Diario delle lezioni
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Lunedì
25/9/17 |
Presentazione del corso |
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Venerdì
29/9/17 |
Basi di Rn con la stessa orientazione, basi positive di Rn (con la stessa
orientazione della base standard) Rotazione positiva di π/2 e angoli nel piano euclideo orientato Curvatura (con segno) di una curva
parametrizzata, indipendenza dalla parametrizzazione Raggio e centro del cerchio osculatore ad una
curva piana Esempi: curvatura di una retta, di una
circonferenza, di una ellisse Riferimento di Frenet
per curve regolari in R2 Teorema fondamentale delle curve piane Esercizio: trovare una curva piana in
parametro d’arco t con curvatura t-1/2. |
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3 |
Lunedì
2/10/17 |
Integrale di una funzione lungo una curva
piana, lunghezza, integrale della curvatura, integrale del valore assoluto
della curvatura (curvatura totale) Curve chiuse nel piano privato dell’origine,
numero di avvolgimento Numero di rotazione di una curva piana chiusa
regolare, invarianza per omotopie regolari, numero di rotazione come
integrale della curvatura Numero di rotazione di una curva piana,
regolare, semplice, chiusa Stima dal basso della curvatura totale di una
curva piana e regolare Curve convesse nel piano, caratterizzazioni
equivalenti della convessità di una curva |
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4 |
Venerdì
6/10/17 |
Correzione degli esercizi assegnati il
29/9/2017 Teorema dei quattro vertici per curve piane,
chiuse, convesse |
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Lunedì 9/10/17 |
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Venerdì
13/10/17 |
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Lunedì
16/10/17 |
Richiamo su prodotto vettore nello spazio
euclideo orientato R3 Curve regolari e curve in parametro d’arco in R3, vettore tangente unitario, curvatura Curve con k≠0, vettore unitario normale,
vettore unitario bi-normale, triedro di Frenet,
torsione La curva è planare se e solo se il vettore binormale è costante Equazione differenziale ordinaria per il
triedro di Frenet Formula per curvatura e torsione per curve
regolari non in parametro d’arco Teorema fondamentale delle curve in R3 |
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Venerdì
20/10/17 |
Esempio di una curva con curvatura nulla in un
solo punto, impossibilità di definire la normale N in modo continuo,
fallimento del teorema fondamentale delle curve in R3 Esercizi assegnati il
6/10/2017 |
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7 |
Lunedì
23/10/17 |
Curve non singolari in R3 Superfici non singolari in R3, carte e atlanti Esempi: piani affini, sfera unitaria, grafici,
superfici di rotazione Teorema della funzione implicita (enunciato)
nel caso di differenziale suriettivo Punti critici e valori critici di una funzione
differenziabile Superfici in R3 descritte da un’equazione, esempi: sfera unitaria,
ellissoidi, iperboloidi a una e due falde Controesempio: nessun intorno
del vertice del cono quadrico in R3 è una superficie
non singolare |
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8 |
Venerdì
27/10/17 |
Data una superficie non singolare S, i cambi
di carta sono diffeomorfismi tra aperti di R2 Ogni superficie non singolare in R3 può essere descritta localmente da un’equazione {f=0}
con df mai nullo Funzioni differenziabili da una superficie a R, applicazioni differenziabili tra superfici, esempio: diffeomorfismo tra sfera e ellissoide Spazio tangente TpS
in un punto p ad una superficie non singolare S in R3 come sottoinsieme di R3, spazio tangente TpS
come immagine della matrice jacobiana Jφ di una carta φ nel punto φ-1(p), struttura di
spazio vettoriale sullo spazio tangente Differenziale dFp
di una applicazione differenziabile F tra superfici nel punto p, linearità
del differenziale |
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9 |
Lunedì
30/10/17 |
Correzione
degli esercizi del 21/10/2017 |
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10 |
Venerdì
3/11/17 |
Prima forma fondamentale di una superficie S
non singolare in R3, espressione in
carta, esempio, cambio di carta Lunghezza di curve su S, esempio, angoli Area di sottoinsiemi di S, buona definizione,
esempio, sottoinsiemi di S di misura nulla Atlanti orientati, equivalenza di atlanti
orientati, orientazione di S, orientabilità,
orientazione sugli spazi tangenti a S indotta da una orientazione di S Vettore normale unitario indotto da una carta,
corrispondenza tra campi continui di vettori normali unitari su S e
orientazioni su S |
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11 |
