Geometria I (canale A-H)
Anno accademico 2015/2016

Diario delle lezioni

Settimana 1	Martedì	29/9/2015	Sottospazi affini di spazi vettoriali: definizione intuitiva come traslati di sottospazi vettoriali, equazioni lineari non omogenee, giacitura, esempio in R^3 Spazi affini: definizione formale, bigezione tra spazio affine e sua giacitura (previa scelta di un punto base), esempi (spazi vettoriali, spazi affini numerici, spazi di funzioni reali continue su [0,1] con integrale 1, prodotti di spazi vettoriali (basi e dimensione) e prodotti di spazi affini Sottospazi affini di spazi affini (estende la definizione intuitiva) Applicazioni affini, caratterizzazione ed espressione esplicita nel caso di applicazioni fra spazi affini numerici Esempi di applicazioni: traslazioni, omotetie di centro P, riflessioni di centro P, proiezioni e riflessioni lineari (rispetto ad un sottospazio e lungo un suo complementare), proiezioni e riflessioni affini
	Venerdì	2/10/2015	Un sottospazio affine determina la sua giacitura. Un’applicazione affine determina la sua giacitura (ossia la sua parte lineare). Sistemi di coordinate affini (O,B). Cambi di coordinate affini sono trasformazioni affini di K^n. Intersezione di sottospazi affini, span affine, formula di Grassmann affine. Combinazioni affini di punti (buona definizione). Retta per due punti. Rapporto semplice di tre punti allineati distinti. Le applicazioni affini preservano l’allineamento, le combinazioni affini e, se iniettive, anche il rapporto semplice. Punti affinemente indipendenti, riferimenti affini, coordinate baricentriche.
Settimana 2	Lunedì, ore 15-18	5/10/2015	Combinazioni convesse. Sottoinsiemi convessi. Inviluppo convesso. Le applicazioni affini mandano convessi in convessi. L’applicazione “parte lineare” da Aff(E) a GL(⃗E), i sottogruppi normale TE delle traslazioni di E e non normale Aff(E,P) delle trasformazioni affini che fissano il punto P; struttura di prodotto semi-diretto di Aff(E) Esercizi dal Foglio 1
	Martedì	6/10/2015	Esercizi dal Foglio 1
	Venerdì	9/10/2015	Spazio vettoriale duale (basi duali, dimensione, biduale, caso K^n), duale di una applicazione lineare (composizione, caso di spazi vettoriali numerici: matrice trasposta), annullatore di un sottospazio vettoriale (basi e dimensione, caso numerico), Ann(Im(f))=ker(f*); esercizio Proiezioni e riflessioni lineari: caratterizzazione e calcolo in K^n
Settimana 3	Lunedì, ore 15:30-18	12/10/2015	Immagine e immagine inversa di sottospazi affini tramite mappe affini, descrizione con equazioni Esercizi Primi richiami su forme bilineari simmetriche (b sullo spazio vettoriale V), prime nozioni su forme hermitiane (h sullo spazio vettoriale complesso W): definizioni di b e h, radicale Rad(b) e Rad(h), forme bilineari simmetriche e forme hermitiane standard, forme bilineari simmetriche reali e forme hermitiane definite positive, rappresentazione di forme bilineari simmetriche in K^n tramite matrici simmetriche e rappresentazione di forme hermitiane in C^n tramite matrici hermitiane, forme bilineari simmetriche e forme hermitiane non degeneri L’applicazione K-lineare bv:V®K per ogni v in V e l’applicazione K-lineare Lb:V®V* Struttura coniugata di uno spazio vettoriale complesso W, l’applicazione C-lineare hw:W®C per ogni w in W e l’applicazione C-anti-lineare Lh:W®W*
