Diario delle lezioni
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Settimana 1 |
Lunedì |
30/9/2013 |
Spazi proiettivi: definizione, dimensione, spazio proiettivo numerico,
retta proiettiva (rappresentazione grafica). |
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Martedì |
1/10/2013 |
Quoziente di spazi vettoriali.
Proiezione canonica. Basi e dimensione. Decomposizione del proiettivo numerico
Pn come unione di Kn,
Kn-1,…, K1, K0. Formula di Grassmann
proiettiva. Comportamento di due rette in un piano
affine e nella sua chiusura (ossia in un piano proiettivo). Sottospazi proiettivi descritti da
equazioni lineari omogenee. Intersezioni di sottospazi proiettivi con lo
spazio affine Pn-{x0=0}
descritte da equazioni lineari (non omogenee). Applicazioni lineari fra spazi
proiettivi. Gruppo delle proiettività di P(V) e corrispondenza con PGL(V). Nucleo dell’omomorfismo suriettivo
GL(V) → PGL(V). Descrizione esplicita delle
proiettività di P1 come trasformazioni razionali fratte di K.
(Quelle che stabilizzano il punto all’infinito sono le affinità di K.) Corrispondenza fra applicazioni
lineari proiettive invertibili P(V)→P(W) che mandano P(H) in P(J) e
affinità di P(V)-P(H)→P(W)-P(J) [solo enunciato per ora]. |
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Giovedì |
3/10/2013 |
Corrispondenza fra applicazioni lineari proiettive invertibili P(V)→P(W) che mandano P(H) in P(J) e
affinità di P(V)-P(H)→P(W)-P(J) [con
dimostrazione] Corrispondenza fra Aut(P(V)-P(H)) automorfismi
affini e Stab(P(H)) proiettività che mandano P(H)
in sé; esempi in P1K e PnK Esercizio 1-2-3-4a del Foglio 1. |
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Settimana 2 |
Lunedì |
7/10/2013 |
Punti in posizione generale. |
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Martedì |
8/10/2013 |
Teorema di Pappo. |
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Giovedì |
10/10/2013 |
Esercizi del Foglio 2. |
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Settimana 3 |
Lunedì |
14/10/2013 |
Proiezioni. Teorema di Desargues. Rapporto semplice. Birapporto. |
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Martedì |
15/10/2013 |
Richiami sul duale di uno spazio vettoriale V. Isomorfismo canonico fra V e V** (per V di dimensione finita). Annullatore di un sottospazio vettoriale W di V: Ann(Ann(W))=W e dim(W)+dim(Ann(W)=dim(V). Duale Pv di uno spazio proiettivo P:
relazione fra P(V*) e P(V)v. Annullatore di un sottospazio proiettivo: relazione fra P(Ann(W)) e Ann(P(W)). Esempi di dualità in spazi proiettivi di dimensione 2 e 3. Enunciato di Pappo-duale. |
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Giovedì |
17/10/2013 |
Esercizi |
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Settimana
4 |
Lunedì |
21/10/2013 |
A UFD ==> A[x] UFD Algebra delle applicazioni polinomiali da spazi affini in K; loro luoghi
di zeri |
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Martedì |
22/10/2013 |
Ipersuperfici affini, divisori primi, divisore
associato ad una ipersuperficie affine Corrispondenza (su campo alg.chiuso) fra ipersuperfici proiettive e divisori associati Ipersuperfici proiettive, divisori primi, divisore
associato ad una ipersuperficie proiettiva Corrispondenza (su campo alg.chiuso) fra ipersuperfici proiettive e divisori associati Relazioni fra ipersuperfici proiettive e ipersuperfici affini (usando carte affini) |
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Giovedì |
24/10/2013 |
Esercizi 1, 2, 4 del Foglio 3. Molteplicità di una ipersuperficie affine in un
punto. Punti lisci e punti singolari di una ipersuperficie
affine. L’intersezione di una ipersuperficie affine [f]
di grado d con un sottospazio affine S non contenuto in V(f) e` una ipersuperficie affine nel sottospazio S di grado al più
d. Molteplicità di intersezione in un punto di una retta con una ipersuperficie affine. La molteplicità di intersezione di
una ipersuperficie [f] in un punto P con una retta
L è maggiore o uguale alla molteplicità di P in [f]; se il campo K è infinito, esistono (infinite) rette L per cui valga l’uguale. Derivate parziali e sviluppo di Taylor al primo ordine. |
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Settimana
5 |
Lunedì |
28/10/2013 |
Ipersuperfici proiettive. Componenti irriducibili e molteplicità.
