Geometria – Corsi di Laurea in Fisica (canale D-K)
Anno accademico 2016/2017

Diario delle lezioni

Settimana 1	Martedì Aula 7, ore 9-11	4/10/2016 M	Descrizione del programma, dei testi consigliati da consultare e delle modalità d’esame. Insiemi, sottoinsiemi, unioni, intersezioni, prodotti; appartenenza, essere contenuto Esempi: insieme vuoto; numeri naturali; numeri interi; numeri razionali; numeri reali; numeri complessi (solo definizione); intervalli aperti, semiaperti e chiusi; sottoinsieme (n) dei multipli interi di n Applicazioni (anche dette “funzioni”) tra insiemi, dominio e codominio, immagine di un sottoinsieme del dominio, controimmagine di un sottoinsieme del codominio Iniettività, suriettività, biunivocità, applicazione inversa di una applicazione biunivoca Esempi: applicazione “identità”, applicazione “inclusione” di un sottoinsieme Composizione di applicazioni, associatività della composizione Grafico di una applicazione
	Giovedì Aula 7, ore 11-13	6/10/2016 M	Relazioni su insiemi, relazioni di ordine (riflessive, antisimmetriche e transitive), relazioni di equivalenza (riflessive, simmetriche e transitive) Esempi: relazione d’ordine ≤ sull’insieme Z; fissato un insieme Y, relazione d’ordine ⊂ sull’insieme X dei sottoinsiemi di Y; dato un intero N≥2, relazione di equivalenza ≡N (essere congrui modulo N) su Z; relazione di equivalenza ℛ sull’insieme W={(n,m)∊Z | m≠0} definita come (n,m)ℛ(p,q) se nq=mp Partizioni di un insieme X, classe di equivalenza di un elemento x di X associata ad una relazione di equivalenza, partizione di X in classi di equivalenza indotta da una relazione di equivalenza ~ su X, insieme quoziente X/~ Esempio: partizione di Z indotta dalla relazione di equivalenza ≡N; insieme quoziente Z/(N) indotto dalla relazione ≡N su Z; insieme Q dei razionali come insieme quoziente W/ℛ Operazioni di somma e moltiplicazioni su Z, elemento neutro 0 per la somma, elemento neutro 1 per la moltiplicazione, opposto –n di n; operazioni di somma e moltiplicazione sull’insieme Z/(N), elemento neutro [0] per la somma, elemento neutro [1] per la moltiplicazione, opposto [-n] di [n] Esempio: in Z se n·m=0, allora n=0 oppure m=0; in Z/(12) si ha [3]·[4]=[12]=[0]; se p≥2 è un numero primo, allora in Z/(p), se [n]·[m]=[0], necessariamente [n]=[0] oppure [m]=[0] Dimostrazioni per induzione: infiniti enunciati P0, P1, P2, P3 …, passo iniziale P0, passo induttivo: considero vero Pn e dimostro Pn+1 Esempio di enunciato Pn: 0+1+2+…+n=n(n+1)/2
	Venerdì Aula 7, ore 9-11	7/10/2016 M	Numeri complessi, bigezione con R^2, parte reale Re(z) e parte immaginaria Im(z) di un numero complesso z Addizione, moltiplicazione, inverso moltiplicativo z^-1 di un numero complesso z=a+ib Definizione di campo (K,+,·) Esempi di campo: Q, R, C (per esercizio, se p è un primo, Z/(p) è un campo) Rappresentazione di un numero complesso nel piano, addizione con la regola del parallelogramma Modulo e argomento di un numero complesso, forma polare di un numero complesso Moltiplicazione di due numeri complessi espressi in forma polare Coniugato di un numero complesso, proprietà Polinomi p(X) in una indeterminata X a coefficienti in un campo K, grado deg(p) di un polinomio p(X) non nullo; divisione euclidea di polinomi, polinomi irriducibili Radici di un polinomio, teorema