	Martedì	13/10/2015	Rappresentazione di una forma bilineare simmetrica (e di una forma hermitiana) in coordinate: matrici simmetriche e matrici hermitiane Come cambia la matrice che rappresenta la forma (bilineare simmetrica / hermitiana) se cambiamo base Esistenza di una base ortogonale (caso forma bilineare simmetrica e forma hermitiana) Esistenza di una base di Sylvester (per forme hermitiane e per forme bilineari simmetriche reali): teorema di Sylvester Sfere e cono dei vettori isotropi: esempi nei casi di forme non degeneri Indici di positività, negatività e nullità, segnatura (per forme hermitiane e per forme bilineari simmetriche reali): significato intrinseco Ortogonale di un sottospazio (per forme hermitiane e per forme bilineari simmetriche), ortogonale di U come Ann(L(U)), dimensione dell’ortogonale nel caso di una forma non degenere
		16/10/2015	Maker Faire Rome 2015
Settimana 4	Lunedì	19/10/2015	Decomposizione ortogonale di un vettore (rispetto ad una base ortogonale), formula di Fourier nel caso ortonormale Proiezioni e riflessioni ortogonali (lineari) Pull-back di una forma bilineare simmetrica (o di una forma hermitiana), applicazioni lineari che preservano la forma bilineare simmetrica (o hermitiana), isometrie lineari Norma, norma associata ad un prodotto scalare, disuguaglianza triangolare e disuguaglianza di Cauchy-Schwarz (anche nel caso hermitiano) Angolo (rispetto ad un prodotto scalare) fra due vettori con valore in [0,p]
	Martedì	20/10/2015	Ortogonalizzazione e ortonormalizzazione di Gram-Schmidt, basi ortogonali nel caso generale Rotazioni in dimensione 2 e 3, applicazioni lineari conformi Forme quadratiche e polarizzazione
	Venerdì	23/10/2015	Esercizio 1 del foglio 2 Spazi affini euclidei reali e complessi Isometrie lineari, affini, biiezioni isometriche fra spazi affini Biiezioni fra spazi affini euclidei che preservano i rapporti fra le distanze Applicazioni lineari ortogonali e unitarie: insiemi O(V,b) e U(W,h); teorema di struttura delle applicazioni lineari ortogonali e unitarie di uno spazio vettoriale euclideo in sé (solo enunciato ed esempi)
Settimana 5	Lunedì, ore 15-18	26/10/2015	Applicazioni aggiunte (rispetto a forme bilineari simmetriche o a forme hermitiane), endomorfismi autoaggiunti e anti-autoaggiunti; matrici simmetriche, anti-simmetriche, hermitiane, anti-hermitiane. Formula per l’aggiunta di un’applicazione rispetto a forme bilineari (o hermitiane) non degeneri. Applicazioni normali. Proprietà delle applicazioni normali. Teorema spettrale per applicazioni normali (con dimostrazione) sui complessi. Caratterizzazione degli endomorfismi unitari, hermitiani e anti-hermitiani (e delle matrici normali, unitarie, hermitiane e anti-hermitiane). Corollario: teorema spettrale per applicazioni normali sui reali. Caratterizzazione degli endomorfismi ortogonali, simmetrici e anti-simmetrici (e delle matrici normali reali, ortogonali, simmetriche e anti-simmetriche). Qualche esempio.
	Martedì	27/10/2015	Classificazione delle trasformazioni lineari ortogonali degli spazi euclidei reali E^2 e E^3. Esercizi ed esempi su forme bilineari, applicazioni unitarie/ortogonali, autoaggiunte e anti-autoaggiunte: esercizi foglio 1 n. 2.3(a-f), 2.6 e foglio 2 n. 8(a-b), 11(a), 15, 16
