Programma utopistico
A)
Calcolo
in (aperti di) Rn
Funzioni
C∞; teorema della funzione implicita
Lemma
di Urysohn C∞, partizioni dell’unità
C∞; teorema di approssimazione di Weierstrass
Derivazioni,
spazio tangente e campi vettoriali, differenziale di una applicazione C∞
B)
Varietà
differenziabili
Esempi
di varietà differenziabili, applicazioni fra varietà; sottovarietà
Spazio
tangente ad una varietà in un punto, fibrato tangente e campi vettoriali
Linee
integrali e flussi
C)
Varietà
riemanniane
Metriche riemanniane, lunghezza di
curve, volumi
Curve
nel piano (curvatura estrinseca e cerchio osculatore); curve nello spazio
(curvatura e torsione estrinseche; riferimento di Frenet
per curve regolari)
Superfici
nello spazio; prima e seconda forma fondamentale; mappa di Gauss; curvature
principali; curvatura media e curvatura gaussiana
Curve
su superfici: curvatura geodetica, geodetiche
Theorema
egregium di Gauss; teorema di Gauss-Bonnet
D)
Ancora
su varietà differenziabili
(ma forse non ci sarà tempo!)
Immersioni,
sottovarietà e intorno tubolare
Sommersioni,
fibrazioni e teorema di Ehresmann
Lemma
di Sard; immersione di Whitney; trasversalità e
intersezione