Divisore e grado associati ad una ipersuperficie proiettiva. |
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Martedì |
29/10/2013 |
Equazione in coordinate del piano tangente proiettivo
in un punto ad un'ipersuperficie proiettiva. |
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Giovedì |
31/10/2013 |
Esercizi |
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Settimana
6 |
Lunedì |
4/11/2013 |
Risultante di due polinomi in una variabile su un dominio A: definizione
e proprietà Teorema di Bézout (in forma debole) Irriducibilità delle ipersuperfici non
singolari |
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Martedì |
5/11/2013 |
Flessi di una curva piana; polinomio hessiano
(definizione e proprietà), curva hessiana (buona
definizione) Cubiche piane non singolari (su campo algebricamente chiuso) Forma di Weierstrass per una cubica piana non
singolare Flessi di una cubica piana non singolare, tangenti alla cubica passanti
per un flesso Equivalenza proiettiva di cubiche non singolari |
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Giovedì |
7/11/2013 |
Invariante j e classificazione delle cubiche non singolari (su campo
algebricamente chiuso di caratteristica diversa da 2 e 3) Esercizi |
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Prove in itinere |
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Settimana 7 |
Lunedì |
18/11/2013 |
Correzione dello scritto di esonero Distanze, spazi metrici, esempi (distanza discreta, distanze dp e d∞ su Rn, spazi lp delle successioni p-sommabili e
spazio l∞ delle successioni limitate, distanza troncata) Palle aperte, sottoinsiemi aperti, caratterizzazione degli aperti Definizione “classica” di continuità ed equivalenza con la definizione
“topologica” di continuità Omeomorfismi Tre proprietà formali dell’insieme degli aperti |
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Martedì |
19/11/2013 |
Topologie e spazi topologici: definizioni, aperti, punti. Esempi: topologia discreta e indiscreta su un insieme, topologia di Sierpinski su {0,1}, topologia indotta da una metrica,
topologia euclidea su Rn, topologia della
semicontinuità superiore su R, topologia di Sorgenfrey
su R, topologia cofinita su un insieme, topologia
uniforme su C([0,1],R) Definizione di topologia metrizzabile. Applicazioni continue fra spazi topologici. La composizione di
applicazioni continue è continua. Omeomorfismi. Esempi di applicazioni continue fra X=Q con le topologie
discreta, indiscreta, euclidea. Intorni di un punto: definizione, proprietà
formali. Continuità di un’applicazione in un punto. Un’applicazione è continua se
e solo se è continua in ogni punto. |
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Giovedì |
21/11/2013 |
Esercizi |
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Settimana
8 |
Lunedì |
25/11/2013 |
Chiusi, proprietà Esempi: topologia cofinita, topologia di Zariski su An Parte interna, chiusura, frontiera Sottoinsiemi densi Esempi: spazio metrico, R euclideo, topologie discreta e
indiscreta, topologia cofinita, topologia della
semicontinuità superiore Topologia di sottospazio, continuità dell’inclusione, topologia di
sottospazio in uno spazio metrico Esempi e controesempi di chiusi e aperti dentro
X e dentro un sottospazio Z di X |
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Martedì |
26/11/2013 |
Sia B contenuto in Z, e Z contenuto in X. Se Z è aperto in X, allora: B aperto in X se e solo se B aperto in Z. Se Z è chiuso in X, allora: B chiuso in X se e solo se B chiuso in Z. Se Z è un intorno di x in X, allora: B è un intorno di x in X se e solo
se B è un intorno di x in Z. La chiusura di B in Z è l’intersezione della chiusura di B in X con Z. Limiti di successioni in uno spazio topologico. Possibile non unicità del
limite. Esempio di successioni in R con la topologia della semicontinuità
superiore. Applicazioni continue da R euclideo in R con la topologia
della semicontinuità superiore. Basi per una topologia. Criterio affinché B sia una base per una qualche
topologia. Topologie più o meno fini su un insieme X. Esempio: topologia di Sorgenfrey su R. Intersezione di topologie su un insieme fissato X: topologia meno fine
tra quelle su X che soddisfino una data proprietà. Esempio: topologia di
sottospazio. Topologia su X generata da un sottoinsieme di P(X). Unione disgiunta di spazi topologici. Proprietà. Prodotto di due spazi topologici. Proprietà (senza dimostrazione, per
ora). |
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Giovedì |
28/11/2013 |
Applicazioni aperte e chiuse. Prodotto di due spazi topologici: proprietà (con dimostrazione). Esercizi del tutoraggio. |
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Settimana
9 |
Lunedì |
2/12/2013 |
Esercizi sui prodotti. Spazi di Hausdorff (T2). Esempi e controesempi: spazi metrizzabili (T2), topologia indiscreta (non T2), insiemi
infiniti con topologia cofinita (non T2), topologia
di Zariski sullo spazio affine su campo infinito