	Venerdì	30/10/2015	Problema della classificazione (a meno di una relazione di equivalenza): studiare S/~, ossia trovare un insieme di rappresentanti per ~ (detti “forme canoniche”) Esempi: Z/qZ, relazione antipodale su S^1 Azioni di gruppo G su un insieme S (o su un gruppo abeliano, su uno spazio vettoriale, su uno spazio affine, su uno spazio euclideo etc.), orbite Relazione di equivalenza indotta da un’azione di gruppo, spazio delle orbite (spazio quoziente S/G) Esempi: azione di qZ su Z, azione di Z/2Z su S^1, azione di (Z/2Z)^n su R^n tramite riflessioni lungo sottospazi vettoriali coordinati Esempio: problema della classificazione dei triangoli in R^2 (a meno di affinità, oppure a meno di isometria) Esempio: problema della classificazione delle forme bilineari simmetriche su R^n (a meno di congruenza, oppure a meno di congruenza per matrici ortogonali)
Settimana 6	Lunedì, ore 15-18	2/11/2015	Simmetrie (stabilizzatore) di un sottoinsieme X di un insieme S su cui un gruppo G agisce; lo stabilizzatore è un sottogruppo Esempi: calcolare stabG(X) nei casi seguenti. 1) S=R^2, X={y=1}, G=GL(2,R) [ stabG(X)={matrici M con M11=1, M12=0, M22¹0} ] 2) S=R^2, X=poligono regolare inscritto nel disco unitario, con vertici v0=e1,v1,…,vm-1; G=SO(2, R), O(2, R), GL(2,R), Aff(R^2) [stabG(X)= < R,S | R^m=S^2=1, RS=SR^-1 > con R rotazione di angolo 2p/m e S riflessione ortogonale rispetto alla retta {y=0} ] 3) S=R^2, X=S^1, G=GL(2,R) [stabG(X)=O(2, R) ] 3’) S=R^2, X=S^1, G=Aff(R^2) [ stabG(X)=O(2, R), lasciato per esercizio ] 4) S=R^2, X=Z^2, G=GL(2,R) [ stabG(X)=GL(2,Z)={MÎGL(2,R) con entrate intere e |det(M)|=1} ] Esempi di problemi di classificazione seguenti. Classificare i sottogruppi finiti G di SO(2, R) [i G sono gruppi ciclici generati da una rotazione R di angolo 2p/m, ossia G= < R | R^m=1 >=Cm ] Classificare i sottogruppi finiti G di O(2, R) [i G non in SO(2, R) sono gruppi diedrali, generati da una rotazione R di angolo 2p/m e da una riflessione ortogonale S rispetto ad una retta, e quindi G= < R,S | R^m=S^2=1, RS=SR^-1 >=D2m ] Classificare i sottogruppi finiti G di GL(2, R) [usare il trucco di Weyl: dato G, esiste un prodotto scalare B su R^2 che sia preservato da G; il passaggio alle coordinate rispetto ad una base ortonormale per B fornisce una isometria f tra (R^2, B) e lo spazio vettoriale euclideo E^2; il gruppo finito fGf^-1 consiste di isometrie lineari di E^2: uso la conoscenza dei sottogruppi finiti di O(2, R) ] Classificare i sottogruppi finiti G di Aff(R^2) [preso P in R2, l’isobaricentro C dei punti g(P) al variare di g in G è un punto fisso per l’azione di G; dunque fGf^-1 consiste di trasformazioni lineari di R^2, dove f è la traslazione che porta O in P: uso la conoscenza dei sottogruppi finiti di GL(2, R) ] Classificare le isometrie affini f di R^2 [se f(x)=Ax+v, sono: identità (A=I, v=0), traslazioni (A=I, v¹0), rotazioni (det(A)=1, A¹I), riflessioni ortogonali (det(A)=-1, vÎE-1(A)), glissoriflessioni ortogonali (det(A)=-1, vÏE-1(A)) ]
	Martedì	3/11/2015	Basi concordi di uno spazio vettoriale, orientazione su uno spazio vettoriale (classe di equivalenza [B] di basi concordi); dato un automorfismo f di uno spazio vettoriale, [f(B)]=[B] se e solo se det(f)>0 La funzione Vol volume di un parallelepipedo in (V,b); Vol=|δ| , dove δ è il ``volume con segno’’ di un parallelepipedo nello spazio vettoriale euclideo orientato (V,b,[B]) definito come δ(v1, v2, …, vn):=det([v1]B|[v2]B |…|[vn]B); proprietà della funzione δ Angolo con valori in [0,2p) tra due vettori non nulli di uno spazio vettoriale euclideo orientato (V,b,[B]) Prodotto vettore in uno spazio vettoriale euclideo orientato (V,b,[B]) di dimensione 3, proprietà del prodotto vettore Quoziente di uno spazio vettoriale V per un suo sottospazio W; proiezione canonica p:V®V/W (suriettiva con ker(p)=W); p induce un isomorfismo tra un complementare U di W e V/W (se dim(V)=n e dim(W)=k, allora dim(V/W)=dim(U)=n-k; inoltre, se {u1, u2, …, un-k} è una base di U, allora {[u1], [u2], …, [un-k]} è una base di V/W)
