Tentativo di programma dettagliato delle lezioni
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Sett. 1 |
Martedì |
29/9/2015 |
Definizione di sottospazio affine
E in uno spazio vettoriale V: scrittura E=v+\vec{E} con v in E, \vec{E} giacitura di E. Restrizione di applicazioni lineari
ai sottospazi affini (espressione esplicita f=c+\vec{f}). Definizione di spazio affine ed
esempi. Dimensione. Lo spazio affine A^n (con giacitura K^n). Applicazioni affini. Sottospazi affini di spazi affini. Formula di Grassmann
affine. Riferimenti affini e coordinate
baricentriche. |
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Venerdì |
2/10/2015 |
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Sett. 2 |
Lunedì |
5/10/2015 |
Proprietà elementari delle mappe
affini. Gruppo delle affinità Aff(E) di E: struttura di prodotto semi-diretto. Esercizi. |
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Martedì |
6/10/2015 |
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Venerdì |
9/10/2015 |
Spazio vettoriale duale.
Annullatore di un sottospazio lineare. Esercizio. Proiezioni e riflessioni lineari. |
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Sett. 3 |
Lunedì |
12/10/2015 |
Immagine e immagine inversa di sottospazi
affini tramite mappe affini, dimensioni. Richiami su forme bilineari
simmetriche. Forme bilineari hermitiane. |
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Martedì |
13/10/2015 |
Richiami su basi ortogonali. Richiami su vettori isotropi, teorema
di Sylvester, indici di positività/negatività e segnatura. Sfere. Richiami sull’ortogonale di
un sottospazio. |
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Sett. 4 |
Lunedì |
19/10/2015 |
Caso di forme bilineari
simmetriche (o forme hermitiane) definite positive: spazi vettoriali euclidei,
spazi vettoriali hermitiani. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, disuguaglianza triangolare, formula di
Fourier, angoli. Proiezioni e riflessioni ortogonali.
Isometrie e rotazioni. Trasformazioni conformi. Similitudini. |
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Martedì |
20/10/2015 |
Richiami su metodo di Gram-Schmidt e basi ortogonali. Forme quadratiche. Formula di
polarizzazione. Esercizi. |
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Venerdì |
23/10/2015 |
Struttura
metrica su uno spazio affine: spazi affini euclidei reali e complessi. Isometrie
lineari e a affini. |
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Sett. 5 |
Lunedì |
26/10/2015 |
Teorema spettrale per applicazioni
normali (con dimostrazione). Classificazione di endomorfismi
unitari, autoaggiunti (hermitiani) e anti-autoaggiunti (anti-hermitiani). Classificazione di endomorfismi
ortogonali, autoaggiunti (simmetrici) e anti-autoaggiunti (anti-simmetrici). |
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Martedì |
27/10/2015 |
Esercizi su forme bilineari e
trasformazioni unitarie e autoaggiunte. |
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Venerdì |
30/10/2015 |
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Sett. 6 |
Lunedì |
2/11/2015 |
Azioni di gruppi su insiemi. Prime
proprietà (fedeltà, transitività). Azioni coniugate. Gruppi di simmetrie
(lineari/affini, euclidee, affini-euclidee). Stabilizzatori, insieme delle
orbite (quoziente). Esempi: configurazioni di 3 punti
sulla retta affine (rapporto semplice), triangoli nel piano affine. Equivalenza lineare, affine,
euclidea, affine-euclidea di sottoinsiemi di uno spazio. |
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Martedì |
3/11/2015 |
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Venerdì |
6/11/2015 |
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Prove in
itinere 9-13/11/2015 |
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Sett. 7 |
Lunedì |
16/11/2015 |
Coniche e quadriche (reali e
complesse). Classificazione affine e euclidea
delle coniche (enunciato). Esempi, parametrizzazione di
coniche, proprietà focali. |
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Martedì |
17/11/2015 |
Classificazione affine e euclidea
delle quadriche (enunciato). Parametrizzazione di quadriche, coni
e cilindri, intersezioni con piani, proprietà focali. |
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Venerdì |
20/11/2015 |
Riduzione esplicita (affine e
metrica) di una quadrica in forma normale. |
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Sett. 8 |
Lunedì |
23/11/2015 |
Applicazioni polinomiali fra spazi
affini. Ipersuperfici algebriche. Componenti
irriducibili e molteplicità. Grado di una ipersuperficie
e intersezione con un sottospazio. |
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Martedì |
24/11/2015 |
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Venerdì |
27/11/2015 |
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Sett. 9 |
Lunedì |
30/11/2015 |
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Martedì |
1/12/2015 |
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Venerdì |
4/12/2015 |
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Sett. 10 |
Lunedì |
7/12/2015 |
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Venerdì |
11/12/2015 |
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Lunedì |
13/12/2015 |
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Sett. 11 |
Martedì |
14/12/2015 |
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Venerdì |
17/12/2015 |
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Venerdì |
8/1/2016 |
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Interruzione natalizia |
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Sett. 12 |
Lunedì |
11/1/2016 |
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Martedì |
12/1/2016 |
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Venerdì |
15/1/2016 |
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