Geometria – Corsi di Laurea in Fisica (canale D-K)
Anno accademico 2017/2018

Diario delle lezioni

Giovedì Aula 7, ore 11-13	28/9/2017 M	Numeri naturali, interi, razionali (e reali): loro proprietà Nozione di campo Q(\sqrt{2}), Q (\sqrt{p}) e Q (i) Numeri complessi come R(i) Coniugio, modulo, proprietà del modulo Forma cartesiana e polare di un numero complesso, argomento Prodotto di numeri complessi in forma polare Un numero complesso non nullo ha n radici n-esime Enunciato del teorema fondamentale dell'algebra (senza dimostrazione).
Giovedì Aula 7, ore 11-13	5/10/2017 M	Sistemi di m equazioni lineari a coefficienti in un campo K con n incognite, omogenei e non omogenei, insieme delle soluzioni come sottoinsieme di K^n Matrice A dei coefficienti associata ad un sistema lineare (m righe e n colonne) e vettore B di K^m dei termini noti, applicazione lineare f: K^nšK^m associata alla matrice A, prodotto di una matrice per un vettore, soluzioni del sistema lineare come X in K^n tali che f(X)=B, ossia AX=B Matrice \tilde{A}=(A|B) completata, matrici a scala e soluzioni di un sistema lineare con A a scala Soluzioni di un sistema lineare AX=B come somma di una soluzione particolare X' di AX=B con una qualunque soluzione del sistema lineare omogeneo associato AX=O Sistemi lineari equivalenti, tre operazioni sulle equazioni di un sistema lineare ossia sulle righe di \tilde{A}: scambio di righe, moltiplicazione di una riga per uno scalare non nullo, sommare ad una riga un multiplo di un'altra riga Procedimento di riduzione di \tilde{A} ad una matrice equivalente \tilde{A}' a scala (riduzione di Gauss) tramite le tre operazioni descritte prima.
Giovedì Aula 7, ore 11-13	19/10/2017 M	Applicazioni lineari da K^n a K^m, matrici e moltiplicazione di matrice per vettore, applicazione lineare L_M associata alla matrice M Matrice Mf associata ad una applicazione lineare f: K^nšK^m, corrispondenza biunivoca tra L(K^n,K^m) e Mn,m(K) Immagine di una applicazione lineare LM, un insieme di colonne di è minimale se e solo se nessuna è combinazione lineare delle altre Le operazioni elementari sulle righe di M preservano le relazioni lineari sulle colonne, metodo per trovare un insieme minimale di colonne di M che generino l'immagine di LM
Giovedì Aula 7, ore 11-13	2/11/2017 M	Invertibilità di matrici A quadrate 2x2, interpretazione geometrica della quantità d2(A)=A11A22-A12A21 come rapporto di aree (con segno). Proprietà algebriche della funzione d2:M2,2(R)šR. Funzioni dn:Mn,n(R)šR multilineari sulle colonne e alterne: proprietà rispetto ad operazioni elementari sulle colonne, metodo di calcolo per riduzione a scala sulle colonne Matrice identità In associata all’identità su K^n Unicità della funzione dn multilineare e alterna sulle colonne e tale che dn(In)=1
Venerdì Aula 7, ore 8-10	1/12/2017 M	Definizione di determinante (con lo sviluppo di Laplace rispetto alla prima riga) Il determinante è multilineare alterno sulle colonne e vale 1 sulla matrice identità Sviluppi di Laplace del determinante rispetto alle righe e alle colonne, esempi Det(A)=Det(A^T) Det(A)=0 se e solo se A non è invertibile Teorema di Binet: det(AB)=det(A)det(B)=det(BA) Per A invertibile, det(A^-1)=1/det(A) Matrici simili e loro determinante det(PAP^-1)=det(A)