	Venerdì	6/11/2015	Primo teorema di omomorfismo per spazi vettoriali Bandiere (complete) di V; endomorfismo f di V triangolabile se e solo se f preserva una bandiera completa di V Un endomorfismo di V con autovalori tutti in K è triangolabile (in particolare, su campo algebricamente chiuso, in particolare su C) Esercizio: trovare le coppie di rotazioni T,S (non banali) in SO(3,R) tali che TS=ST Esercizio: trovare le coppie di rotazioni R,R’ del piano euclideo affine E^2 che commutano. Esercizio su diagonalizzabilita di matrici tramite similitudine o congruenza. Assegnato: esercizio su radice quadrata di una matrice simmetrica semi-definita positiva
		9-13/11/2015	Prove in itinere
Settimana 7	Lunedì	16/11/2015	Applicazione polinomiale da K^n a K indotte da un polinomio p in K[X1, … , Xn], applicazioni polinomiali da uno spazio affine E a K Su campo K infinito, l’applicazione polinomiale determina il polinomio p in modo unico (principio di identità dei polinomi); contro esempio su campo finito Grado di un’applicazione polinomiale (su campo infinito) Oss. Le applicazioni polinomiali di grado 0 sono le costanti; le applicazioni di grado 1 sono le applicazioni affini Struttura di algebra sull’insieme K[E] delle applicazioni polinomiali da uno spazio affine E a K Su campo infinito, il passaggio a coordinate affini induce un isomorfismo tra K[E] e K[X1, … , Xn] Applicazioni omogenee (di grado d) da uno spazio vettoriale V a K Esercizio: su un campo infinito K, un’applicazione polinomiale omogenea f di grado d è indotta da un polinomio omogeneo di grado d Luogo di zeri V(f) di un’applicazione polinomiale f: proprietà elementari di V (in particolare V(cf)=V(f) se cÎK^*) Azione di K^*su K[E] per riscalamento; azione di Aff(E) su K[E] per pre-composizione μ(g)f := f ο g^-1 Problema della classificazione delle f in K[E]d, con E spazio affine di dimensione n, a meno di riscalamento e a meno di affinità di E Esempi di applicazioni polinomiali f e luoghi V(f) nel caso di E=C^1, K=C e nel caso E=R^1, K=R (nel caso complesso: corrispondenza tra f a meno di riscalamento e V(f), grazie alla completa fattorizzabilità dei polinomi complessi)
	Martedì	17/11/2015	(A) Dato E spazio affine di dim n su K, azione di G=K^*×Aff(E) sulle applicazioni polinomiali da E in K non nulle di grado d: classificazione affine (A’) Dato E spazio affine euclideo di dim n su K=R,C , azione di G’=K^*×Isom(E) sulle applicazioni polinomiali da E in K non nulle di grado d: classificazione metrica/euclidea (B) Problema analogo della classificazione dei sottoinsiemi V(f) di E, al variare di f tra le applicazioni polinomiali non nulle di grado d, a meno di affinità (o a meno di isometria (B’), se E euclideo) Riduzione dei problemi (A) al caso E=K^n e S=K[X1,X2, … , Xn]d (e del problema (A’), per E= E^n) La struttura della fattorizzazione in irriducibili si mantiene per trasformazioni affini g, ossia: p=p1^m1…pk^mk è una fattorizzazione in irriducibili se e solo se pg=(p1g)^m1…(pkg)^mk è una fattorizzazione in irriducibili Esempi di polinomi riducibili e irriducibili Classificazione affine nel caso E=C^2 e d=2: rappresentanti “canonici” uno per ogni classe di equivalenza sono X1^2+X2^2+1 , X1^2+X2^2 , X1^2+X2 , X1^2+1 , X1^2