Lunedì
6/11/17 |
Applicazioni lineari che preservano gli angoli Diffeomorfismi di superfici
conformi, diffeomorfismi che preservano l’area,
isometrie Proiezioni della sfera cilindrica di Lambert e
cilindrica di Mercatore Tre esempi di isometrie del semipiano
iperbolico |
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12 |
Venerdì
10/11/17 |
Esercizi
del 2/11/2017 |
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Lunedì
13/11/17 |
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Venerdì
17/11/17 |
Prova in itinere |
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13 |
Lunedì
20/11/17 |
Sezioni piane di superfici non singolari
orientate in R3, curvature normali
kn(v) Mappa di Gauss N:S→S2 per
una superficie non singolare orientata in R3, differenziale dNp Esempi: piano, sfera unitaria, calcolo di dNp in coordinate per la superficie S={z=x2+y2} con p=(0,0,0) L’applicazione dNp
è un endomorfismo autoaggiunto di TpS rispetto alla prima forma fondamentale Ip Seconda forma fondamentale IIp
come forma quadratica IIp (v)=-Ip
(dNp (v),v), identità IIp (v)=kn(v)
per vettori unitari v in TpS Curvature principali k1(p), k2(p)
e curvatura gaussiana Kp nel punto p di
S Schema di calcolo per Np,
IIp, dNp
e Kp in coordinate, esempio di un
superficie di rotazione |
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Venerdì
24/11/17 |
Correzione della prova in itinere |
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Lunedì
27/11/17 |
Superfici non singolari in R3: quantità intrinseche e quantità estrinseche Interpretazione estrinseca della curvatura
gaussiana K Curvatura media, variazioni normali di una
superficie non singolare in R3 Espressione dell’area per variazioni normali
di una superficie in R3 (fino al primo
ordine) in termini della curvatura media Campi vettoriali a valori in R3 lungo una superficie non singolare, campi vettoriali
tangenti ad una superficie in R3 Enunciato del teorema “egregium”
di Gauss sull’intrinsecità di K e schema della
dimostrazione |
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16 |
Venerdì
1/12/17 |
Connessione di Levi-Civita
per una superficie non singolare in R3 Proprietà della connessione di Levi-Civita, simboli di Christoffel Formula per la curvatura gaussiana in termini
della prima forma fondamentale e della connessione di Levi-Civita
(theorema egregium) Formula per i simboli di Christoffel
in termini della prima forma fondamentale |
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17 |
Lunedì
4/12/17 |
Esercizi
del 28/11/2017 |
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18 |
Lunedì
11/12/17 |
Campi vettoriali tangenti alla superficie non
singolare, descrizione in coordinate, cambio di carta Curve integrali, flusso generato da un campo
vettoriale Parentesi di Lie di
due campi vettoriali Equazioni di compatibilità di Codazzi-Mainardi e Gauss |
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19 |
Venerdì
15/12/17 |
Teorema fondamentale delle superfici non
singolare in R3 (solo enunciato) |
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20 |
Lunedì 18/12/17 |
Esercizi del 12/12/2017 |
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21 |
Venerdì 22/12/17 |
Caratterizzazione variazionale delle
geodetiche: variazione prima del funzionale lunghezza Esponenziale delle geodetiche, flusso
geodetico Teorema di Hopf-Rinow
(solo enunciato) |
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Interruzione natalizia |
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22 |
Lunedì 8/1/18 |
Coordinate normali Sviluppo di Taylor fino al secondo ordine
della metrica in coordinate normali Sviluppo di Taylor fino al secondo ordine
della misura di area in coordinate normali Area di una palla di raggio r e suo perimetro
(sviluppo al quarto ordine in r) |
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23 |
Venerdì
12/11/18 |
Esercizi del 4/1/2018 |
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24 |
Lunedì
15/1/18 |
Superfici orientate con
bordo liscio e superfici con bordo liscio a tratti, orientazione del bordo Triangolazioni e
decomposizioni in poligoni, caratteristica di Eulero, esempi Teorema di Gauss-Bonnet per superfici orientate con bordo liscio a tratti
(con dimostrazione) Richiamo su Gauss-Green (Stokes) e dimostrazione per un disco con bordo liscio |
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25 |
Venerdì
19/1/18 |
Conseguenze del teorema di Gauss-Bonnet Triangoli geodetici in
curvatura costante Unicità delle geodetiche
tra due punti (in una fissata classe di omotopia) in curvatura non positiva Unicità delle geodetiche
chiuse in una fissata classe di omotopia in curvatura negativa |