di Ruffini Teorema fondamentale dell’algebra (solo enunciato); ogni polinomio di grado >0 a coefficienti complessi si scrive come prodotto di polinomi di grado 1 Esempio/esercizio: esistono polinomi a coefficienti razionali irriducibili di grado d per ogni d>0 (per esempio, p(X)=X^d+2; asserzione non dimostrata in classe) Polinomi a coefficienti reali hanno radici reali oppure complesse coniugate Ogni polinomio di grado >0 a coefficienti reali si scrive come prodotto di polinomi irriducibili a coefficienti reali di grado 1 oppure 2
Settimana 2	Martedì Aula 7, ore 9-11	11/10/2016 M	Esempio: K^n, operazione di somma e di moltiplicazione per un numero in K; interpretazione di elementi di R^2 come spostamenti nel piano e di somma in R^2 come composizione di spostamenti Definizione di spazio vettoriale V su un campo K: operazioni di somma tra vettori, di moltiplicazione di un vettore per uno scalare, elemento neutro o per la somma di vettori Proprietà degli spazi vettoriali: 0·v=o; unicità del vettore o neutro per la somma; unicità dell’opposto di v; quindi uguale a –v:=(-1)·v Esempi: K^n come spazio vettoriale su K; C come spazio vettoriale su R; K[t]={polinomi in t a coefficienti in K } e K[t]≤d={0}∪{polinomi in t a coefficienti in K di grado al più d} come spazi vettoriali su K; Fun(X,K)={applicazioni f:X→K} come spazio vettoriale su K (per X insieme non vuoto) Definizione di sottospazio vettoriale W di uno spazio vettoriale V su K; un sottospazio vettoriale W di V su K con le operazioni di somma e moltiplicazione per scalare indotte da V è uno spazio vettoriale su K Esempi: K[t]≤d come sottospazio vettoriale su K di K[t]; dati a1,a2,…,an∊K, esempio di W:={v∊V|a1v1+…+anvn=0} come sottospazio vettoriale di V=K^n; controesempio: U:={v∊V|a1v1+…+anvn=1} non è un sottospazio vettoriale di V=K^n; rette per l’origine come sottospazi vettoriali del piano; controesempio: W={(x,y)∊R2|y=x^2} non e un sottospazio vettoriale di R^2 in quanto w:=(1,1)∊W e λ:=2∊K ma λ·w=(2,2)∉W esempio: per X insieme e x0∊X, il sottoinsieme W={f:X→K applicazione|f(x0)=0} è un sottospazio vettoriale su K di Fun(X,K) L’intersezione ∩Wi di sottospazi vettoriali {Wi} di V su K è un sottospazio vettoriale di V su K Esempio: il sottoinsieme W di V=K^n contenente i vettori v=(v1,v2,…,vn) le cui entrate v1,v2,…,vn soddisfino una collezione qualunque di equazioni lineari omogenee del tipo a1v1+…+anvn=0 è un sottospazio vettoriale
	Giovedì Aula 7, ore 11-13	13/10/2016 P	Esercizi del Foglio 1
	Venerdì Aula 7, ore 9-11	14/10/2016 M	Sottospazio 〈S〉 di V generato da un sottoinsieme S, caratterizzazione Combinazioni lineari (combinazione lineare ottenuta sommando 0 vettori è per definizione il vettore 0) Descrizione di 〈S〉 come spazio delle combinazioni lineari di vettori in S Insieme di generatori di uno spazio vettoriale V Esempi: S=V genera V; K^n è generato da {e1,e2,…,en} come K-spazio vettoriale; K[t]≤d è generato da {1,t,t^2,…,t^d} K-spazio vettoriale; K[t] è generato da {t^m ∊K[t]| m∊N} come K-spazio vettoriale; C è generato da {1,i} come R-spazio vettoriale; R^2 è generato da {v,w} con v=e1+2e2, w=2e1+e2; R^2 non è generato da {u,z} con u=e1+e2, z=2e1+2e2 in quanto 〈u,z〉={ a(e1+ e2)∊R^2 | a∊R } è una retta che non contiene per esempio e1 Somma di due sottospazi vettoriali U,W di V