Programma di massima del corso
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Nozioni
fondamentali.
Insiemi, applicazioni di insiemi, immagine e immagine inversa; relazioni di
equivalenza e insiemi quoziente.
Numeri naturali e induzione; numeri interi, razionali e reali; numeri
complessi, rappresentazione geometrica.
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Spazi
vettoriali.
Spazio vettoriale numerico Rn (e Kn),
applicazioni lineari tra spazi vettoriali numerici, matrici, algebra delle
matrici, prodotto di una matrice con un vettore.
Immagine e nucleo di una matrice, sistemi lineari. Spazi vettoriali e
applicazioni lineari. Sottospazi vettoriali. Struttura di spazio vettoriale
sulle matrici e su Hom(V,W).
Combinazioni lineari, sottospazio generato (span),
indipendenza lineare, basi, dimensione. Estrazione di basi da un insieme di
generatori, completamento di insieme linearmente indipendenti a basi.
Sottospazi vettoriali tramite equazioni lineari oppure tramite sistemi di
generatori.
Immagine di una matrice e operazioni elementari sulle colonne; nucleo di una matrice
e operazioni elementari sulle righe. Riduzione di Gauss e calcolo di nucleo e
immagine di una matrice.
Formula per dim(ker(f))+dim(im(f)). Immagine inversa di
un sottospazio vettoriale. Somme e intersezioni di sottospazi vettoriali,
formula di Grassmann. Somma diretta.
Coordinate di un vettore rispetto ad una base. Rappresentazione di
un’applicazione lineari rispetto a basi date. Cambio di base e cambio di
coordinate.
Spazio vettoriale duale, base duale, dimensione. Spazio vettoriale quoziente, proiezione
canonica, basi, dimensione.
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Endomorfismi
di spazi vettoriali.
Rappresentazione di endomorfismi, cambio di base, similitudine. Traccia di un
endomorfismo.
Volume con segno in Rn (idea intuitiva). Determinante di una matrice come
rapporto di volumi con segno. Esempi in dimensione 1 e 2. Proprietà del
determinante, unicità.
Gruppi di permutazioni di n elementi, proprietà elementari, parità. Formula
classica del determinante. Sviluppi di Laplace. Formula di Binet.
Determinante di un endomorfismo.
Formula di Cramer, inversa di una matrice.
Autovalori e autovettori, autospazi, molteplicità algebrica e geometrica.
Endomorfismi diagonalizzabili e triangolabili.
Polinomi valutati su endomorfismi.
Polinomio caratteristico, teorema di Cayley-Hamilton,
gli autospazi sono in somma diretta.
Criterio di diagonalizzabilità. Criterio di triangolabilità.
Polinomio minimo. Autospazi generalizzati, invarianza
e decomposizione in somma diretta di autospazi
generalizzati. Criterio di diagonalizzabilità via
polinomio minimo.
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Forme
bilineari simmetriche (e sesquilineari hermitiane) e geometria euclidea.
Geometria dello spazio euclideo:
distanza tra due punti, norma di un vettore, angolo tra vettori, prodotto
scalare standard, proiezioni e proiezione ortogonale su un sottospazio,
riflessioni e riflessione ortogonale rispetto ad un sottospazio, isometrie
lineari.
Forme bilineari simmetriche su Kn, rappresentazione tramite matrici simmetriche.
Ortogonale di un sottospazio. Esempi di forme bilineari simmetriche (prodotto L2
sulle funzioni, prodotti sullo spazio delle matrici). Applicazioni lineari che
preservano la forma bilineare simmetrica.
Rappresentazione di una forma bilineare simmetrica in coordinate, cambio di
coordinate. Radicale di una forma bilineare simmetrica, esistenza di una base
ortogonale, sottospazi isotropi. L’applicazione Lb.
Forme bilineari simmetriche non degeneri.
Forme bilineari simmetriche reali: forme definite positive (e semi-definite
positive), proiezioni/riflessioni ortogonali, norma di un vettore rispetto ad
una base ortonormale, indici di inerzia e teorema di Sylvester.
Isomorfismo di spazi vettoriali reali tra R2n e Cn. Interpretazione reale di un endomorfismo complesso di C1. Prodotto hermitiano canonico
su Cn. Forme sesquilineari hermitiane:
risultati analoghi alle forme bilineari simmetriche reali.
Disuguaglianza triangolare e disuguaglianza di Cauchy-Schwarz.
Trasformazioni lineari ortogonali di R2 e R3. Trasformazioni unitarie.
Aggiunta di un’applicazione lineare. Rappresentazione in coordinate
dell’aggiunta. Applicazioni autoaggiunte (o hermitiana). Prodotti scalari (o hermitiani) associati ad
un’applicazione autoaggiunta.
Teorema spettrale per operatori autoaggiunti (e per
operatori hermitiani) rispetto ad un prodotto definito positivo.
Interpretazione in termini di diagonalizzazione di
matrici simmetriche (e hermitiane) e anti-simmetriche (e anti-hermitiane).
Teorema spettrale per operatori ortogonali (e unitari) rispetto ad un prodotto
definito positivo. Classificazione delle matrici ortogonali e unitarie.
Coniche e quadriche. Classificazione affine e euclidea.