(non T2), C(R, R) con la topologia della convergenza
puntuale (T2) Sottospazi, prodotti, unioni disgiunte di spazi T2 sono T2; i punti nei
T2 sono chiusi; topologie più fini di T2 sono T2 X T2 se e solo se la diagonale nel prodotto XxX
è chiusa Se X è T2, i limiti di successioni (se esistono) sono unici Sistemi fondamentali di intorni Proprietà N1 (avere sistemi di intorni
numerabili). Esempi e contro esempi: spazi topologici finiti (N1), spazi metrizzabili (N1), insiemi infiniti con topologia cofinita (non N1), C(R, R) con la topologia della convergenza puntuale (non N1) Se X è N1, la chiusura di un sottospazio A è l’insieme dei limiti delle
successioni contenute in A Se X è N1, U e` un intorno di x se e solo se ogni successione convergente
ad x è definitivamente dentro U |
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Martedì |
3/12/2013 |
Proprietà di N1: sottospazi, unioni disgiunte, prodotti Continuità per successioni; f continua implica f continua per successioni Esempio: X=(R, topologia co-numerabile); allora una successione converge se e solo
se è definitivamente costante; quindi f:X-->Y è sempre continua per
successioni; invece g:X-->(R, , topologia classica) è continua se e
solo se è costante Se X è N1, f:X→Y è continua se e
solo se f è continua per successioni Connessione per archi. Esempi: topologia indiscreta (connesso per archi), topologia discreta su
un insieme con almeno due elementi (non connesso per archi), convessi di Rn (connessi per archi), topologia meno fine di una
connessa per archi è connessa per archi Immagine di un connesso per archi (tramite un’applicazione continua) è
connesso per archi Un sottoinsieme non vuoto di R è connesso per archi se e solo se è un
intervallo Esempio: Se n>1, un aperto di Rn connesso per archi
rimane connesso per archi quando viene privato di un suo punto Esempio: Se n>1, un aperto non vuoto di Rn non è omeomorfo ad un aperto di R Esempio: (0,1), [0,1) e [0,1] non sono a due a due omeomorfi Esempio: Sn è connesso per archi se
e solo se n>0 |
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Giovedì |
5/12/2013 |
Esercizi 1-2-3-4-6 del tutoraggio. |
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Settimana
10 |
Lunedì |
9/12/2013 |
Spazi topologici connessi. Esempi: spazi discreti, spazi infiniti con
topologia cofinita, spazi indiscreti, R\{0}, Q Immagine di un connesso (tramite una mappa continua) è connesso. Chiusura di un connesso (dentro un ambiente) è connessa. [0,1] è connesso; un connesso per archi è connesso. I sottoinsiemi di R connessi sono gli intervalli (e
quindi sono anche connessi e connessi per archi) Se X è connesso e un’applicazione continua da X in R assume valori
negativi e positivi, allora si annulla in qualche punto di X La connessione invariante per omeomorfismo. Prodotto di connessi è connesso. Unione disgiunta di (almeno due) spazi
non vuoti è sconnessa. Componenti connesse. Esempi: componenti connesse dell’unione disgiunta di
connessi, Q, spazi discreti, R\{0} Unione di sottoinsiemi connessi con uno stesso punto in comune è
connessa. Uno spazio è unione di componenti connesse a due a due disgiunte. Le componenti
connesse sono chiuse. Se ogni punto ha un intorno
connesso, le componenti connesse sono anche aperte. Esempio: aperti di Rn |
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Martedì |
10/12/2013 |
Ricoprimenti, ricoprimenti aperti, sottoricoprimenti Testare un aperto o la continuità di un’applicazione usando un
ricoprimento aperto Compattezza. Invarianza per omeomorfismi. Esempi: spazi finiti sono compatti; spazi indiscreti sono compatti; spazi
discreti sono compatti se e solo se sono finiti; spazi con topologia cofinita sono compatti Esempio: uno spazio metrico compatto è limitato Famiglie di aperti di X che coprono un sottospazio Y; compattezza di Y Immagine di un compatto tramite un’applicazione continua è compatta L’intervallo [0,1] è compatto Un sottoinsieme chiuso di un compatto è compatto; una unione finita di
compatti è compatta Un sottoinsieme di R è compatto se e solo se è chiuso e
limitato Un’applicazione continua f:X→R con X compatto ammette massimo e minimo L’intersezione di una catena numerabile discendente di chiusi compatti in
X è non vuota Esempio: X più che numerabile con topologia co-numerabile;
ogni cammino continuo in X è costante |
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Giovedì |
12/12/2013 |
Esercizi Il prodotto di due compatti è compatto Un sottoinsieme di Rn è compatto se e
solo se è chiuso e limitato (Heine-Borel) |
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Settimana
11 |
Lunedì |
16/12/2013 |
Solo enunciati: Il prodotto di due compatti è compatto; Un sottoinsieme
di Rn è compatto se e solo se è chiuso e
limitato (Heine-Borel) Sottosuccessioni e punti di accumulazione di successioni;
caratterizzazione dei punti di accumulazione di una successione Se una sottosuccessione converge a x, allora la successione accumula a x.