come U+W=〈U∪W〉 Esempio: V=R^2 e U,W rette in V per l’origine; allora U+W=R^2 se U,W sono distinti, altrimenti U=W=U+W. Relazioni lineari, indipendenza/dipendenza lineare di una lista di vettori (e di un insieme di vettori) Esempio: la lista vuota è linearmente indipendente per definizione; la lista con un solo vettore v1 è linearmente indipendente se e solo se v1≠0; la lista con due vettori v1,v2 è linearmente indipendente se e solo se sono entrambi non nulli e non sono uno multiplo dell’altro (ossia non esiste λ∊K tale che v2=λv1) Esempio: e1,e2,…,en sono linearmente indipendenti nel K-spazio vettoriale K^n; 1,t,t^2,…,t^d sono linearmente indipendenti nel K-spazio vettoriale K[t]≤d; 1,t,t^2,t^3,t^4,…. sono linearmente indipendenti nel K-spazio vettoriale K[t]; 1,i sono linearmente indipendenti nell’R-spazio vettoriale C; u=e1+e2, z=2e1+2e2 non sono linearmente indipendenti nell’R -spazio vettoriale R^2 Spazi vettoriali finitamente generati Esempi: K[t] non è un K-spazio vettoriale finitamente generato; K^n e K[t]≤d sono K-spazi vettoriali finitamente generati In uno spazio vettoriale V non finitamente generato, per ogni m≥1 esiste una lista v1,v2,…,vm di m vettori linearmente indipendenti Definizione di base Esempi: base {1,i} dell’R-spazio vettoriale C; base canonica {e1,e2,…,en} del K-spazio vettoriale K^n; base {1,t,…,t^d} del K-spazio vettoriale K[t]≤d; base {t^m | m∊N} del K-spazio vettoriale K[t]
Settimana 3	Martedì Aula 7, ore 9-11	18/10/2016 M	Se un sottoinsieme S di V genera V, allora ogni v in V si può scrivere come combinazione lineare di elementi in S Se un sottoinsieme S di V è linearmente indipendente e un vettore v di V si scrive come combinazione lineare di elementi in S, allora tale combinazione lineare è unica (ossia, i coefficienti sono univocamente determinati) Se B è una base di V, allora ogni v in V si può scrivere in modo unico come combinazione lineare di elementi in B; i coefficienti che appaiono in tale combinazione lineare formano il vettore XB(v) delle coordinate associato a v rispetto alla base B Completamento di una lista di vettori indipendenti S ad una base di V aggiungendo vettori da un insieme finito w1,…,wm di generatori In uno spazio vettoriale finitamente generato, un insieme linearmente indipendente si può completare a una base; da un insieme di generatori si può estrarre una base Lemma di sostituzione ⇒se v1,…,vn sono linearmente indipendenti e w1,…,wm sono generatori, allora n≤m Dato V spazio vettoriale finitamente generato, le basi di V hanno sempre lo stesso numero di elementi Definizione di dimensione (su un campo K) di uno spazio vettoriale finitamente generato Se dim(V)=n, una lista di n vettori linearmente indipendenti è una base Se dim(V)=n, una lista di n vettori che generino V è una base Esempi di basi in R^2 e in R[t]≤2 Esempi: dim(K^n)=n, dim(K[t]≤d)=d+1
	Giovedì Aula 7, ore 11-13	20/10/2016 P	Esercizi dal foglio 2
	Venerdì Aula 7, ore 9-11	21/10/2016 M	Se W sottospazio di V, allora dim(W)≤dim(V); inoltre vale dim(W)=dim(V) se e solo se W=V Formula di Grassmann dim(U)+dim(W)=dim(U∩W)+dim(U+W) per U,W sottospazi di V Esempio di U=piano e W=retta in V=R^3 Somma diretta V⊕W di spazi vettoriali V,W sullo stesso campo K Se dim(V)=n e dim(W)=m, allora dim(V⊕W)=n+m Per W sottospazio di V, spazio vettoriale quoziente V/W:=V/~, dove v~v’ se e solo se v-v’∊W Buona definizione delle operazioni su V/W