Martedì Aula 7, ore 9-11	5/12/2017 M	Definizione di spazio vettoriale su campo K, esempi (K^n, K[t], K[t]≤d, K^S) , proprietà elementari Definizione di sottospazio vettoriale, esempi (K[t]≤d, sottospazio dei polinomi che si annullano in a), un sottospazio vettoriale è uno spazio vettoriale Intersezione (qualunque) di sottospazi vettoriali è un sottospazio vettoriale Combinazioni lineari, span di un sottoinsieme di vettori S Span(S) è un sottospazio vettoriale, Span(S) è il più piccolo sottospazio vettoriale che contenga S Insiemi di generatori, esempi, spazi vettoriali finitamente generati (f.g.) Insiemi di vettori linearmente indipendenti, esempi Definizione di base Teorema del completamento (in uno spazio vettoriale V finitamente generato, un insieme A di vettori linearmente indipendenti può essere completato ad una base aggiungendo un numero finito di vettori presi da un insieme dato S di generatori per V) Esistenza delle basi (per spazi vettoriali f.g.) Le basi di uno spazio vettoriale f.g. hanno tutte lo stesso numero (finito) di elementi Definizione di dimensione di uno spazio vettoriale su un campo K
Giovedì Aula 7, ore 11-13	7/12/2017 M	Esempi di basi di K^n, di K[t]≤d Le nozioni di indipendenza lineare, generatori, basi, dipendono dal campo: esempio di C^n come spazio vettoriale su C, su R, su Q Cardilnalità di insiemi linearmente indipendenti e di insiemi generatori in spazi vettoriali di dimensione n data Esempio: K[t] non è finitamente generato, una base infinita di K[t] Insiemi A linearmente indipendenti (resp. generatori, basi) ed espressione di un vettore come combinazione lineare di elementi in A Un sottospazio vettoriale W di V (con V finitamente generato) soddisfa dim(W) ≤dim(V), e vale dim(W)=dim(V) se e solo se W=V Somma di sottospazi vettoriali, la somma è un sottospazio vettoriale I vettori in U+W si scrivono in modo unico come u+w se e solo se UÇW={0}; in tal caso si dice che U+W è una somma diretta e si scrive UÅW Somma e somma diretta con un numero finito di addendi Esempio: l’unione di due sottospazi vettoriali U,W di V è un sottospazio vettoriale se e solo se uno dei due è contenuto nell’altro Formula di Grassmann: in uno spazio vettoriale V finitamente generato con sottospazi U,W si ha dim(U)+dim(W)=dim(U+W)+dim(UÇW) Esempio: intersezione di sottospazi U,W di dimensione 2 in V=K^3 e in V=K^4
Martedì Aula 7, ore 9-11	12/12/2017 M	Esercizi del 4/12/2017 Matrici simmetriche e antisimmetriche Gruppi di permutazioni di n elementi
Giovedì Aula 7, ore 11-13	14/12/2017 M	Applicazioni lineari, esempi Corrispondenza (lineare) tra matrici e applicazioni lineari tra K^m e K^n Un’applicazione lineare è determinata dal suo comportamento su una base Nucleo e immagine, proprietà elementari L’immagine di f:V→W è generata da {f(vi)}, se {vi} genera V Teorema della dimensione (o del rango) e corollari Teorema di Rouché-Capelli Matrici e applicazioni lineari Rango per righe e per colonne, minori invertibili
Giovedì Aula V, ore 14-16	14/12/2017 M	Tecniche di calcolo usando la riduzione a scala Trovare basi di nucleo e immagine di LA (equazioni parametriche) Trovare equazioni cartesiane di nucleo e immagine di LA Estrarre una base da un insieme di generatori Completare un insieme linearmente indipendente ad una base, usando un insieme di generatori dato Trovare una base di U+W Trovare una base di UÇW Discutere l’esistenza e unicità di soluzioni di un sistema non omogeneo usando Rouché-Capelli e la riduzione a scala
Venerdì Aula 7, ore 8-10	15/12/2017 M	Permutazioni e segno, formula per il determinante con le permutazioni Esercizi del 12/12/2017