Se lo spazio è (N1), vale anche il viceversa. Se lo spazio è (N1), la chiusura di un sottoinsieme Y è l’insieme dei
limiti di successioni in Y, ovvero l’insieme dei punti di accumulazione di
successioni in Y. L’intersezione di numerabili compatti decrescenti, chiusi e non vuoti è
non vuota In uno spazio compatto, ogni successione ha punti di accumulazione Uno spazio compatto e (N1) è compatto per successioni Esempio: F={applicazioni f:[0,1]-->[0,1]}
non è compatto per successioni (mostrato), ma è compatto (senza
dimostrazione) Spazi a base numerabile (N2). Esempi: R è (N2); X (N2)==> X (N1) e X ha un sottoinsieme
denso e numerabile; X metrizzabile ==> X (N1); X
metrizzabile e con un sottoinsieme denso e
numerabile ==> X (N2) Se X è (N2), ogni ricoprimento aperto ha un sottoricoprimento numerabile Se X è (N2), allora X è compatto se e solo se è compatto per successioni [Se X è metrizzabile, allora X è compatto se e
solo se è compatto per successioni (solo enunciato)] L’immagine di un compatto per successione tramite un’applicazione
continua è compatto per successioni Se X è compatto per successioni e f:X--> R è continua, allora
f assume massimo e minimo Esempi: l2={successioni reali a quadrato sommabile} con la distanza l2 ha come
sottoinsieme denso e numerabile l’insieme delle successioni a termini
razionali e definitivamente nulle Lasciato come esercizio: l∞={successioni reali
limitate} con la distanza del sup non ha
sottoinsiemi densi numerabili |
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Martedì |
17/12/2013 |
Esempio: l∞={successioni reali limitate} con la distanza del sup non ha sottoinsiemi densi numerabili, dunque non è a
base numerabile Esempio: lo spazio delle funzioni f:[0,1]-->[0,1] a supporto al più
numerabile, con la topologia della convergenza puntuale, è compatto per
successioni ma non è compatto Teorema fondamental dell’algebra: enunciato Strategia della dimostrazione: (a) un’applicazione polinomiale non
costante da C a C si estende ad un’applicazione
continua da P1C a P1C e dunque chiusa;
(b) basta dimostrare che l’applicazione è anche aperta per concludere (usando
la connessione di P1C) che è suriettiva, e quindi il
polinomio ha una radice. Dimostrazione di (a) e dimostrazione che P1C è omeomorfo a S2 (usando la
proiezione stereografica); cenni dell’idea per dimostrare che un’applicazione
analitica complessa è aperta |
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Giovedì |
19/12/2013 |
Esercizi del Foglio 10. |
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Vacanze di Natale |
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Settimana 12 |
Martedì |
7/1/2014 |
Identificazioni, insiemi saturi e saturati Proprietà universale delle identificazioni Quozienti per relazioni di equivalenza e topologia quoziente Esempi Contrazioni Esempi |
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Giovedì |
9/1/2014 |
Esercizi Esempio dello spazio proiettivo reale e complesso come quoziente |
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Settimana 13 |
Lunedì |
13/1/2014 |
Gruppo degli omeomorfismi di uno spazio topologico Quoziente per l’azione di un gruppo di omeomorfismi La proiezione al quoziente per l’azione di un gruppo è aperta; se il
gruppo è finito, è anche chiusa Esempi Un quoziente X/G è Hausdorff se e solo se la
relazione è chiusa in XxX Se X è Hausdorff e G è finito, allora X/G è Hausdorff Esercizi |
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Martedì |
14/1/2014 |
Esercizi |
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Giovedì |
16/1/2014 |
Secondo esonero: ore 9-11 in Aula 3 |
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