Settimana 4	Martedì Aula 7, ore 9-11	25/10/2016 M	Chiarimenti sulla somma diretta di due spazi vettoriali Dimensione dello spazio vettoriale quoziente V/W Piano euclideo A^2, vettori applicati nel piano, spazio vettoriale V^2 dei vettori geometrici nello piano Spazio euclideo A^3, vettori applicati nel piano, spazio vettoriale V^3 dei vettori geometrici nello spazio Struttura di spazio vettoriale reale su V^2 e V^3, riferimenti affini RA(O;i,j) in A^2 e riferimenti affini RA(O;i,j,k) in A^3, coordinate (x,y) di un punto in A^2 rispetto ad un riferimento affine RA(O;i,j) e biiezione indotta tra A^2 e R^2, coordinate (x,y,z) di un punto in A^3 rispetto ad un riferimento affine RA(O;i,j,k) e biiezione indotta tra A^3 e R^3 Equazioni parametriche e cartesiane (in coordinate rispetto ad un riferimento affine RA(O;i,j) di una retta affine passante per i punti P,Q distinti in A^2
	Mercoledì Aula I (Matematica), ore 16-17:30 Lezione di recupero	26/10/2016 M	Equazioni parametriche e cartesiane (in coordinate rispetto ad un riferimento affine RA(O;i,j,k) di un piano affine passante per i punti P,Q,R distinti e non allineati in A^3 Giacitura G(r) di una retta r in A^2 e in A^3, giacitura G (Λ) di un piano Λ in A^3 Parallelismo di rette in A^2, di rette in A^3, di una retta e un piano in A^3, rette sghembe in A^3 Definizione di spazio affine A su uno spazio vettoriale V, dimensione dim(A):=dim(V) Esempi: piano A=A^2 con V=V^2, spazio A=A^3 con V=V^3; spazio vettoriale V visto come spazio affine A:=V su se stesso; spazio affine numerico A^n su K^n; sottoinsieme A={x∊K^n|a1x1+…+anxn=a0} su V={v∊K^n|a1v1+…+anvn=0} Proprietà dell’azione di V su A, ossia delle applicazioni Tv:A→A Insieme G(B)⊂V associato ad un sottoinsieme non vuoto B⊂A
	Giovedì Aula 7, ore 11-13	27/10/2016 P	Esercizi dal foglio 3
	Venerdì Aula 7, ore 9-11	28/10/2016 M	Sottospazi affini, giacitura Intersezione di sottospazi affini Sottospazio affine generato da un sottoinsieme non vuoto di uno spazio affine Sottospazio affine generato da una collezione finita P0,P1,…,Pd di punti Indipendenza lineare di punti P0,P1,…,Pd in uno spazio affine Esercizio sul baricentro
Settimana 5	Giovedì Aula 7, ore 11-13	3/11/2016 P	Esercizi dal foglio 4
	Venerdì Aula 7, ore 9-11	4/11/2016 M	Applicazioni lineari f:V→W tra spazi vettoriali V,W sul campo K, esempi Sottospazi immagine im(f)⊂W e nucleo ker(f)⊂V di un’applicazione lineare f Esempi: applicazioni lineare valc:K[t]→K di valutazione in t=c, proiezione π:V→V/U al quoziente con U⊂V, soluzioni di sistemi lineari omogenei come ker di un’applicazione lineare dim(V)=dim(ker(f))+dim(im(f))
Settimana 6	Martedì Aula 7, ore 9-11	8/11/2016 M	Struttura di spazio vettoriale sull’insieme L(V,W) delle applicazioni lineari da V a W Composizione di applicazioni lineari è lineare, associatività della composizione (di applicazioni tra insiemi) Applicazioni lineari biiettive sono isomorfismi, l’inversa insiemistica di un isomorfismo è unica ed è un isomorfismo Isomorfismo tra V e U⊕W, con U,W sottospazi vettoriali di V con U∩W={0} e U+W=V Esempio di isomorfismo: passaggio alle coordinate XB rispetto ad una base B di V Tramite un isomorfismo f:V→W, vettori u1,…,un linearmente