	Venerdì	20/11/2015	Composizione di applicazioni polinomiali con applicazioni affini, restrizione di applicazioni polinomiali a sottospazi affini Immersione di K^n in K^n+1 come iperpiano H={x0=1}, stabilizzatore stab(H) per l’azione di GL(K^n+1) su K^n+1, isomorfismo stab(H)=Aff(K^n) Azione di GL(K^n+1) sullo spazio delle applicazioni polinomiali omogenee f^^ di grado 2 da K^n+1 a K (ovvero sulle forme bilineari simmetriche b su K^n+1 rappresentate dalla matrice Q) corrisponde all’azione di Aff(K^n) sullo spazio delle applicazioni polinomiali di grado 2 da K^n a K Sia A il minore nxn di Q in basso a destra: rango(Q) e rango(A) sono preservati per l’azione di stab(H) per congruenza Se K=R e σ indica la segnatura, allora |σ(Q)| e |σ(A)| sono preservati per l’azione di stab(H) per congruenza e di R* per riscalamento di Q Se K=R e si classificano le applicazioni polinomiali di grado 2 a meno di isometria affine di R^n, allora anche gli autovalori di A sono preservati dall’azione di Isom(R^n) Classificazione delle coniche affini (ossia delle applicazioni polinomiali di grado 2 da K^2 in K) su K=R,C a meno di affinità Coniche complesse a meno di affinità: retta doppia (rg(A)=rg(Q)=1), rette parallele (rg(A)=1 e rg(Q)=2), parabola (rg(A)=1 e rg(Q)=3), rette incidenti (rg(A)=rg(Q)=2), conica non degenere a centro (rg(A)=2 e rg(Q)=3) Coniche reali a meno di affinità: retta doppia (rg(A)=rg(Q)=1), rette parallele (rg(A)=1 e rg(Q)=2) immaginarie (|σ(Q)|=2) o reali (|σ(Q)|=0), parabola (rg(A)=1 e rg(Q)=3), rette incidenti (rg(A)=rg(Q)=2) complesse (|σ(Q)|=2) o reali (|σ(Q)|=0), conica non degenere a centro (rg(A)=2 e rg(Q)=3): ellisse immaginaria (|σ(A)|=2 e |σ(Q)|=3), ellisse reale (|σ(A)|=2 e |σ(Q)|=1) o iperbole (|σ(A)|=0 e |σ(Q)|=1)
Settimana 8	Lunedì	23/11/2015	Classificazione metrica (euclidea) delle quadriche reali affini (in tutte le dimensioni): x1^2+ λ2^2x2^2+...+ λρ^2xρ^2- λρ+1^2xρ+1^2-...- λr^2xr^2 (rango(A)=rango(Q)=r, |σ(Q)|= |σ(A)|=2ρ-r con λ2≥...≥λρ>0 e λρ+1≥...≥λr>0), λ1^2x1^2+...+λρ^2xρ^2- λρ+1^2xρ+1^2-...- λr^2xr^2+1 (rango(Q)=rango(A)+1=r+1, |σ(Q)|=2ρ-r+1, |σ(A)|=2ρ-r, con λ1≥...≥λρ>0 e λρ+1≥...≥λr>0), λ1^2x1^2+...+λρ^2xρ^2- λρ+1^2xρ+1^2-...- λr^2xr^2+xr+1 (rango(Q)=rango(A)+2=r+2, |σ(A)|=2ρ-r, con λ1≥...≥λρ>0 e λρ+1≥...≥λr>0) Classificazione affine delle quadriche reali affini (in tutte le dimensioni): x1^2+...+xρ^2-xρ+1^2-...-xr^2 (rango(A)=rango(Q)=r, |σ(Q)|= |σ(A)|=2ρ-r), x1^2+...+xρ^2-xρ+1^2-...-xr^2+1 (rango(Q)=rango(A)+1=r+1, |σ(Q)|=2ρ-r+1, |σ(A)|=2ρ-r), x1^2+...+xρ^2-xρ+1^2-...-xr^2+xr+1 (rango(Q)=rango(A)+2=r+2, |σ(A)|=2ρ-r) Classificazione affine delle quadriche complesse affini (in tutte le dimensioni): x1^2+...+xr^2 (rango(A)=rango(Q)=r), x1^2+...+xr^2+1 (rango(Q)=rango(A)+1=r+1), x1^2+...+xr^2+xr+1 (rango(Q)=rango(A)+2=r+2) Esempi: luoghi di zeri V(f) di quadriche reali non degeneri (ossia con rg(Q) massimo) in dimensione 3
	Martedì	24/11/2015	Coni e cilindri in spazi affini Quadriche degeneri come coni/cilindri su quadriche non degeneri (di dimensione minore) Esercizio su coniche dipendenti da un parametro
	Venerdì	27/11/2015	Filmato di Ghys sulle simmetrie
Settimana 9	Lunedì	30/11/2015	Esercizi del Foglio 4: n. 6.1 (e dimostrazione che le simmetrie dell’ellisse sono quelle ovvie), 6.2, 6.3, 6.4, 6.5 (e richiamo sul significato di parametrizzazione regolare di una curva), 7.1(ii-iii), 7.3 (e richiamo sulle parametrizzazioni rigate di superfici), 7.4 (e richiamo sull’equazione di un cono)
