Programma di massima del corso
Prima parte: geometria
affine e euclidea.
Spazi
affini, euclidei e hermitiani. Sottospazi. Coordinate.
Applicazioni
affini, endomorfismi ortogonali e unitari, endomorfismi simmetrici e
hermitiani. Classificazione.
Gruppi
di trasformazioni lineari, affini, euclidee e unitarie.
Azione
di un gruppo, orbite e spazio delle orbite.
Esercizi
ed esempi (disuguaglianze di Cauchy-Schwarz e triangolare, formula di Fourier; proprietà
di incidenza di sottospazi;
traslazioni,
omotetie, collineazioni, similitudini,
isometrie, riflessioni, rotazioni, proiezioni; gruppi di simmetrie).
Seconda parte: coniche e
quadriche.
Coniche
e quadriche affini (reali e complesse) ed euclidee.
Invarianti
affini e euclidei, teoremi di classificazione affine ed euclidea.
Esercizi
ed esempi (parametrizzazione di
coniche e quadriche, coni e cilindri, intersezioni con piani, proprietà focali,
riduzione esplicita affine e metrica,
uso
del teorema spettrale, ipersuperfici algebriche e
applicazioni polinomiali).
Terza parte: geometria
proiettiva.
Spazio
proiettivo: motivazioni e modelli.
Sottospazi
proiettivi. Applicazioni proiettive e proiettività.
Punti
in posizione generale, riferimenti proiettivi, coordinate omogenee, cambi di
coordinate proiettive.
Rette,
piani, iperpiani; equazioni cartesiane, relazione tra equazioni e dimensione,
formula di Grassmann proiettiva.
Struttura
affine sul complementare di un iperpiano proiettivo. Punti al finito e punti
all’infinito di un sottoinsieme dello spazio proiettivo.
Ipersuperfici proiettive e
polinomi omogenei.
Omogeneizzazione
e de-omogeneizzazione di equazioni polinomiali. Parte affine e punti
all’infinito di una ipersuperficie proiettiva.
Chiusura proiettiva di una ipersuperficie affine.
Coniche
e quadriche proiettive. Classificazione proiettiva delle quadriche.
Esempi
(relazione
fra proiettività e affinità, proiezioni centrali, teorema di Desargues).