indipendenti in V (resp. generatori di V, risp. base di V) corrispondono a vettori f(u1),…,f(un) linearmente indipendenti in W (resp. generatori di W, risp. base di W); spazi vettoriali isomorfi hanno la stessa dimensione Una applicazione lineare f:V→W tra spazi vettoriali della stessa dimensione è un isomorfismo ⇔ ker(f)={0} ⇔ f è suriettiva Gruppo generale lineare GL(V)⊂L (V,V) con l’operazione ∘ di composizione è un gruppo (ossia ∘ è associativa, ha un elemento neutro idV, per ogni f∊GL(V) esiste un elemento f^-1 inverso per ∘), esempio di non commutatività di ∘ Fattorizzazione di f:V→W lineare come f=f’∘π, dove π:V→V/ker(f) e f’:V/ker(f)→W lineare unica Primo teorema di omomorfismo: se f:V→W lineare, allora la f’:V/ker(f)→Im(f) indotta come sopra è un isomorfismo
	Giovedì Aula 7, ore 11-13	10/11/2016 P	Esercizi del Foglio 5
	Venerdì Aula 7, ore 9-11	11/11/2016 M	Spazio vettoriale Mm,n(K) delle matrici con m righe e n colonne con entrate in K Definizione di trasposta di una matrice Moltiplicazione di matrici, proprietà elementari e LBA = LB∘LA Matrici quadrate, matrice unità 1n (o identità), matrici scalari, matrici diagonali, inversa di una matrice e unicità dell’inversa, potenza intera positiva di una matrice e potenza intera di una matrice invertibile Applicazione lineare LA: K^n→K^m associata a A∊Mm,n(K) Isomorfismo L:Mm,n(K)→L(K^n, K^m) di spazi vettoriali dato da A↦LA, e proprietà LBA = LB∘LA Matrice M^BC(f) con m righe e n colonne associata ad una applicazione lineare f:V→W rispetto alle basi B={v1,…,vn} di V e C={w1,…,wm} di W
Settimana 7	Martedì Aula 7, ore 9-11	15/11/2016 M	Dati V,W e basi B={v1,…,vn} di V e C={w1,…,wm} di W, isomorfismo di spazi vettoriali L(V,W)→Mm,n(K) definito come f↦M^BC(f) Data f:V→W e g:W→Z e D base di Z, equazione M^BD(g∘f)=M^CD(g)·M^BC(f). Problema: determinare basi di nucleo e immagine di f:V→W lineare, equivalente (usando passaggi alle coordinate) e determinare basi di nucleo e immagine di LM: K^n→K^m associata ad una matrice M Matrici a scala per righe, matrici e scala per colonne Base dell’immagine di LM associata ad una M a scala per colonne, rango di una applicazione lineare e di una matrice Parametrizzazione del nucleo di LM associata ad una M a scala per righe e base del nucleo Le operazioni elementari di tipo (1),(2),(3) su una lista (v1,…vn) di vettori di V sono invertibili e preservano lo span <v1,…vn> Riduzione di una matrice M a scala per colonne usando operazioni elementari (1)-(2) sulle colonne di M e calcolo di una base dell’immagine di LM Applicazioni lineari fi=LMi: K^n→Kindotte dalle m righe di M, operazioni elementari di tipo (1)-(2)-(3) sulla lista (f1,…,fm) di vettori dello spazio vettoriale V*:=L(V,K) duale di V preservano il sottospazio {X∊K^n|f1(X)=…=fm(X)=0} di K^n Riduzione di una metrica M a scala per righe usando operazioni elementari di tipo (1)-(2) sulle righe di M e calcolo di una base di ker(LM) Operazioni elementari sulle righe di M come moltiplicazione E·M per una matrice elementare E; le matrici elementari sono invertibili Riduzione di una matrice quadrata invertibile M alla matrice unità 1n tramite operazioni elementari sulle righe (ovvero scrittura Ek·Ek-1···E2·E1·M=1n con E1,…,Ek elementari) e calcolo della matrice inversa M^-1 (ossia M^-1= Ek·Ek-1···E2·E1)