	Martedì	1/12/2015
	Venerdì	4/12/2015	Rappresentazione dello spazio in prospettiva Definizione di spazio proiettivo P(V) associato ad uno spazio vettoriale V, spazio proiettivo come insieme delle rette in V passanti per O Disegno di RP^1(come semicirconferenza con gli estremi identificati) e di RP^2 (come semisfera incollata su un nastro di Moebius) Spazi proiettivi di dimensione 1: KP^1=KÈ{∞} Sottospazi proiettivi, intersezione di sottospazi proiettivi, span proiettivo di un sottoinsieme di uno spazio proiettivo Formula di Grassmann proiettiva
Settimana 10	Lunedì	7/12/2015	Proiettività, gruppo PGL(V) delle proiettività di P(V) come quoziente di GL(V) per i multipli dell’identità Identificando KP^1 con KÈ{∞}, le proiettivita di KP^1 sono le trasformazioni razionali fratte (di grado al più 1 al numeratore e denominatore) Descrizione delle proiettivita di RP^1 (diverse dall’identità): proiettività con 2 punti fissi, con 1 punto fisso e senza punti fissi, disegni Descrizione delle proiettivita di CP^1 (diverse dall’identità): proiettività con 2 punti fissi e con 1 punto fisso, disegni Sistemi lineari (anche detti ``fasci’’) di coniche affini Esercizio su coniche passanti per 5 punti assegnati usando un sistema lineare di coniche
	Venerdì	11/12/2015	Passaggio alle coordinate omogenee su P(V), coordinate omogenee standard su KP^n Insiemi di punti proiettivamente indipendenti in P(V), riferimenti proiettivi, punto unità Spazio proiettivo numerico e riferimento proiettivo standard Basi adattate ad un riferimento proiettivo, coordinate omogenee indotte da un riferimento proiettivo Esistenza e unicità di un proiettività che mandi un riferimento proiettivo P in un riferimento proiettivo P’ Dato un sottospazio vettoriale U di V, identificazione di {sottospazi affini di V con giacitura U} con V/W Scelto un iperpiano affine E in V che non contenga l’origine (con giacitura E0), decomposizione P(V)= i(E)ÈP(E0) di P(V) in una parte al finito i(E) (punti propri) e in una parte all’infinito P(E0) (punti impropri); per ogni sottospazio vettoriale U di V, decomposizione di P(U) in una parte al finito i(EÇU) e di una parte all’infinito P(E0ÇU); struttura affine su P(V)\P(E0) indotta da i:E®i(E) Dato un iperpiano vettoriale W in V, struttura canonica su P(V)\P(W) di spazio affine sullo spazio vettoriale Hom(V/W,W)
	Lunedì	13/12/2015	Convergenza negli spazi proiettivi (reali e complessi); tutte le successioni hanno estratte convergenti Esercizio per casa: unicità del limite Carte affini e cambi di carta; la convergenza si puo` controllare nella carte affini (per la nozione standard di convergenza in Kn) Scelta una decomposizione KP^n=K^nÈP(H0), : aderenza al finito e all’infinito di un sottoinsieme di K^n; esempio della cuspide S={y^2=x^3} in R^2 Polinomi omogenei F e ipersuperfici Z(F) in P(V), iperpiani e sottospazi proiettivi De-omogeneizzazione f di F e Z(f)=Z(F) ÇK^n Omogeneizzazione F di f, parte finita Z(f)=Z(F) ÇK^n e chiusura proiettiva algebrica Z(F) di Z(f); punti impropri Z(F) ÇP(H0) L’aderenza è contenuta nella chiusura proiettiva algebrica; contro esempio nel caso di una conica reale
Settimana 11	Martedì	14/12/2015	Birapporto di una quaterna di punti in KP^1, invarianza proiettiva, birapporto di una quaterna di punti distinti in uno spazio proiettivo di dimensione 1 (in coordinate), esempio di β(0, ∞,1,t)=t in KP^1 Corrispondenza fra affinità di P(V)\P(W) e proiettività di P(V) che mandano P(W) in sé, esempio di KP^n
