M[ω∧τS]=∫S ω (solo enunciato) [BT, pag.50-67]
	Mercoledì Ore 9-11	11/1/2017	Identità ∫M[ω∧τS]=∫S ω (con dimostrazione) [BT, pag.66-67] Varietà S,S’ isotope in M hanno classi di Thom τS=τS’ Sottovarietà S1,S2 trasverse di dimensioni h1,h2 nella varietà M di dim m Caso h1+h2=m con S1,S2,M orientate e S1,S2 trasverse: molteplicità di intersezione ip(S1,S2) nel punto p∊S1∩S2 e numero di intersezione i(S1,S2)∊Z Identità ∫Up[τS1∧τS2]=ip(S1,S2) e ∫M[τS1∧τS2]=i(S1,S2) Corollario: se Rj è una sottovarietà di M isotopa a Sj, allora i(S1,S2)= i(R1,R2) Esempio: data Σg superficie connessa, compatta, orientata di genere g, base {αi=τAi, βj=τBj} di H^1(Σg), con {Ai,Bj} insieme standard di cicli che soddisfa Ai∩Aj=Bi∩Bj=Ai∩Bj=Ø se i≠j e Aj∩Bj={pj} trasversi con i(Aj,Bj)=1 “Numero algebrico” di punti fissi di una applicazione F:M→M, ovvero di Δ(M)∩ΓF, come i(Δ(M),ΓF)=∫M×M[τΔ∧τΓ]= )=∫M[Δ^*τΓ] “Numero algebrico” di zeri di un campo vettoriale V su M compatta orientata come i(Δ(M), Δ(M))=∫M×M[τΔ∧τΔ]=∫M[Δ^*τΔ] Calcolo della classe di Thom τΔ della diagonale in M×M per M compatta orientata e calcolo ∫M[Δ^*τΔ]=χ(M) Esempi: non esistono campi vettoriali mai nulli su M ottenuta da prodotti di S^2n, Σg con g>1, CP^n Esempio: esistono campi vettoriali non nulli su S^2n+1e su varietà del tipo M=N×S^2n+1 Esempio: riduzione del caso non orientabile al caso orientabile, S^2n→RP^2n Su M compatta con χ (M)≠0, ogni campo vettoriale ha necessariamente qualche zero
	Venerdì Ore 11-13	13/1/2017	Esercizi dal Foglio 7
	Venerdì Ore 15:30-17:30	13/1/2017 Aula F	Lezione di recupero Esercizi dal Foglio 7

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