	Giovedì Aula 7, ore 11-13	17/11/2016 P	Richiami su riduzione a scala per righe Operazioni elementari sulle righe come moltiplicazione a sinistra per matrici elementari di tipo opportuno Invertibilità delle matrici elementari Algoritmo per il calcolo dell’inversa con dimostrazione Matrici di cambio di base, formula per il cambio di base nel dominio e nel codominio, esempio Relazione di equivalenza di coniugio tra matrici quadrate
	Venerdì Aula 7, ore 9-11	18/11/2016 M	Esercizi del Foglio 6
Settimana 8	Martedì Aula 7, ore 9-11	22/11/2016 M	La relazione di coniugio su Mn,n(K) è una relazione di equivalenza Fissato V di dim(V)=n e B una base di V, esiste una corrispondenza biunivoca tra matrici invertibili P e basi C di V tale che M^BC(IdV)=P Fissati V, una base B di V e un’applicazione lineare f:V→V, esiste una corrispondenza biunivoca tra matrici N simili a M^BB(f) e basi C di V, tale che N= M^CC(f) Il duale V* di uno spazio vettoriale V Base B*={v1*,…,vn*} per V* duale di una base B={v1,…,vn} per V L’unico vettore v∊V tale che φ(v)=0 per ogni φ∊V* è il vettore nullo Applicazione lineare f*:W*→V* duale di un’applicazione lineare f:V→W Duale dell’identità (IdV)*=Id(V*) e (g∘f)*=f*∘g* Data f:V→W lineare, f iniettiva ⇔ f* suriettiva; f suriettiva ⇔ f* iniettiva; f isomorfismo ⇔ f* isomorfismo Data f:V→W lineare, si ha rg(f)=rg(f*) Data f:V→W e basi B di V e C di W, si ha M^C*B*(f*)=M^BC(f)^T Se M è una matrice, allora rg(M)=rg(M^T)
	Giovedì Aula 7, ore 11-13	24/11/2016 P	Esercizi dal foglio 7
	Venerdì Aula 7, ore 9-11	25/11/2016 M	Applicazioni affini, descrizione delle applicazioni affini A^nK→A^mK Immagine di un sottospazio affine e controimmagine di un sottospazio affine tramite una applicazione affine, esempio Applicazione affine IdA:A→A, composizione di applicazioni affini, applicazioni affini invertibili (anche dette “isomorfismi affini”) Gruppo Aff(A):={F:A→A affine invertibile} delle affinità dello spazio affine A Riferimenti affini RA(O;B) su A, dove O è un punto (origine) di A e B è una base ordinata dello spazio vettoriale V associato ad A, isomorfismo affine di passaggio alle coordinate affini XR: A→A^nK rispetto ad un riferimento affine R dello spazio affine A di dimensione n (con isomorfismo lineare associato XB:V→K^n), isomorfismo affine di cambio di coordinate affini XR’∘XR^-1:A^nK→A^nK Equazioni cartesiane (lineari, non necessariamente omogenee) per un sottospazio affine B di A a partire da equazioni cartesiane per la giacitura G(B)
Settimana 9	Martedì Aula 7, ore 9-11	29/11/2016 M	Definizione di Detn (come sviluppo lungo l’ultima riga della matrice) Applicazioni multilineari Φ:V×V×…×V→K, applicazioni alternanti Detn è multilineare alternante rispetto alle colonne della matrice e Detn(1n)=1 Ogni applicazione Φ:Mn,n(K)→K multilineare alternante rispetto alle colonne della matrice soddisfa: Φ(A)=0 se A non è invertibile; Φ(B)=(-1)^sΦ(A) se B e ottenuta da A con s operazioni del primo tipo sulle colonne e con altre operazioni del secondo tipo sulle colonne; Φ(A)=a11a22···annΦ(1n) se A è a scala per colonne
	Giovedì Aula 7, ore 11-13	1/12/2016 P	Esercizi dal Foglio 8