	Venerdì	17/12/2015	Definizione di sistema lineare (o fascio) di iperpiani e di ipersuperfici proiettive di grado d, definizione di luogo base di un sistema lineare Esercizi 2.1, 2.2, 2.3, 2.8 dal libro [FFP] e Esercizio 9.1(i,iv,v) dal Foglio 5
			Interruzione natalizia
	Venerdì	8/1/2016	Applicazioni proiettive associate ad applicazioni lineari suriettive: proiezioni, centro di proiezione Applicazioni proiettive associate ad applicazioni lineari non nulle Coni proiettivi, equazione di un cono su una ipersuperficie Spazio delle equazioni delle ipersuperfici proiettive di grado d in KP^n come P(K[X0,…,Xn]d), azione di PGL(K^n+1) su di essa per composizione Spazio delle equazioni delle quadriche proiettive in KP^n come P(Symn+1(K)), azione di PGL(K^n+1) su di essa per congruenza Quadriche degeneri (ossia di rango r<n+1) sono coni su quadriche non degeneri di dimensione r-1 Classificazione proiettiva delle quadriche in CP^n in base al rango r (forma canonica: X0^2+…+Xr-1^2) Classificazione proiettiva delle quadriche in RP^n in base a rango r e segnatura |σ|: (se 2a=r+|σ| e 2b=r-|σ|, la forma canonica (X0^2+…+Xa-1^2)-( Xa^2+…+Xa+b-1^2) ) Classificazione delle quadriche affini come classificazione proiettiva delle coppie (Q,H), con Q quadrica e H iperpiano che non contiene una componente di Q Deduzione della classificazione affine delle coniche reali dalla classificazione proiettiva delle coppie (C,L), con C conica proiettiva e L retta nel piano proiettivo che non contenga una componente di C
Settimana 12	Lunedì	11/1/2016	Molteplicità di intersezione in un punto tra una retta e una ipersuperficie in uno spazio affine, buona definizione Rette tangenti in un punto a una ipersuperficie in uno spazio affine Molteplicità di un punto di una ipersuperficie in uno spazio affine, punti lisci e punti singolari Spazio tangente in un punto ad una ipersuperficie in uno spazio affine Tangenti principali in un punto singolare ad una ipersuperficie in uno spazio affine Invarianza delle molteplicità di intersezione, molteplicità di un punto, spazio tangente e tangenti principali per affinità Esempi di curve reali affini piane: y-x^2=0, y^2-x^3=0, y^2-x^3-x^2=0, y^2-x^5=0 non sono a due a due affinemente equivalenti Equazione omogeneizzata di una quadrica affine
	Martedì	12/1/2016	Molteplicità di intersezione in un punto tra una retta e una ipersuperficie in uno spazio proiettivo Le molteplicità di intersezione tra un retta e una ipersuperficie proiettive si possono calcolare in uno spazio affine (non dimostrato, ma visto in un esempio) Rette tangenti in un punto a una ipersuperficie in uno spazio proiettivo Molteplicità di un punto di una ipersuperficie in uno spazio proiettivo, punti lisci e punti singolari Spazio tangente in un punto ad una ipersuperficie in uno spazio proiettivo Tangenti principali in un punto singolare ad una ipersuperficie in uno spazio proiettivo Esempio: spazio tangente ad una quadrica proiettiva in un suo punto Teorema di Desargues nel piano proiettivo, dimostrazione di una direzione (triangoli in prospettiva centrale sono in prospettiva assiale) Principio di dualità negli spazi proiettivi, e in particolare nel piano proiettivo L’altra implicazione di Desargues usando la dualità
	Giovedì, ore 9:00-11:00	14/1/2016	Teorema di Pappo Esercizi 2.16 e 2.18 dal libro FFP Esercizio 12.3 dal foglio 6

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