Martedì Aula 7, ore 9-11	19/12/2017 M	Iperpiani, intersezione di iperpiani Sottospazio generato dalle righe di A e dim(ker(LA)) Rg(A)=Rg(A^T)=massima dimensione di un minore invertibile di A Un’applicazione lineare è invertibile (isomorfismo) se e solo se è biiettiva, la composizione di applicazioni lineari è lineare Due matrici quadrate nxn sono l’una l’inversa dell’altra se e solo se AB=I Calcolo dell’inversa con l’algoritmo di Gauss-Jordan (con dimostrazione), esempio Coordinate di un vettore rispetto ad una base B di V Isomorfismo di passaggio alle coordinate Matrice che rappresenta f:V→W rispetto a basi B di V e C di W
Giovedì Aula 7, ore 11-13	21/12/2017 M	Passaggi alle coordinate e composizione di applicazioni Cambi di base Endomorfismi, similitudine, relazione di equivalenza Traccia, determinante, proprietà invarianti per similitudine Diagonalizzabilità di un endomorfismo Autovalori e autovettori Polinomio caratteristico di un endomorfismo
Giovedì Aula V, ore 14-16	21/12/2017 M	Esercizi del 18/12/2017
Venerdì Aula 7, ore 8-10	22/12/2017 M	Autospazi di un endomorfismo f, molteplicità geometrica di un autovalore Molteplicità algebrica di un autovalore Gli autospazi di f sono in somma diretta e mλ^geo(f)≤ mλ^alg(f) Criterio di diagonalizzabilità di un endomorfismo Esempi
		Pausa natalizia
Martedì Aula 7, ore 9-11	9/1/2018 M	Esercizi sulla diagonalizzazione di matrici Prodotto scalare standard su R^n, distanze, angoli, proprietà Forme bilineari simmetriche su uno spazio vettoriale V su K Esempi, esempio di forma bilineare simmetrica su K^n indotta da una matrice M simmetrica
Giovedì Aula 7, ore 11-13	11/1/2018 M	Corrispondenza tra forme bilineari simmetriche su K^n e matrici simmetriche Forma quadratica associata ad una forma bilineare Proprietà base di una forma quadratica Proprietà della norma associata ad una forma quadratica definita positiva (disuguaglianze di Cauchy-Schwarz e disuguaglianza triangolare) Duale di uno spazio vettoriale di dimensione finita, base duale, duale di una applicazione lineare, la duale di una inclusione e` suriettiva Relazione tra duale di una applicazione lineare e trasposizione di una matrice Ortogonale di un sottospazio vettoriale (rispetto ad una data forma bilineare simmetrica b), radicale di b, definizione di forma bilineare simmetrica non degenere Esempio di ortogonali di sottospazi
Giovedì Aula V, ore 14-16	11/1/2018 M	Esercizi
Venerdì Aula 7, ore 8-10	12/1/2018 M	Rappresentazione di una forma bilineare in coordinate, congruenza Traccia e determinante non sono invarianti per congruenza Una forma bilineare simmetrica è non degenere se e solo se è rappresentata da una matrice simmetrica invertibile Dimensione dell’ortogonale Proiezioni ortogonali, ortogonalizzazione di Gram-Schmidt nel caso definito positivo
Martedì Aula 7, ore 9-11	16/1/2018 M	Vettori isotropi, cono dei vettori isotropi nello spazio di Minkowski Formula di polarizzazione Esistenza di basi ortogonali, esempio Indici di positività e negatività di una forma bilineare simmetrica reale, rango e segnatura Teorema di Sylvester Isometrie, matrici ortogonali Invarianti per isometria di spazi vettoriali (V,b) muniti di forma bilineare simmetrica nel caso complesso e reale
Mercoledì Aula 7, ore 11-13	17/1/2018 M	Esercizi
Giovedì Aula 7, ore 11-13	18/1/2018 M	Endomorfismi aggiunti (esempi), esistenza e unicità dell’aggiunto nel caso non degenere Endomorfismi autoaggiunti, teorema spettrale reale Diagonalizzazione delle matrici simmetriche
Giovedì Aula V, ore 14-16	1/18/2018 M	Esercizi Dimostrazione variazionale del teorema spettrale reale Autovalori di matrici antisimmetriche e di matrici ortogonali Matrici ortogonali simmetriche

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