	Venerdì Aula 7, ore 9-11	2/12/2016 M	Caratterizzazione delle applicazioni Φ:Mn,n(K)→K multilineari alternanti sulle colonne e del determinante A∊Mn,n(K) è invertibile ⇔ det(A)≠0 Formula di Binet, invarianza del determinante per coniugio di matrici, determinante det(f) di una applicazione lineare f:V→V con V finitamente generato Sviluppo di Laplace rispetto alla riga i-esima del determinante, det(A)=det(A^T), sviluppo di Laplace rispetto alla colonna j-esima Permutazioni di un insieme, il gruppo Sn delle permutazioni dell’insieme {1,2,3,…,n}, trasposizioni τij Matrice Mσ∊Mn,n(K) associata ad una permutazione σ∊Sn Proprietà det(Mσ)=±1, Mσ∘τ=Mσ·Mτ Segno ε(σ):=det(Mσ) della permutazione σ e proprieta ε(id)=1, ε(σ∘τ)= ε(σ)ε(τ), ε(τij)=-1
Settimana 10	Martedì Aula 7, ore 9-11	6/12/2016 M	Formula per il determinante come somma su Sn Cofattori di una matrice e matrice A^c dei cofattori di A Teorema di Cramer e inversa di una matrice con il metodo di Cramer Esempio/esercizio: matrici in Mn,n(Z) con inversa in Mn,n(Z) Area di un parallelogramma nel piano reale affine numerico Il valore assoluto |det(f)| del determinante di f: R^2→R^2 associata ad una applicazione affine F:A^2R→A^2R esprime il rapporto tra le aree di un parallelogramma Q in A^2R e della sua immagine F(Q)
	Venerdì Aula 7, ore 9-11	9/12/2016 P
	Martedì Aula 7, ore 9-11	13/12/2016 P	Funzioni polinomiali su uno spazio vettoriale, forme di grado d (ossia funzioni polinomiali omogenee di grado d), funzioni quadratiche su uno spazio vettoriale e derivata direzionale, spazio vettoriale delle forme quadratiche su V Forme bilineari su V e forme bilineari simmetriche Rappresentazione matriciale (scelta una base di V) di una forma bilineare simmetrica su V
	Mercoledì Aula 4, ore 13:30-15:00 Lezione di recupero	14/12/2016 P	Esercizi dal Foglio 9
Settimana 11	Giovedì Aula 7, ore 11-13	15/12/2016 P	Formula di cambio di base per matrici che rappresentano forme bilineari simmetriche, matrici quadrate congruenti Forme bilineari simmetriche e forme quadratiche: formula di polarizzazione Applicazione LF:V→V^* associata ad una forma bilineare simmetrica F su V, sottospazio ker(F):=V^⊥ Prodotti scalari (forme bilineari simmetriche non degeneri), prodotto scalare standard su K^n Prodotti scalari definiti positivi (e definiti negativi) su spazi vettoriali reali, prodotto scalare standard su R^n, matrici simmetriche reali definite positive (e definite negative) Sottospazio v^⊥ ortogonale di un vettore v∊V e sottospazio S^⊥ ortogonale di un sottoinsieme S⊂V rispetto ad una forma bilineare simmetrica F su V, dimensione dell’ortogonale U^⊥ di un sottospazio U quando F è non degenere Basi ortogonali per forme bilineari simmetriche, diagonalizzazione di una forma bilineare simmetrica F (equivalentemente, della forma quadratica ad essa associata qF) Criterio di isomorfismo per spazi vettoriali quadratici (V,q)
	Venerdì Aula 7, ore 9-11	16/12/2016 M	Esercizi dal Foglio 10 Esempio di diagonalizzazione di una forma bilineare simmetrica (o equivalentemente della forma quadratica associata)
	Martedì Aula 7, ore 9-11	20/12/2016 P	Teorema di Sylvester (per spazi vettoriali quadratici reali) Spazi vettoriali euclidei: disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, disuguaglianza triangolare, angoli, isometrie Basi ortonormali in spazi vettoriali euclidei, esistenza di basi ortonormali, proiezioni ortogonali su sottospazi, le proiezioni ortogonali sono contrazioni
Interruzione natalizia
Settimana 12	Martedì Aula 7, ore 9-11	10/1/2017 P	Polinomio caratteristico di una matrice quadrata Teorema spettrale
	Giovedì Aula 7, ore 11-13	12/1/2017 P	Matrici simmetriche hanno autovalori reali Versione algoritmica del teorema spettrale Esempio: diagonalizzazione di una forma quadratica in R4 Definizione di endomorfismo diagonalizzabile Autovalori, autovettori e autospazi di un endomorfismo Polinomio caratteristico di un endomorfismo
	Venerdì Aula 7, ore 9-11	13/1/2017 P	Esercizi dal Foglio 11
Settimana 13	Martedì Aula 7, ore 9-11	17/1/2017 P	Coniche reali e complesse: classificazione affine Coniche reali: classificazione euclidea
	Giovedì Aula 7, ore 11-13	19/1/2017 P	Autospazi di un endomorfismo sono in somma diretta Molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore Criterio di diagonalizzabilità di un endomorfismo
	Venerdì Aula 7, ore 9-11	20/1/2017 M	Forme hermitiane su spazi vettoriali complessi, ker e rango Forme hermitiane non degeneri, indici di positività e negatività Rappresentazione di una forma hermitana in coordinate, matrici hermitiane, formula per il cambio di base, congruenza di matrici hermitiane Teorema di Sylvester per forme hermitiane (senza dimostrazione) Forme hermitiane definite positive, forma hermitiana standard su C^n, forma hermitana L^2 su C^0( [0,1],C), norma di un vettore, proiezione ortogonale su una sottospazio, orto normalizzazione di Gram-Schmidt Endomorfismi unitari di uno spazio vettoriale complesso rispetto ad una forma hermitiana, matrici unitarie U(n), caratterizzazione degli endomorfismi unitari rispetto ad una forma hermitiana definita positiva Endomorfismi ortogonali di uno spazio vettoriale rispetto ad una forma bilineare simmetrica, matrici ortogonali O(n,R), caratterizzazione degli endomorfismi ortogonali di uno spazio vettoriale reale rispetto ad una forma bilineare simmetrica definita positiva (per ora solo enunciato) Esempi di matrici in O(n,R) per n=1,2,3
Settimana 14	Martedì Aula 7, ore 9-11	24/1/2017 M	Caratterizzazione degli endomorfismi ortogonali di uno spazio vettoriale reale rispetto ad una forma bilineare simmetrica definita positiva (dimostrazione) Aggiunto di un omomorfismo, esistenza dell’aggiunto rispetto ad una forma hermitiana non degenere, espressione in coordinate per l’aggiunto, endomorfismi auto aggiunti Teorema spettrale per endomorfismi autoaggiunti rispetto ad una forma hermitana definita positiva, teorema spettrale per endomorfismi autoaggiunti rispetto ad una forma bilineare simmetrica reale definita positiva Esempio di diagonalizzazione di matrice simmetrica
	Giovedì Aula 7, ore 11-13	25/1/2017 M	Esercizio su forma canonica di una matrice ortogonale data A di O(3, R) Esercizio su diagonalizzazione di un endomorfismo autoaggiunto dello spazio euclideo R^3 Esercizio su accoppiamento L^2 sullo spazio vettoriale V delle funzioni reali a supporto limitato (oppure sullo spazio W delle funzioni periodiche) e sull’autoaggiunzione dell’operatore “derivata seconda”, autovalori e autovettori dell’operatore “derivata seconda” in V (e in W) Esercizio su studio della conica affine x^2+2(3-t)xy+(5-t)y^2+2x+4y+(2-t)=0 nel piano affine reale, dipendente dal parametro reale t
	Venerdì Aula 7, ore 9-11	26/1/2017 M	Esercizi dal Foglio 12

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